第一章 第二讲112集合间的关系Word文档格式.docx

1、3集合相等与真子集如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合B.（即：若AB，且BA，则AB）如果集合A是集合B的子集，并且存在xB，且 ，则称A是B的真子集用A B或B A表示解析容易看出，中集合A的元素都是集合B的元素，因此A为B的子集；中集合A的元素5不是B的元素，中B的空集值得说明的是：（1）集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中至少存在一个元素 A的元素；（2）子集包括真子集和相等两种情况；（3）空集是任何非空集合的真子集；（4）对于集合A、B、C，如果A B，B C，那么A C；如果A B，BC，那么A C；如果AB

2、，B C，那么A C.（1） 写出N，Z，Q，R之间的包含关系，并用Venn图表示解析N Z Q R，用Venn图表示如图所示（2）判断下列两个集合之间的关系：Ax|x是4与10的公倍数，xN*， Bx|x20m，mN*4正确区别各种符号的含义（1）与的区别表示元素与集合之间的关系，因此有1N，1N等；和 表示集合与集合之间的关系，因此有NR， R等，要正确区分属于和包含关系（2）a与a的区别（2） 一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素a的集合，因此有11,2,3,00，1 1,2,3，aa，b，c，a a，b，c（3）空集是集合中的特殊现象，AB包括A的情形容易漏掉，解题时要特别留意

3、（4）0与的区别 0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此有 0， 0与0都是错误的要正确地判断元素与集合，集合与集合之间的关系用适当的符号（， ， ，）填空：（1）a_a；a_a，b（2）0_；_0（3）0,1_1,0；0,1_（0,1） （4）a，b_b，a；（a，b）_（b，a）（5）1,3_x|x24x30（6）x|3x50_x|x （7）xZ|1x3的子集为_ 答案（1） （2） （3）（4）（5）（6） （7），0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2一、元素与集合、集合与集合之间关系的考查1.对子集、真子集有关概念的理解（1）集合A中的任学法指导：何一个元素都是

4、集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法（2）不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素（3）在真子集的定义中，A B首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.例1设a，Mx|x，给出下列关系：aM； Ma；aM; a；2aM；其中正确的关系式共有（）A2个 B3个 C4个 D5个分析解题的关键是确定出a与的大小，正确使用“属于”、“包含”等符号解析a252555（）2，a，a是集合M中的一个元素，又2a，2a不是集合M中的元素，而元素与集合之间的关系应由“属于或不属于”来描述，是错误的，是正

5、确的；再由a是以a为元素的集合，表示的是以为元素的集合，且集合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以判定、错误，正确规律总结：当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错练习1.下列各式中，正确的个数是（）（1）00,1,2；（2）0,1,22,1,0；（3）0,1,2；（4）0；（5）0,1（0,1）；（6）00A1B2C3D4解题提示首先要分清是元素与集合间的关系，还是集合与集合间的关系如果是集合与集合，还要分清是

6、什么关系解析对于（1），是集合与集合的关系，应为0 0,1,2；对于（2），实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于（3），空集是任何集合的子集，对于（4），0是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 0；对于（5），0,1是含有两个元素0与1的集合，而（0,1）是以有序数对（0,1）为元素的单元素集合，所以0,1与（0,1）不相等；对于（6），0是含有单元素0的集合，0与0是“属于与否”的关系，所以00故（2）（3）是正确的，应选B.二、集合包含关系的考查学法指导：判断集合关系的方法有三种：（1）一一列举观察（2）集合元素特征法：首先确定集合的元素

7、是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系一般地，设Ax|p（x），Bx|q（x），若p（x）推出q（x），则AB；若q（x）推出p（x），则BA；若p（x），q（x）互相推出，则AB；若p（x）推不出q（x），q（x）也推不出p（x），则集合A，B无包含关系（3）数形结合法：利用数轴或Venn图若AB和A B同时成立，则A B能准确表达集合A，B之间的关系例2指出下列各对集合之间的关系：（1）A1,1，Bx|x21；（2）A1,2，B（1,2）；（3）Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；（4）Ax|14，Bx|x50；（5）Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*

8、分析先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系解析（1）用列举法表示集合B1,1数AB，（2）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B（4）集合Bx|x3；（4）若AB则a3.由集合间的关系求参数的取值或范围有时在集合的表示中含有字母参数，让我们通过集合的关系来求参数的范围，这里面要注意两个问题：（1） 有关参数的题目要注意分类讨论：一般来说要明确含有参数的题目需要分类，如yax2bxc中的a是否为0，axb中的a也需要讨论，由上面几个例子，参数在取不同的值时，导致问题有不同的形

9、式，因此有关参数的题目，要注意分类的应用，根据分类的原因明确分类的标准，由标准找出分类的对象，还要注意分类时不重不漏的原则（2） 当B是A的子集即BA或真子集B A时，要特别注意B的情况，不要遗漏，否则会丢解例4设集合Ax|x24x0，xR，Bx|x22（a1）xa210，xR，若BA，求实数a的值分析解决此题，应明确BA的具体含义，BA有两种情况，一是BA，而另一种是B A，而B A时还要考虑B能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题解析Ax|x24x0，xR4,0BA，BA或B A.（1）当AB时，即B4,0，则4,0就是方程x22（a1）xa21

10、0的根，代入得a1.（2）当B A时，若B，则4（a1）24（a21）0，解得a1.若B，则B4或B0，此时方程x22（a1）xa210有两个相等的实数根4（a1）24（a21）0，解得a1.经验证知B0满足条件综上可知所求实数a的值为a1或a1.本题重在考查集合的子集，真子集的概念及它们的关系，解题时要求深刻理解AB的概念，合理分析、理解AB的意义，并适时、准确地转化为方程问题或不等式问题，在具体求解过程中有时借助数轴或函数图象来形象解题练习4.已知集合A2，Bx|ax10，aR，BA，求a的值分析本题关键从条件BA入手，可先讨论集合B是否为空集，即化简集合B，再由BA求a的值解析BA，A，

