1、圆锥曲线一题40问之(1)弦长问题已知椭圆E:,左右焦点分别为,左右顶点分别为,上下顶点为,。(1) 过点的直线交椭圆E与M,N两点,是否存在实常数,使恒成立?并由此求的最小值。(2) 过点的直线交椭圆E与M,N两点,MN的中垂线交X轴与点D,是否存在实常数,使恒成立?(3) 过点P(4,0)的直线交椭圆E与M,N两点,设,过点M作x轴的垂线与椭圆E与另一点Q,证明:。(4) 过焦点的直线交椭圆E与M,N两点,求弦长,并求其最小值。圆锥曲线一题40问之(2)面积问题(5) 已知动点P在椭圆E上,两定点,求的面积的最大值。(6) 设直线交椭圆E与M,N两点,且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求
2、的面积的最大值(7) 过点P(0,-2)的直线交椭圆E与M,N两点,当的面积最大时,求直线的方程。(8) 过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D 两点,且,是否存在实常数,使恒成立?并求四边形MCND面积的最小值和最大值。(9) 过椭圆E右焦点的直线斜率不为0,直线与椭圆E交于两点M,N,G为MN的中点,射线OG与椭圆E交于P,求四边形MONP面积S的最小值。(10) 直线与椭圆E交与,两点,已知,若,证明:的面积是定值。圆锥曲线一题40问之(3)定点问题(11) 直线:交椭圆E于M,N两点(M,N不是左右顶点),且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点,求证直线过定点。(12) 已知M,N是
3、椭圆E上两个动点,定点满足直线PM与PN垂直,证明:直线MN过定点。(13) 动点P在直线上,过P引椭圆E的两条切线,分别切与点C和D。证明:直线CD 过定点。(14) 动点P在直线x=4上,过P引椭圆E的两条切线,分别切与点C和D。证明:直线CD 过定点。(15) 过椭圆E的右焦点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆E交于A,B和C,D,设线段AB,CD的中点分别是P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点。(16) 过点P(2,1)的直线交椭圆E于,两点,过点N作斜率为的直线交椭圆E于另一点Q,求证:直线MQ过定点。圆锥曲线一题40问之(4)定值问题椭圆结论 椭圆切线过椭圆上一点的切线方程为:,从椭圆
4、外一点往椭圆作两条切线分别交椭圆于A,B两点,则AB所在直线的方程为:(17) 已知动点P在椭圆E上(异于),证明:为定值(18) 已知动点P在椭圆E上,过原点O的直线与椭圆E交与,两点,证明:为定值。(19) 已知直线与椭圆E交于,两点,且MN的中点为P,求证:为定值。(20) 已知动点P在椭圆E上,在点P的切线的斜率为k,证明:为定值,且有为定值。(21) 已知M,N是椭圆E上的两个动点,定点满足直线PM与PN的倾斜角互补,证明:直线MN的斜率为定值。(22) 证明椭圆E的两个焦点到椭圆E的任一条切线的距离之积为定值(23) 已知M,N是椭圆E上的两个动点,且,求证:为定值,且原点O到直线
5、MN的距离为定值。,(24)过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D 两点,且 ,求证: 为定值。 (25)已知动点M,N是椭圆E上位于x轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P。求证:是定值。(26)过焦点的直线交椭圆E与M,N两点,直线与y轴交于点P,证明:为定值。 (27)过点,的弦分别与椭圆E相交,得到的弦分别是PS,PT,设,证明:为定值。圆锥曲线一题40问之(5)恒成立问题(28)过点的直线交椭圆E异于点的M,N两点,且直线:交于点,求证:。(29) 过点的直线交椭圆E于,两点,为直线:x=-4上任意一点,证明:(30) 过点的直线交椭圆E于,两点,为直线:上任意一点,求证
6、:。(为x轴上任意一点)(31) 过点的光线在椭圆E上一点P处反射,求证:反射光线经过.(提示:与与点P处的切线所成的角相等)(32) 过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D 两点,直线:x=-4,直线MD交直线于点P,证明:P,C,N三点共线。(33) 过点的直线交椭圆E于,两点,点M的关于x轴的对称点,证明:,N,共线。(34) 点P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线,分别与椭圆E交于M,N两点,证明:MN垂直x轴。圆锥曲线一题40问之(6)探索性问题(35) 过点的直线交椭圆E于,两点,是否存在点P使得为定值。(36) 过点不与坐标轴垂直的直线与椭圆E相交于M,N两点,且MN的垂直平分线交x轴于点,求t的取值范围。(37) 过定点的直线交椭圆E与M,N两点,是否存在点使得为定值。圆锥曲线一题40问之(7)椭圆轨迹问题(38) 过点P作椭圆E的两条切线,且,求点P的轨迹方程。(39) 已知M,N是过点的直线与椭圆E的交点,求MN中点的轨迹方程。(40) 已知P为椭圆E上一动点,连接PF1,PF2,过点F2作F1PF2的外角平分线的垂线m,m交直线PF1于一点Q,求Q的轨迹方程。5
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