1、空间直线和平面(一)知识结构(二)平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化: 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: 3. 平行与垂直关系的转化: 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: (三)空间中的角与距离 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角:090 (2)直线与平面所成的角:090 (3)二面角:二面角的平面角,0180 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算”即:(1)找出或作出有关的角; (2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。 3. 空间距离:将空间距离转化为两点间距离构造三
2、角形,解三角形,求该线段的长。 4. 点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法:三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。简单几何体:(一)棱柱(两底面平行,侧棱平行的多面体)(二)棱锥(底面是多边形,其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体)定理:截面与底面平行则有 正棱锥的性质概率与统计(一)散型随机变量的分布列性质:二项分布:若则期望:方差:(二)抽样方法【典型例题】 例1. 如图,在四面体ABCD中作截面EFG,若EG,DC的延长线交于M,FG、BC的延长线交于N,EF、DB的延长线交于P,求证M、N、P三点共线。 证明:由已知,显然M、N、P
3、在平面EFG上 又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上 故也在平面BCD上 即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点 它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M、N、P三点共线 例2. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么AM与CM所成角的余弦值为( ) 分析:如图,取AB中点E,CC1中点F 连结B1E、B1F、EF 则B1E/AM,B1F/NC EB1F为AM与CN所成的角 又棱长为1 选D 例3. 其中正确的两个命题是( ) A. 与B. 与C. 与D. 与 分析: 错 错 正确,选D 例4. 如图,在四棱锥PABCD中,底面AB
4、CD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB交PB于点F。(1)证明PA/面EDB。(2)PB平面EFD。 证:(1)连AC,AC交BD于O,连EO 底面ABCD是正方形 点O是AC中点 又E为PC中点 EO/PA PA/面EDB (2)PD底面ABCD BCPD BC面PDCBCDE 又E为等直角三角形中点 DE面PBCDEPB PB面DEF 例5. 正三棱柱ABCA1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1。 证明:设E、E1分别是BC、B1C1的中点,连AE,A1E1,B1E,E1C 注:三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。 例6. 下列正方体中,
5、l是一条体对角线,M、N、P分别为其所在棱的中点,如何证明l面MNP。 分析: 如图,取棱A1A、DC、B1C1的中点,分别记为E、F、G,显然EMFNGP为平面图形,而D1B与该平面垂直 l面MNP 例7. ACB=90,侧棱与底面成60的角。 分析: 证明: 又ACB=90,即ACBC D为AC中点 例8. 已知RtABC中,C=90,AC=8,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,沿DE将ABC折成直二面角,使A到A的位置(如图)。求: (1)C到AD的距离; (2)D到平面ABC的距离; (3)AD与平面ABC所成角的正弦值。 解:(1)二面角ADEB是直二面角 又AEED,CEED
6、 ED面AEC及EC面AED 作EFAD于F,连结CF,则CFAD CF即为C点到直线AD的距离 在RtAED中,EFAD=AEED DE/面ABC E到面ABC的距离即为D点到平面ABC的距离 过E作EMAC于M ED面AEC 又BC/ED BC面AEC BCEM EM面ABC 或者用体积法: 例9. (1)证明: (2)解: 又取BC中点N,连结NF 例10. 将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验,如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时,则称为这次试验成功。(1)求一次试验成功的概率;(2)在试验成功的所有情况中,以表示两次抛掷的骰子出现的点数和,求的概率分布列及数学期望。解:
7、(1)两次抛掷出现点数之和大于9的有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)(2)在成功的条件下,=10,11,12【模拟试题】一. 选择题 1. 一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线( ) A. 成异面直线B. 相交C. 平行D. 平行或相交 2. 已知直线a,b,平面,有下列四个命题 ; ; 其中正确的命题有( ) A. B. C. D. 以上都不对 3. 边长为a的正三角形ABC中,ADBC于D,沿AD折成二面角BADC后,这时二面角BADC的大小为( ) A. 30B. 45C. 60D. 90 4. 设a,b是两条异面直线,P是
8、a,b外的一点,则下列结论正确的是( ) A. 过P有一条直线和a,b都平行 B. 过P有一条直线和a,b都相交 C. 过P有一条直线和a,b都垂直 D. 过P有一个平面与a,b都平行 5. 若a,b是异面直线,点A、B在直线a上,点C、D在直线b上,且AD=AC,BD=BC,则直线a,b所成的角为( ) A. 90B. 60C. 45D. 30二. 填空题 6. 设正方体的棱长为1,则 (1)A点到的距离为_ (2)A点到的距离为_ (3)A点到面的距离为_ (4)A点到面的距离为_ (5)的距离为_ 7. 如图,正方形ABCD中,E、F分别是中点,现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体,使
9、B、D、C三点重合于G,则=_。 8. 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角,则点A到BC的距离为_。 9. 如图PAO面,AB是O的直径,C是O上的一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:AFPB,EFPB,AFBC,AE平面PBC,其中正确命题的序号是_。 10. 平面,其交线为l,AB与所成角为30,则AB与所成角的取值范围是_。三. 解答题 11. 四面体ABCS中,SB、SC、SA两两垂直,SBA=45,SBC=60,M为AB的中点。求: (1)BC与面SAB所成的角; (2)SC与平面ABC所成角的正弦值。 12. AB为O的直径,C为弧AB上的一点
10、(异于A、B),PA平面ABC。(1)求证:面PAC面PBC;(2)若AEPC于E,则面AEB面PBC,BE为交线。 13. 在矩形ABCD中,已知,E是AD的中点,沿BE将ABE折到的位置,使。 (1)求证:平面平面BCDE。 (2)求和面BCD所成角的大小。 14. 如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,。 (I)求; (II)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。 15. 一个由5人组成的数学课外活动小组,其中2名女生,3名男生,老师每天从5人中随机抽查3人。(1)求一次抽查时,2名女生全被抽到的概率;(2)用表示一周5天中,2名女生同时被抽查的次数,求随机变量的概率分布和它的数学期望。【试题答案】一. 1. C2. C3. C 4. C(当P点和直线a确定的平面与b平行时,则过P点的直线与a不相交,B错,当P点在a或b上时,D不成立) 5. A二. 6. 7. 8. 9. 10. (0,60 (如图ABD30,90BAD30 BAD60 0BAD60)三. 11. 解:(1)SCSA,SCSB SC面SAB SB是CB在面SAB上的射影 SBC是直线BC与面SAB所成的角,且为60 (2)连SM,CM,则SMAB(SAB为等腰Rt) AB面CSM 设SHCM于H,则ABSH SH面ABC S
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