11、B或B.当B时，方程ax10无解，此时a0.当B时，此时a0，B，A，即有2，得a.综上所述，a0或a 五、集合的子集个数问题的考查例5（1）Aa，b，c，求集合A子集的个数（2）若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个，则集合A的子集的个数分别是多少？*（3）根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子集的个数 （4）若A含有n个元素，猜测集合A真子集的个数解析（1）确定集合A各种情形子集的个数：含有一个元素时子集为a，b，c共3个，含有两个元素时子集为a，b，a，c，b，c共3个，含有3个元素时子集为a，b，c共1个，另外还有空集，因此集合A共有8个子集（2）按上述方法，当集合A含

12、有1个元素时子集个数为2，含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为16，含有5个元素时子集个数为32.（3）将上述子集个数整理为21,22,23,24,25，猜测当集合A含有n个元素时子集个数为2n.（4）去掉它本身，应有2n1个牢记下述四个结论，解题时可依据这四个结论检验解答正确与否（1）含n个元素的集合有2n个子集；（2）含n个元素的集合有（2n1）个真子集；（3）含n个元素的集合有（2n1）个非空子集；（4）含n个元素的集合有（2n2）个非空真子集若有兴趣做如下探究，你会收获更大练习5.（1）若A1,2则集合A的个数为_（2）若1A1,2则集合A的个数为_（3）若a1，a2A

13、a1，a2，a3，a4，a5，求满足上述条件的集合A的个数（4）若a1，a2，amAa1，a2，am，b1，b2，bn则集合A的个数为_（5）若a1，a2，am A a1，a2，am，b1，b2，bn则集合A的个数为_解析（3）集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3个元素中选取，即a3，a4，a5的子集总数为238个，这样的集合A共有8个易错点总结1混淆符号“”与“”例6下列各式中，正确的是（）A2x|x4 B2x|x4C2x|x4 D2x|x3错解A或C错因分析混淆了子集符号“”和元素与集合之间的联结符号“”思路分析“”表示两集合之间的关系，“”是表示元素与集合之间的关系2判断集合间

14、的关系时，没有考虑到变量的范围所产生的影响例7集合Mx|x1a2，aN*，Px|xa24a5，aN*，下列关系中，正确的是（）AM P BP MCMP DM P且P M错解C由于a24a5（a2）21，aN*，（a2）2N*，MP.错因分析该解法中的aN*，得到（a2）2N*产生错误，事实上，a2时，（a2）20N*.思路分析要解决集合间关系的判断问题，首先是化简两集合的元素表达式，但要注意变量范围所产生的影响正解A由a24a5（a2）21，且aN*，（a2）2N，M是P的真子集3由子集关系求集合中参数范围时，忽视空集导致漏集例8若Ax|3x4，Bx|2m1xm1，当BA时，求实数m的取值范围

15、错解由于BA，解得1m3错因分析BA，而B中含有字母，因此，集合B可能为空集思路分析是任何集合的子集，这一点一定不要忘记练习：1下列四个命题：空集没有子集；空集是任何集合的真子集；空集中的元素个数为零；任意一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的有（）A0个 B1个C2个 D3个解析提示：错，是任何集合的子集；错，空集是任何非空集合的真子集；对；错，只有一个子集，即本身2（20122013学年度邢台一中高一月考试题）如果Ax|x1，那么正确的结论是（）A0A B0 AC0A DA解析A错，因为0与A是元素与集合的关系，C、D错，因为0与A，与A是集合与集合的关系故选B.3（2012高考文科数

16、学大纲版）已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则（）AAB BCBCDC DAD命题意图本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用解析由正方形是特殊的菱形，矩形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形，可知D是最小的集合，A是最大的集合，依次是B，C集合，因此选C.4（20122013河北正定中学高一数学质量调研）设集合Ax|14，Bx|xa，若A B，则实数a的取值范围为（）Aa4 Ba4Ca4 Da4解析在数轴上表示出两个集合（图略），因为A B，所以a45集合Ax|0x3，xZ，则实数A的真子集个数为（）A5 B6C7 D8解析Ax|0x3

17、，xZ0,1,2因为含有n个元素的集合的所有真子集的个数为2n1，所以A的真子集个数为2317.6用适当的符号填空：（1）x|x是菱形_x|x是平行四边形；x|x是三角形_x|x是斜三角形（2）Z_xR|x220；0_0；_0；N_0解析（1）判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系（2）集合xR|x220中，由于实数范围内该方程无解，因此xR|x220；0是集合0中的元素，它们之间是属于关系；0是含有一个元素0的集合；是不含任何元素的集合，故 0；自然数集N中含有元素0，但不止0这一个元素7指出下列各对集合之间的关系：

18、（1）Ax|x是四边形，Bx|x是梯形；（2）Ax|x是等腰三角形，Bx|x是有一个角是45的直角三角形；（3）Ax|x3，Bx|x5；（4）Ax|1x3，Bx|2x4解析（1）梯形是四边形，B A；（2）Bx|x是有一个角是45的直角三角形x|x是等腰直角三角形B A.（3）若x5，则一定有x3，B A.（4）A，而B，又B，而A，A B，且B A.8已知a，xR，集合A2,4，x25x9，B3，x2axa，Cx2（a1）x3,1（1）若A2,3,4，求x的值；（2）若2B，B A，求a，x的值（3）若BC，求a，x值解析（1）A2,4，x25x92,3,4，x25x93，解得x2或x3.（2）2B，B A，解得x2，a或x3，a（3）由BC得：，由得xa5代入解得：或