1、绝密启用前 试卷类型:B2013年汕头市高二年级期末统考试题数学(理科) 2013.7本试卷共6页,21小题,满分150分考试用时120分钟注意事项:1答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上不按要求填涂的,答案无效3非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答
2、,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回参考公式: 体积公式:,其中分别是体积、底面积和高;一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知全集,集合,则( )A B C D2.已知是虚数单位,则复数所对应的点落在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D
3、第四象限3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( )A B C D4. 已知变量满足约束条件,则的最大值是( )A. B. C. 1 D. 开始s=0,n=1是否nn=+1输出s结?3102n3=s+ssin5.双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线离心率为( )A B C D6.阅读下面程序框图,则输出结果的值为() A B C D7.在下列命题中, “”是“”的充要条件; 的展开式中的常数项为;设随机变量,若,则;已知命题p:; 命题q:,则命题 为真命题; 其中所有正确命题的序号是 ( )A B C D8.设为有理数集,定义映射,则定义为到的映射:,则( )A
4、 B. C. D. 二、填空题:(本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置) (一)必做题(913题)9.抛物线的焦点坐标为 .10. 函数在点处的切线方程为 .11若向量,满足且,则(+2)= .12我们知道,任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理,比如:在中,三条边对应的内角分别为,那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为:, 请你用规范合理的文字叙述余弦定理(注意,表述中不能出现任何字母): 13不等式解集为_ _. (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程)在极坐标系中,以点为圆心,半径为2的圆的极坐标方程为 .15如图
5、,中的弦与直径相交于点,为延长线上一点,为的切线,为切点,若,则_, 三解答题:(本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题共12分)已知等差数列的前项和为,()求数列的前项和;()若数列满足,求数列的前n项的和17. (本小题满分12分)空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:3 0 2 2 4 4 8 9 6 6 1 5 1 7 8 8 2 3 0 9 8 甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 乙城市 甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空
6、气质量指数进行监测,获得日均浓度指数数据如茎叶图所示:()根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) ()在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;() 在乙城市15个监测数据中任取个, 设为空气质量类别为优或良的天数,求的分布列及数学期望.18.(本小题满分14分)已知函数 .()求函数的最小正周期及函数的单调递增区间;()若,求的值.() 在锐角中,三条边对应的内角分别为,若,且满足, 求的面积。19. (本小题满分14分)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且()求证:;()求证:平面;
7、()求二面角的余弦值20.(本小题满分14分)已知椭圆:的离心率,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16()求椭圆的方程;()若、,试探究在椭圆内部是否存在整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得的面积?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)21(本小题满分14分)设函数,其中b0。()当b时,判断函数在定义域上的单调性;()求函数的极值点; ()证明对任意的正整数n,不等式都成立。 2013年高二统考理科数学试题答案一、 选择题:DCBBCDCC二、 填空题:9、 10、 11、0 12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边
8、以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差,(本题可以酌情给分,得分0分,4分,5分)(对于文字表达不太规范的可以考虑给4分)13、 14、 15、三、 解答题:16、解:()设数列的首项为a1,公差为d 则 4分 , 5分 6分 前项和 7分 (), ,且 8分当n2时,为定值, 9分 数列构成首项为,公比为的等比数列 10分所以 (1)当,即时,11分(2)当,即时数列的前n项的和是 12分17、(本小题满分12分)解:()甲城市空气质量总体较好. 4分()甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,5分乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天
9、,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为, 6分在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为. 8分()的取值为, 9分,的分布列为: 11分1数学期望 12分18、解: 1分 . 3分()函数的最小正周期. 4分()解法一:由已知得, 6分两边平方,得 所以 7分因为,所以. 8分所以. 9分解法二:因为,所以. 5分又因为, 6分得 . 所以. 7分所以, . 9分()因为 10分所以,又因为为锐角三角形,所以 11分所以由,且得到: 12分所以,且的面积14分19、证明:(I) 因为是正三角形,是中点,所以,即1分又因为,平面,2分又,所以平面3分又平面,所以4分(
10、)在正三角形中,5分在中,因为为中点,所以,所以,所以6分在等腰直角三角形中,所以,所以8分又平面,平面,所以平面9分()因为,所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,所以10分由()可知,为平面的法向量11分,设平面的一个法向量为,则,即,令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为(显然为锐角), 则所以二面角余弦值为14分20、解:()设椭圆C的半焦距为c ,由题意可知道:, 解得 3分又因为,所以所以椭圆的方程为 6分()依题意,直线的方程为, 7分 因为,所以到直线的距离为, 8分 所以点在与直线平行且距离为的直线上,设, 则,解得 10分 当时,由,消元得,即 12分又,所以,相应的也是整数,此时满足条件的点有个. 当时,由对称性,同理也得满足条件的点有个. 13分综上,存在满足条件的点,这样的点有个. 14分21、解:()由题意可知:函数的定义域为, 1分且 2分设恒成立所以对任意恒成立,函数在定义域上是增函数; 3分() 显然由()可知:当b时,函数无极值点; 4分当时,恒成立,所以函数在定义域上单调递增,无极值点; 5分当时,有两个不同的解, (A)显然时,即时,的变化情况如下表:-0+单调递减极小值单调
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