三角形的五心一次看个够.doc

1、三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍一、三角形外心的性质 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在A的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ABC外接圆的圆心因而称为外心设ABC的外接圆为G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：BGC=2A，（或BGC=2(180-A). 3：点G是平面ABC上一点，那么点G是AB

2、C外心的充要条件是： 点是的外心 (或2=2=2)(点到三顶点距离相等)(+)=(+)=(+)=0(为三边垂直平分线的交点)4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是ABC外心的充要条件是： =(tanB+tanC) +(tanC+tanA) +(tanA+tanB) )/2(tanA+tanB+tanC). 或 =(cosA/2sinBsinC)+(cosB/2sinCsinA)+(cosC/2sinAsinB). 5：R=abc/4SABC. 正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。6.外心坐标：给定求外接圆心坐标O（x，y）. 首先，外接圆的圆心

3、是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程： .化简得到： 令；;；; 即;.最后根据克拉默法则： 因此，x，y为最终结果；7.若O是ABC的外心，则SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A+sin2B+sin2C=证明：设点在内部，由向量基本定理，有，则设：，则点为DEF的重心， 又，若O是ABC的外心，则SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C故sin2A+sin2B+sin2C=二、三角形的内心内心定理的证

4、明：如图，设A、C的平分线相交于I、过I作IDBC，IEAC，IFAB则有IE=IF=ID因此I也在C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成设ABC的内切圆为O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3、r=S/p。证明：SABC=SOAB+SOAC+SOBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。4、ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2。5、BOC=90+A/2。6、点O是平面ABC上任意

5、一点，点O是ABC内心的充要条件是：。7、点O是平面ABC上任意一点，点L是ABC内心的充要条件是： /(a+b+c)。8、ABC中，那么ABC内心L的坐标是：。9、(欧拉定理)ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OL2=R2-2Rr。10、内角平分线分三边长度关系：如图：ABC中，AD是A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是A、B、C的对边，d=AD。设R1是ABD的外接圆半径，R2是ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，R1/R2=sinC/sinB=c/b

6、.又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，CAD=BAD，BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r=三、三角形的重心1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为。5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP+AC/AQ=38.从三角形ABC的三

7、个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为，则均在以重心G为圆心，为半径的圆周上四、三角形的垂心证明垂心定理分析 我们可以利用构造外心来进行证明。证明 如图，AD、BE、CF为ABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ABC，显然AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为AC、AB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证设ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的

8、内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点，均在ABC的外接圆上。4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AHHD=BHHE=CHHF。5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。6、 ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、 设O，H分别为ABC的外心和垂心，则BAO=HAC，ABH=OBC，BCO=HCA。9、 锐角三角形的垂心到

9、三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现）。11、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。12、 设锐角ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为AEF，BDF，CDE的垂心，则DEFH1H

10、2H3。14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量（与外心一样）：d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+

11、c2+c3。垂心坐标：( c1/c，c2/c，c3/c )ABC中，垂心H(m,n); 分别做高线: AHBC;BHAC; 且解得: 五、三角形的旁心1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2：旁心到三角形三边的距离相等。3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。5:的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交外接圆于，交于，显然，三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直，并且有、；、；、；、；、；、；（称为对称比定理）、，（俗称“鸡爪”定理）6:7：旁心

12、与内心的关系 如图，为ABC的内心，是ABC的三个旁心。注意：的中点D、E、F都在ABC外接圆上。这一点对内心来确定旁心的位置大有作用。 又由内心张角公式得： ， 又因为、C、B四点共圆，故 同理，; 这便是旁心张角公式 第8条性质8：旁心于半周长(p)形影不离 如图：是ABC的旁心，作垂直于AB于E，垂直于AC于F。 易得：BE=BD,CF=CD,AE=AF,AE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC,故AE=AF=p 9：旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线 如图：分别是ABC的三个旁心，由于是对顶角的平分线亦为反向延长线，故三点共线。特别性质：1.三角形所在平面内一点的

13、向量与面积关系结论： 设点在内部，若，则证明： 已知点在内部，且 设：，则点为DEF的重心， 又， 说明: 此结论说明当点在内部时，点把所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点在内部，且，则的面积与的面积之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述结论易得：，所以，故选D 当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设点在内部，且角所对应的边分别为 结论1：若为重心，则 分析：重心在三角形的内部，且重心把的面积三等分.结论2 ：为内心，则 分析：内心在三角形的内部，且易证SBOC：SCOA：SAOB=结论3： 为的外心，则 分析： 易证SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由结论3及结论：为的外心，为的垂心，则可得结论4。 结论4：若为垂心，则 即 证明：对任意有，其中为外心，为垂心， ， 则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数，使得， 即，由结论3得： 所以有：， 所以可得： 化简后可得： 应用举例：例1：已知为的内心，且，则角的余弦值为 。分析：由结论2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三边长为，设的外心为，若， 求实数的值。分析： ，整理后即得：. 由结论3可