1、特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。显然 为的多元函数,因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件,得 (2)即 (3)(3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为 (4)式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(4)中解出 (k=0,1,,n),从而可得多项式 (5)可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步: (1) 由已知数据画出函数粗略的图形散点图,确定拟合多项式的次数n;(
2、2) 列表计算和;(3) 写出正规方程组,求出;(4) 写出拟合多项式。在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度()时的电阻如表6-1,求电阻R与温度 T的近似函数关系。i123456()19.125.030.136.040.045.150.076.3077.879.2580.882.3583.985.1解 画出散点图(图6-2),可见测得的数据接近一条直线,故取n=1,拟合函数为列表如下364.811457.33077.80625.001945.000906.012385.42580.801296.002908.8001600.003294
3、.00083.902034.013783.89085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为 解方程组得 故得R与T的拟合直线为 利用上述关系式,可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如,由R=0得T=-242.5,即预测温度 T=-242.5时,铜导线无电阻。6-2例2 已知实验数据如下表 78910试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下 I2781154516642562512562550362161296493432401512409612872965612431001000100004040053323
4、813017253171471025得正规方程组 解得 故拟合多项式为 *三 最小二乘拟合多项式的存在唯一性 定理1 设节点互异,则法方程组(4)的解存在唯一。证 由克莱姆法则,只需证明方程组(4)的系数矩阵非奇异即可。用反证法,设方程组(4)的系数矩阵奇异,则其所对应的齐次方程组 (7) 有非零解。式(7)可写为 (8) 将式(8)中第j个方程乘以 (j=0,1,,n),然后将新得到的n+1个方程左右两端分别 相加,得因为 其中 所以 (i=0,1,m) 是次数不超过n的多项式,它有m+1n个相异零点,由代数基本定理,必须有,与齐次方程组有非零解的假设矛盾。因此正规方程组(4)必有唯一解 。
5、定理2 设是正规方程组(4)的解,则是满足式(1)的最小二乘拟合多项式。证 只需证明,对任意一组数组成的多项式,恒有 即可。因为 (k=0,1,,n)是正规方程组(4)的解,所以满足式(2),因此有 故为最小二乘拟合多项式。*四 多项式拟合中克服正规方程组的病态 在多项式拟合中,当拟合多项式的次数较高时,其正规方程组往往是病态的。而且 正规方程组系数矩阵的阶数越高,病态越严重;拟合节点分布的区间偏离原点越远,病态越严重; (i=0,1,,m)的数量级相差越大,病态越严重。为了克服以上缺点,一般采用以下措施:尽量少作高次拟合多项式,而作不同的分段低次拟合;不使用原始节点作拟合,将节点分布区间作平
6、移,使新的节点关于原 点对称,可大大降低正规方程组的条件数,从而减低病态程度。平移公式为: (9)对平移后的节点(i=0,1,,m),再作压缩或扩张处理: (10) 其中 ,(r是拟合次数) (11) 经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小,特别对于等距节点,作式(10)和式(11)两项变换后,其正规方程组的系数矩阵设 为A,则对14次多项式拟合,条件数都不太大,都可以得到满意的结果。变换后的条件数上限表如下:拟合次数=19.950.3435在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。一种方法是构造离散正交多项式;另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。这两种方法都使正规
7、方程 组的系数矩阵为对角矩阵,从而避免了正规方程组的病态。我们只介绍第一种,见第三节。例如 m=19, =328,h=1, =+ih,i=0,1,,19,即节点 分布在328,347,作二次多项式拟合时 直接用构造正规方程组系数矩阵,计算可得 严重病态,拟合结果完全不能用。 作平移变换 用构造正规方程组系数矩阵,计算可得 比降低了13个数量级,病态显着改善,拟合效果较好。 取压缩因子 作压缩变换 用构造正规方程组系数矩阵,计算可得 又比降低了3个数量级,是良态的方程组,拟合效果十分理想。如有必要,在得到的拟合多项式中使用原来节点所对应的变量x,可写为 仍为一个关于x的n次多项式,正是我们要求的拟合多项式。
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1