1、学大教育科技(北京)有限公司 XueDa Education Technology(Beijing)Ltd.二面角复习【基础训练】(1)正方形ABCD-A1B1C1D1中,二面角B-A1C-A的大小为_ _;(2)将A为60的棱形ABCD沿对角线BD折叠,使A、C的距离等于BD,则二面角A-BD-C的余弦值是_ _; (3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18,BD1与侧面B1BCC所成的为30,则二面角C1BD1B1的大小为_ _;(4)从点P出发引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二面角B-PA-C的余弦值是_ _;(5)二面角-的平面角为120,A、B,AC,
2、BD,AC,BD,若AB=AC=BD=1,则CD的长_ _;(6)ABCD为菱形,DAB60,PD面ABCD,且PDAD,则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为_ _。【例题选讲】:PBCAEFD例1.空间三条射线CA、CP、CB,PCA=PCB=600,ACB=900,求二面角B-PC-A的大小。DCBAH例2.如图:RtABC中,斜边AB在平面内,C,AC、BC与所成角分别为450和300,求平面ABC与所成角。例3.如图ABCD为菱形,DAB60,PD面ABCD,且PDAD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。 BACA1B1C1D例4.正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为a
3、,D为CC1的中点,过A、B1、D作截面,求此截面与底面A1B1C1所成角。例5.如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18,BD1与侧面B1BCC1所成的为30。 求BD1和底面ABCD所成的角; 求异面直线BD1和AD所成的角; 求二面角C1BD1B1的大小。 例6 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把ABD折起,使点A在平面BCD上的射影A落在BC上,求二面角A-BD-C的大小的余弦值【巩固练习】1.如图1122,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?2已
4、知:如图1126,二面角AB为30,P,P到平面的距离为10cm求P到AB的距离3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值4.如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F在AA1上,且A1FFA=12,求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值5.已知:如图12,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a求:平面APB与平面CPD相交BACA1B1C1D所成较大的二面角的余弦值6如图,正方体AC1中,已知O为AC与BD的交点,M为DD1的中点。(1)求异面
5、直线B1O与AM所成角的大小。(2)求二面角B1MAC的正切值。(14分)7在正方体AC1中,E为BC中点(1)求证:BD1平面C1DE;(2)在棱CC1上求一点P,使平面A1B1P平面C1DE;(3)求二面角BC1DE的余弦值。(14分)【参考答案】(答:)(答:)(答:)(答:)(答:2)(答:)PBCAEFD解:过PC上的点D分别作DEAC于E,DFBC于F,连EF,EDF为二面角B-PC-A的平面角,设CD=a,PCA=PCB=600,CE=CF=2a,DE=DF=,又ACB=900,EF=,EDF=,解:过点C作CD于D,连AD、BD,DAC和CBD分别为AC、BC与所成角,即DAC
6、=450,CBD=300,过点D作DHAB于H,连CH,CHAB,即CHD为 平面ABC与所成角,设CD=a,AC=,BC=2a ,AB=,CH=,CHD=600,即为平面ABC与所成的角。(ABDC,P为面PAB与面PCD的公共点,作PFAB,则PF为面PCD与面PAB的交线)这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”如果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E,则折叠后OA,OE与BD的垂直关系不变但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面,此平面必与棱垂直由特征(2)可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二
7、面角的平面角另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A,这样的定位给下面的定量提供了可能在RtAAO中,AAO=90,解:已知CD=100米,设DH垂直于过BC的水平平面,垂足为H,线段DH的长度就是所求的高度在平面DBC内,过点D作DGBC,垂足是G,连结GHDH平面BCH,DGBC,GHBC因此,DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角,DGH60,由此得:43.3(米)答:沿直道前进100米,升高约43.3米注:在解题中要特别注意书写规范如:DGBC,GHBC,DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角解:在内作点P的射影
8、O,过点P作PQAB于Q,连结OQ,根据三垂线定理,可得OQABPQO为二面角AB的平面角,即PQO3OPO10cm,PQ20cm即P到AB的距离为20cm分析:在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中,没有出现二面角的棱,我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点,则这两个公共点的连线即为二面角的棱,最后借助这条棱作出二面角的平面角略解:如图10在面BB1CC1内,作EHB1C1于H,连结HA1,显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1延长EF,HA1交于G,过G,B1的直线为所求二面角的棱在平面A1B1C1D1内,作HKGB1于K,连EK,则HKE为所求二面角的平面角在平面A1
9、B1C1D1内,作B1LGH于L,利用RtGLB1RtGKH,可求得KH又在RtEKH中,设EH=a,容易得到:所求二面角大小的正切值分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线解:因为 ABCD,CD 平面CPD,AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB,且P平面CPD,因此 平面APB平面CPD=l,且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角因为 AB平面CPD,AB 平面APB,平面CPD平面APB=l,所以 ABl过P作PEAB,PECD因为 lABCD,因此 PEl,PFl,所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因为 PE是正三角形APB的一条高线,且AB=a,因为 E,F分别是AB,CD的中点,所以 EF=BC=a在EFP中,19(1)方法二:取AD中点N,连结A1N,则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AMA1NAMB1O(三垂线定理)(2)连结MB1,AB1,MC,过O作OHAM于H点,连结B1H,B1O平面MAC,B1HO就是所求二面角B1MAC的平面角.20证 - 8 -
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