1、第二章测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列语句:桌面就是一个平面;一个平面长3 m,宽2 m;平面内有无数个点,平面可以看成点的集合;空间图形是由空间的点,线,面所构成的.其中正确的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知空间四点中无任何三点共线,那么这四点可以确定平面的个数是( )A. 1 B. 4 C. 1或3 D. 1或43.空间四边形ABCD(如右图)中,若ADBC,BDAD,则有( )A. 平面ABC平面ADC B. 平面ABC平面ADBC. 平面ABC平面DBC D. 平面ADC
2、平面DBC4.若ab,a,b,则( )A. B. b C. D. a5.在空间四边形ABCD(如右下图)各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与GH相交于点P,那么( )A. 点P必在直线AC上 B. 点P必在直线BD上C. 点P必在平面DBC内 D. 点P必在平面ABC外6.下面四个命题:若直线a与b异面,b与c异面,则a与c异面;若直线a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若直线ab,bc,则abc;若直线ab,则a,b与直线c所成的角相等.其中真命题的个数是( )A4B3C2D17.在正方体中(如右下图),与平面所成的角的大小是( )A 90 B 60 C 45
3、D308.如下图,设四面体各棱长均相等,分别为AC、AD中点,则在该四面体的面上的射影是下图中的( )EFADCB ABCD9.如图,平行四边形ABCD中,ABBD,沿BD将ABD折起,使面ABD面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.异面直线a与b分别在平面,内,与交于直线l,则直线l与a,b的位置关系一定是( )A. 至少与a,b中的一条相交 B.至多与a,b中的一条相交C. 至少与a,b中的一条平行 D. 与a,b都相交11.在如下图所示的四个正方体中,能得出ABCD的是( )12.三棱锥P-ABC的所有棱
4、长都相等,D、E、F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是( )A. BC平面PDF B. DF平面PAEC. 平面PDF平面ABC D. 平面PAE平面ABC二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13已知两条相交直线,平面,则与的位置关系是 14.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是 _.15如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, 以下四个命题: FEACBDNM与平行;与是异面直线;与成60;与垂直. 其中正确的有 (写出所有正确命题的序号
5、). 16已知平面和直线,给出条件:;(1)当满足条件 时,有;(2)当满足条件 时,有三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示,将边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C,使AC=a,求证:平面ABD平面CBD.18.如图,在正方体中,、分别是、的中点.求证:平面平面.19.(12分)多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示,其中正视图、侧视图是等腰直角三角形,俯视图是正方形,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA平面EFG;(2)求三棱锥P-EFG的体积.PABCDEF20(12分)
6、如右图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,是的中点,作交于点(1)证明平面;(2)证明平面21(12分)如下图所示,正方形和矩形所在平面相互垂直,是的中点(1)求证:;(2)若直线与平面成45o角,求异面直线与所成角的余弦值22.(14分).在几何体中,平面,平面,(1)设平面与平面的交线为直线,求证:平面;(2)在棱上是否存在一点使得平面平面参考答案一、选择题1.选B.平面是不能定义的原始概念,具有无限延展性,无长度、厚度之分,空间中的点构成线、线构成面,所以四种说法中不正确.2.选D.当四点共面时,可形成平面四边形,确定一个平面.当四点不在同一平面内时,连接四点可形成四面体,可确定4个平
