1、20172018学年度第一学期高三十模考试数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)1.设集合,则( )A B C D2.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知中,则的值是( )A B C D4.设,为的展开式的第一项(为自然对数的底数),若任取,则满足的概率是( )A B C D5.函数的图象大致是( ) A B C D6.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的表面积为( )A B C D7.已知,则,的大
2、小关系为( )A B C D8.执行如下程序框图,则输出结果为( )A B C D9.如图,设椭圆:的右顶点为,右焦点为,为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是( )A B C D10.设函数为定义域为的奇函数,且,当时,则函数在区间上的所有零点的和为( )A B C D11.已知函数,其中为函数的导数,求( )A B C D12.已知直线:,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:;.其中直线的“绝对曲线”的条数为( )A B C D二、填空题:(本大题共
3、4小题,每题5分,共20分)13.已知实数,满足,且,则实数的取值范围 14.双曲线的左右焦点分别为、,是双曲线右支上一点,为的内心,交轴于点,若,且,则双曲线的离心率的值为 15.若平面向量,满足,则在方向上投影的最大值是 16.观察下列各式:;若按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则的值为 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答) 17.已知等差数列中,公差,且,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求实数的取值范围
4、.18.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:(1)已知该校有名学生,试估计全校学生中,每天学习不足小时的人数.(2)若从学习时间不少于小时的学生中选取人,设选到的男生人数为,求随机变量的分布列.(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.(只需写出结论)19.如图所示,四棱锥的底面为矩形,已知,过底面对角线作与平行的平面交于.(1)试判定点的位置,并加以证明;(2)求二面角的余弦值.20.在平面直角坐标平面中,的两个顶点为,平面内两点、同时满足:;.(1)求顶点的轨迹的方程;(2)过点作两条互相垂直的直线,
5、直线,与的轨迹相交弦分别为,设弦,的中点分别为,.求四边形的面积的最小值;试问:直线是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.21.已知函数.(1)当,求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(3)已知,均为正实数,且,求证.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,
6、若,分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.23.选修4-5:不等式选讲已知.(1)当时,解不等式.(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.十模数学答案(理)一、选择题1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12:AC二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解:(1)由题意可得,即.又因为,所以.所以.(2)因为,所以.因为存在,使得成立,所以存在,使得成立,即存在,使得成立.又,(当且仅当时取等号),所以.即实数的取值范围是.18.解:(1)由折线图可得共抽取了人,其中男生中学习时间不足小时的有人,女生中学习时间不足小时的有人.可估计全校中每天学习不足小时的人数
7、为:人.(2)学习时间不少于本的学生共人,其中男学生人数为人,故的所有可能取值为,.由题意可得;.所以随机变量的分布列为均值.(3)由折线图可得.19.解:(1)为的中点,证明如下:连接,因为平面,平面平面,平面,所以,又为的中点,所以为的中点.(2)连接,因为四边形为矩形,所以.因为,所以.同理,得,所以平面,以为原点,为轴,过平行于的直线为轴,过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系(如图所示).易知, 则,.显然,是平面的一个法向量.设是平面的一个法向量,则,即,取,则,所以,所以二面角的余弦值为.20.(1);(2)的最小值的,直线恒过定点.试题解析:(1),由知,为的重心.设,则,由知是
8、的外心,在轴上由知,由,得,化简整理得:.(2)解:恰为的右焦点,当直线,的斜率存且不为时,设直线的方程为,由,设,则,根据焦半径公式得,又,所以,同理,则,当,即时取等号.根据中点坐标公式得,同理可求得,则直线的斜率为,直线的方程为,整理化简得,令,解得.直线恒过定点.当直线,有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为,直线即为轴,过点.综上,的最小值的,直线恒过定点.21.(1)当时,则,则,函数的图象在时的切线方程为.(2)函数在上单调递增,在上无解,当时,在上无解满足,当时,只需,函数在上单调递增,在上恒成立,即在上恒成立.设,则在上单调递增,在上的值域为.在上恒成立,则综合得实数的取值范围为.(3)由(2)知,当时,在上单调递增,于是当时,当时,即,同理有,三式相加得.22.解:(1)的极坐标方程是,整理得,的直角坐标方程为.曲线:,故的普通方程为.(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为,则曲线的参数方程为(为参数).设,则点到曲线的距离为.当时,有最小值,所以的最小值为.23.解:(1)当时,等式,即,等价于或或,解得或,所以原不等式的解集为;(2)设,则,则在上是减函数,在上是增函数,当时,取最小值且最小值为,解得,实数的取值范围为.
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