构造函数法在高考解导数和数列问题.doc

1、用构造函数法给出两个结论的证明（1）构造函数，则，所以函数在上单调递增，所以，即（2）构造函数，则所以函数在上单调递增，所以，即要证两边取对数，即证事实上：设则因此得不等式构造函数下面证明在上恒大于0在上单调递增，即 以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科221【09天津文】10设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是A B C D【答案】A【解析】由已知，首先令得，排除B，D令，则，当时，有，所以函数单调递增，所以当时， ，从而当时，有，所以函数单调递减，所以当时， ，从而综上故选A【考点

2、定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力2【09辽宁理】21（本小题满分12分）已知函数，（）讨论函数的单调性； （）证明：若，则对任意，有解：（）的定义域为 2分（i）若即，则，故在单调增加（ii）若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减少，在单调增加（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加（II）考虑函数则 由于故，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有 12分3【09全国理】22（本小题满分12分）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：【解】（I）由题设知，函数的定义域是且有两个不同的根

3、，故的判别式，即 且 又故因此的取值范围是当变化时，与的变化情况如下表：因此在区间和是增函数，在区间是减函数（II）由题设和知 于是设函数 则 当时，；当时，故在区间是增函数于是，当时，因此 wwwks5ucom52009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21（本小题满分12分）已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数（1）求、的表达式；（2）求证：当时,方程有唯一解；（3）当时,若在内恒成立,求的取值范围解：（1）依题意,即,上式恒成立, 1分又,依题意,即,上式恒成立, 2分 由得3分 4分（2）由（1）可知,方程,设,令,并由得解知5分令由 6分 列表分析：（0,1）1（1,+）-0+

4、递减0递增可知在处有一个最小值0, 7分当时,0,在（0,+）上只有一个解即当x0时,方程有唯一解8分（3）设, 9分在为减函数 又11分所以：为所求范围 12分7山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20（本题满分12）已知函数（）求的单调区间；（）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点 ，求证：解：（）略（）当时，以下先证， 所以只需证，即设，则所以在时，为减函数， 即又，成立，即同理可证9山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22（本题满分14分）已知函数在上为增函数，且，（1）求的取值范围；（2）若在上为单调函数，求的取值范围；（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围解：（1）由题意，在上恒成立，即 故在上恒成立， 2分 只须，即，只有结合得4分（2）由（1），得在上为单调函数，或者在恒成立 6分等价于即而 8分等价于即在恒成立，而综上，的取值范围是 10分（3）构造函数当时，所以在上不存在一个，使得成立当时， 12分因为所以，所以在恒成立故在上单调递增，只要，解得故的取值范围是 14分