应用导数研究曲线的切线.doc

1、 导数的概念及运算核心突破考点透视：从近几年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上考情分析：(1)根据曲线方程，求其在某点处的切线方程；(2)根据曲线的切线方程求曲线方程中的某一参数可能出现在导数解答题的第一问，较基础题型一：导数的运算例1 求下列函数的导数(1) y(x1)(x2)(x3)；(2)y；(3)y.解： (1)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(2)y，y.(3)ycos xsin x，ysin xcos x. 方法

2、规律：求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量变式练习：1.若f(x)2xf(1)x2，则f(0)_.解析：f(x)2f(1)2x.令x1，得f(1)2f(1)2，即f(1)2.令x0，得f(0)2f(1)4.答案：4题型二：导数的几何意义例2(1)(2012辽宁高考)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切

3、线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_(2)若曲线yx3.求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程解：(1)y，yx，y|x44，y|x22.点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(2,2)，在点P处的切线方程为y84(x4)，即y4x8. 在点Q处的切线方程为y22(x2)，即y2x2.解得A(1，4)，则A点的纵坐标为4.(2)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或，切线方程为y44(x2)或y

4、4(x2)，即4xy40或12x3y200.互动探究：若将本例(2)中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？解：设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4在切线上，42xxf(4,3)，即x3x40.xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0.(x01)(x02)20.解得x01或x02.故所求的切线方程为4xy40或xy20.方法规律：1求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程

5、为yy0f(x0)(xx0)2求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解训练：1.已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为_解析由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3，即f(x0)4x13，x01，将其代入f(x)中可得P(1,0)答案(1,0)题后反思： 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力 2. 2. 若函数f(x)x3f(1)x2f(2)x5，则曲线f(x)在点(0，f(0)处的切

6、线l的方程为_解析：f(x)x2f(1)xf(2)，f(2)1，f(1)1.f(x)x3x2x5，f(x)x2x1.f(0)1，f(0)5.曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx5.答案：xy501曲线y在点M处的切线的斜率为()AB.CD.解：y，所以y|x.答案B2已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B. C. D.解析：y1(当且仅当ex1，即x0时取等号)，即1tan0，所以.答案：D3若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：y2xa，ky|x0a1，将(0，

7、b)代入切线：0b10.b1，故a1，b1.答案：A4.设xR，函数f(x)exaex的导函数yf(x)是奇函数，若曲线yf(x)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A. B Cln2 Dln2解析：yf(x)exaex，yf(x)为奇函数，f(0)1a0，a1，f(x)exex，由exex，得ex2，xln2.答案：C5.若以曲线yx3bx24xc (c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为_解析：yx22bx4，y0恒成立，4b2160，2b2.答案：2,26已知函数f(x)，g(x)满足f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(x)1，则函数y 的图像在x

8、5处的切线方程为_解析：由yh(x)知yh(x)，得h(5).又h(5)，所以切线方程为y(x5)，即5x16y30.7.已知是函数的导函数,如果是二次函数,的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是(A)(B)(C)(D)由题意知,所以,即,所以,选B. 题型三：导数几何意义的应用例3已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解：由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a0时，需满足0，解得a0.综上，a.答案A方法规律：导

9、数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解变式练习12013大纲全国已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9 B6 C9 D6解析：由题意知y|x1(4x32ax)|x142a8，则a6.故选D项22014新乡月考设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a

10、()A2 B. C D2解：y，点(3,2)处切线斜率k，切线与直线axy10垂直，a2.答案：D32014长春三校联考若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B. C. D.解析：过点P作yx2的平行直线，且与曲线yx2lnx相切，设P(x0，xlnx0)，则ky|xx02x0，2x01，x01或x0(舍去)P(1,1)，d.答案：B42013广东若曲线yax2lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y2ax及导数的几何意义得y|x12a10，解得a.答案：52013江西若曲线yx1(

11、R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.解析：切线斜率k2，又yx1，y|x1，故2.答案：26. 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为A. B. C. D.解：,在点的切线斜率为.故切线方程为,即,与坐标轴的交点坐标为,故三角形的面积为,选B. 7.已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则的值为（ ）A1 B 1log20132012 C-log20132012 D1解：函数的导数为，所以在处的切线斜率为，故切线斜率为，令得，故，所以，选A.8.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解

12、析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0.从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值6。9.设Q是曲线T：上任意一点，是曲线T在点Q处的切线，且交坐标轴于A,B两点，则OAB的面积（O为坐标原点）A. 为定值2 B.最小值为3 C.最大值为4 D. 与点Q的位置有关【知识点】导数的几何意义；三角形的面积.解：设Q，则，曲线C在点P处的切线方程为：整理，得OAB的面积故选：A.【思路点拨】曲线C在点P处的切线方程为求出，由此得到OAB的面积为定值.6