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1、R-r垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD圆心角定理 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB圆周角定

2、理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。MN是切线，AB是弦 BAM=BCA圆内接四

3、边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。在O中，四边形ABCD是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线 MNOA切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线

4、长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等在O中，弦AB、CD相交于点P PAPB=PCPA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。在O中，直径ABCD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项在O中，PA是切线，PB是割线 （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）在O中，PB、PE是割线圆公共弦定理：连心线

5、垂直平分公共弦O1、O2相交于A、B两点 O1O2垂直平分AB两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：在RtO1O2C中，（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中 ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA=（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:弧长、扇形面积公式（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：总结归纳： 圆的知识考点 圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与

6、判定定理及公式。一、圆的有关概念 1、圆。 封闭曲线围成的图形 2、弦、直径、切线。直线 3、弧、半圆。 曲线 4、圆心角、圆周角。 5、三角形的外接圆、外心。 用到：线段的垂直平分线及性质 6、三角形的内切圆、内心。角的平分线及性质二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角） 1、圆的对称性。 2、垂径定理及其推论。 3、弧、弦、圆心角之间的关系定理 4、圆周角定理及推论。同圆、等圆，同弧、等弧，圆周角 5、切线的性质定理。 6、切线长定理。三、判定定理 切线的判定两种思路：连半径，证垂直；作垂直，证半径四、点、直线、圆与圆的位置关系 1、点与圆的位置关系位置关系数量关系点在圆外dr点

7、在圆上d=r点在圆内2、直线与圆的位置关系：相离相切相交 3、圆与圆的位置关系：外离外切d=R+rR-r内切d=R-r内含五、正多边形和圆 1、有关概念 正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距 2、方法思路：构造等腰（等边）三角形、直角三角形，在三角形中求线、角、面积。六、圆的有关线的长和面积。 1、圆的周长、弧长 C=2r, l= 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积 S圆=r2 ， S扇形= ，或 S扇形= （即S扇形=） S圆锥= 3、求面积的方法 直接法由面积公式直接得到 间接法即：割补法（和差法）进行等量代换 与 圆 有 关 的 计 算 一、周长：设圆的周长为C，半径为

8、r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.1 圆的周长：CR；扇形的弧长：。例题1（05崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中4个半圆，邻近的两个半圆相切。两位老人同时出发，以相同的速度由A处到B处散步，甲老人沿的线路行走，乙老人沿的线路行走，则下列结论正确的是 （ ） （A）甲老人先到达B处 （B）乙老人先到达B处（C）甲、乙两老人同时到达B处（D）无法确定例题2如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的“渐开线”，其中、的圆心依次按A、B、C循环，将它们依次平滑相连接。如果AB=1，试求曲线CDEF的长。例题3（06芜湖）已知如图，线段ABCD，CBE=600，且AB=60cm,B

9、C=40cm,CD=40cm，O的半径为10cm,从A到D的表面很粗糙，求O从A滚动到D，圆心O所经过的距离。例题4如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈。 A 4 B 3 C 5 D 3.56.例题5（08大兴二模）如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为L，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板

10、子与圆柱横截面的切点时，人前进了_例题6（08房山二模）如图，ACB，半径为2的0切BC于点C，若将O在CB上向右滚动，则当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为. 二、面积：设圆的面积为S，半径为r,扇形的面积为，弧长为l.1 圆的面积： 扇形的面积： 弓形面积：例题1（05丰台练习二）如图，ABC内接于O，BD是O的直径，如果A120，CD2，则扇形OBAC的面积是_。例题2（江西省）如图，A、B、C两不相交，且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为（ ）A cm2 B cm2 C cm2 D cm2例题3（08大兴）北京市一居民小区为了迎接2008年

11、奥运会，计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化，如图阴影部分为绿化地，以A、B、C、D为圆心且半径均为的四个扇形的半径等于图中O的直径，已测得，则绿化地的面积为（ ） A. 18 B. 36 C. D. 例题4如图，O的半径为20，B、C为半圆的两个三等分点，A为半圆的直径的一个端点，求阴影部分的面积。例题5（08房山）如图1是一种边长为60cm的正方形地砖图案，其图案设计是：三等分AD（AB=BC=CD）以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交AD于B、交AG于E；再分别以B、E为圆心，AB长为半径画弧，交AD于C、交AG于F两弧交于H；用同样的方法作出右上角的三段弧图2是用图1所示的