7、面.3.选D.ADBC,ADBD,AD面BCD,又AD平面ADC,面ADC面BCD.4.选C.ab,a,b,ab,b,在内有与b平行的直线,设为c,又b,c,又c,.5.选A.EFGH=P,PEF,又EF面ABC,P面ABC,同理PGH,P面ACD,P在面ABC与面ACD的交线AC上.6.选C.中a与c可能异面、相交或平行;中a与c可能异面、相交或平行;是平行公理;显然正确.故正确.7.选D.如图,A1在平面BB1D1D上的射影为B1D1的中点O1,设正方体棱长为1,则A1B=,A1O1=,所以sinA1BO1=,因此与平面所成的角A1BO1=30.8.选B.如图,因为点D在平面ABC上的射影
8、为正三角形ABC的中心O,因此点F的射影为AO的中点F,因此在该四面体的面上的射影是图B.9.选C.折叠后,平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,ABBD,AB平面ABD,AB平面BCD,AB平面ABC,平面ABC平面BCD,ABBC,同理CDBD,CD平面BCD,CD平面ABD,又CD平面ACD,平面ACD平面ABD,互相垂直的平面有:平面ABD平面BCD,平面ABC平面BCD,平面ACD平面ABD共3对.10.选A.若a,b与都不相交,a, 共面,b,共面,a,b,ab与a,b异面矛盾,a,b都与不相交不可能,故A正确.11.选A. A中,CD平面AMB,CDAB;B中,AB与
9、CD成60角;C中,AB与CD成45角;D中,AB与CD成角的正切值为.12.选C.BCDF,BC平面PDF,A正确;BCPE,BCAE,BC平面PAE.又DFBC,DF平面PAE,B正确;BC平面PAE,BC平面ABC,平面PAE平面ABC,D正确.二、填空题13因为直线与平面没有公共点,因此直线b不会在平面内,即直线b在平面外,所以直线b与平面可能平行,可能相交.答案:相交或平行.14.正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”,12条棱共对应着24个“正交线面对”;正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”,12条面对角线对应着12个“正交线面对”,共有36个.答案:3615如图,作出正方
10、体原图,容易在图形中得出,是错误的;因为CNBE,所以与所成角即为EBM=60,而AFBE,所以AFCN.答案:16(1)在所给条件中,是互斥的条件,即一个成立,另两个肯定不成立;也是互斥的条件.当具备条件时,成立;当具备条件时,.答案:(1);(2).三、解答题17.【证明】设原正方形的对角线AC和BD交于点O,则折叠后仍有AOBD,COBD,AOC是二面角A-BD-C的平面角.AC=a,AO=CO=a,AC2=a2=AO2+CO2,AOC=90,二面角A-BD-C是直二面角,即平面ABD平面CBD.18. 【证明】、分别是、的中点, 又平面,平面,平面,四边形为平行四边形,又平面,平面,平
11、面. 又,平面平面. 19.【证明】(1)方法一:如图,取AD的中点H,连接GH,FH.E、F分别为PC、PD的中点,EFCD.G、H分别为BC、AD的中点,GHCD,EFGH,E、F、H、G四点共面. F、H分别为DP、DA的中点,PAFH.PA 平面EFG,FH 平面EFG,PA平面EFG.方法二:E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.EFCD,EGPB.CDAB,EFAB.PBAB=B,EFEG=E,平面EFG平面PAB.PA平面PAB,PA平面EFG.(2)由三视图可知,PD平面ABCD,又GC平面ABCD,GCPD.四边形ABCD为正方形,GCCD.PDCD=D,GC平面PCD.P
12、F=PD=1,EF=CD=1,SPEF=EFPF=.GC=BC=1,VP-EFG=VG-PEF=SPEFGC=1=.PABCDEF20【证明】(1)连接AC,AC交BD于O,连接EO底面ABCD是正方形,点O是AC的中点 在中,EO是中位线,PA / EO 而平面EDB且平面EDB, PA / 平面EDB (2)PD底面ABCD且底面ABCD,PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, 同理:由PD底面ABCD,得PDBC底面ABCD是正方形,有DCBC,BC平面PDC,而平面PDC, 由和推得平面PBC而平面PBC,又且,PB平面EFD21【证明】(1)在矩形中, 平面平面,且平面平面,.(2)由(1)知:, 是直线与平面所成的角,即.设,取,连接,是的中点, 是异面直线与所成角或其补角.连接交于点, ,的中点, ,. 异面直线与所成角的余弦值为22.【证明】(1)CD平面ABC,BE平面ABC,CD/BE,CD/平面ABE,又l=平面ACD平面ABE,CD/ l,又平面BCDE,CD平面BCDE,l /平面BCDE(2)存在,F是BC的中点,下加以证明:CD平面ABC,CDAF.AB=AC,F是BC的中点,是面和面所成二面角的平面角.在中,FD=,FDFE ,即,平面AFD平面AFE.
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