12、四块地砖铺在一起拼成的大地砖，则图2中的阴影部分的面积是_cm2（结果保留）例题6. （08西城）如图,在中,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点D,则阴影部分的面积是 . 例题7. （08朝阳）已知：如图，三个半径均为1 m的铁管叠放在一起，两两相外切，切点分别为C、D、E，直线MN（地面）分别与O2、O3相切于点A、B（1）求图中阴影部分的面积；（2）请你直接写出图中最上面的铁管（O1）的最低点P到地面MN的距离是_m例题8（08海淀）如图，一种底面直径为8厘米，高15厘米的茶叶罐，现要设计一种可以放三罐的包装盒，请你估算包装用的材料为多少（边缝忽略不计）。三、侧面展开图：圆柱侧面

13、展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的 。例题1（05丰台）圆柱的高为6cm，它的底面半径为4cm，则这个圆柱的侧面积是（ ）A. B. C. D. 例题2（05丰台）如果圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，那么它的侧面积是（ ） B. D. 例题3（05海淀）如图圆锥两条母线的夹角为，高为12cm，则圆锥侧面积为_，底面积为_。例题4（05朝阳）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是（ ） 例题5.如果一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是（ ） A. 8

14、cm2 B. 10 cm2 C. 12cm2 D. 9cm2四、正多边形计算的解题思路：正多边形等腰三角形直角三角形。可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。例题1（05朝阳）正n边形的一个内角是，则边数n是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10例题2如图，要把边长为6的正三角形纸板剪去三个三角形，得到正六边形，它的边长为_。例题3如图扇形的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形，点C、D、E分别在OA、OB、上，过点A作AFED，交ED的延长线于点F，垂足为F。若正方形的边长为1，则阴影部分的面积为_。（福建福州） 知识赠送以下资料英语万能作文（模板

15、型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that.随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是_。As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。（Hold different attitudes 持不同的看;Come up with different

16、 attitudes 有不同的看法）As society develops, people are attaching much importance to.随着社会的发展，人们开始关注.People are attaching more and more importance to the interview during job hunting求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。As to whether it is worthwhile ., there is a long-running controversial debate. It is quite natural that

17、 people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.关于是否值得_的问题，一直以来争论不休。当然，不同的人对此可能持不同的观点。In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.在都市的发展中，我们往往会陷入困境。Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that.最近，这种现象引

18、起了人们的广泛关注，有人开始担心_。The human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随之给我们带来了很多问题。. plays such an important role that it undeniably becomes

19、the biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?_显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。不过，问题是：我们该如何抉择?Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。People from different backgrounds would put different interpretations

20、 on the same case.不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。不同的人对此问题的看法也不尽相同。When asked ., some people think. while some prefer.说到_，有人认为_，而另一些人则认为_。Just as the sayin

21、g goes: so many people, so many minds. It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗话说，不同的人对此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different people come up with various attitudes.对于这个问题，不同的人持不同的观点。There is a good side and a bad side to everything, it goes without saying that

22、.万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，_。When it comes to ., most people believe that ., but other people regard .as .提到_问题，很多人认为_，不过，一些人则认为_是_.When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as.提到_问题，仅少数人认为_，但另一些人则认为_。There is a public controversy nowadays over the issue of . There who criti

23、cize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that.目前，_问题争议较大。批判_的人认为_，他们认为_，不过，另一方面，赞同_的人则认为_。Some people are of the opinion that. 有些人认为_。Many people claim that. 很多人认为_。A majority of 绝大多数A large number of 很多人Some people contend that . has proved to bring m

24、any advantages （disadvantages）有些人认为_有很多有利之处（不利之处）。Those who argue for . say that .economic development of the cities.觉得_的人认为，_ 城市的经济发展。Some people advocate that .有些人在坚持认为_。They hold that . 他们认为_。People, who advocate that ., have their sound reasons （grounds）坚持认为_的人也有其说法（依据）。Those who have already be

25、nefited from practicing it sing high praise of it. 那些从中受益的人对此大家褒奖。Those who strongly approve of . have cogent reasons for it.强烈认同_的人有很多原因。Many people would claim that. 有人会认为_。People who support . give some or all of the following reasons.那些支持_观点的人列出了如下原因：_。But others hold the view that .但是，另外一些人则认为_

26、。观点的用词：Attitude, opinion, 与其搭配的动词以及词组：Take, have, come up with，set forth, put forward等。But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,.不过，另一方面，也有少部分人坚持认为_。But people who are ., on the other hand , maintain that.不过，另一方面，_的人认为_。However, there are a large number of people who hold a different view concerning this case.然而，很多人对此有不同的看法。问题用词：Issue, phenomenon，后接介词, on,