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1、练习册真空中的静电场答案第12章真空中的静电场一、 选择题1(A) , 2(C), 3(C), 4(A) , 5(C) , 6(B), 7(C), 8(D), 9(D) , 10(B),二、 填空题0(1).电场强度和电势， E F/q, Ua W/q0 E dl (Uo=0).a(2). q2 q4 / 0， q1、q2、q3、q4 ;(3).0, / (2 0)；(4).R / (20)；q11(5).0 ；(6).;4 0rr。qoq11(7).2X 103 V ;(8).4 0rarb(9).0, pE sin ;(10).824xy i212x 40y j (SI)；二、计算题oo1

2、将一 “无限长”带电细线弯成图示形状， 设电荷均匀分布， 电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB的半径为R,试求圆心 O 点的场强.解：在0点建立坐标系如图所示.E E1 E22.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度 E垂直于地面向下，大小约为 100N/C;在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为 25 N/C .(1)假设地面上各处 E都是垂直于地面向下， 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；（2）假设地表面内电场强度为零, 的电荷产生，求地面上的电荷面密度.且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面（已知：真空介电常量 0 = 8.85 X 10-

3、12 C2 N-1 m-2）解：（1）设电荷的平均体密度为 ，取圆柱形高斯面如图（1）（侧面垂直底面，底面S平行地面）上下底面处的场强分别为E1和E2,则通过高斯面的电场强度通量为:E dS = E2 S E1 S= （E2- E1） S高斯面S包围的电荷刀qi = h S由高斯定理（E2 E1） S= h S / 0 h1-0 E2 E1 = 4.43X 10 13 C/m3h（2）设地面面电荷密度为 由于电荷只分布在地表面，所以电力E2线终止于地面，取高斯面如图 （2）亠 1 由咼斯定理 E dS = qi0-E S= S0(1)=0 E= 8.9X 10-10 C/m33.带电细线弯成半

4、径为 R的半圆形，电荷线密度为 =0sin , 式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示试 求环心0处的电场强度.解：在 处取电荷元，其电荷为 dq = dl =oRsin d它在O点产生的场强为d Edq4 0R20 sin d4 0R在x、y轴上的二个分量dEx= dEcos , dEy= dEsin对各分量分别求和Ex00R0sincosEy00R.2 sin 008 0RExiEyj8 0R4.一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为：=0COS ，式中 为半径R与x轴所夹的角, 试求圆柱轴线上一点的场强.解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条, 长”均匀带电直线，其电荷线密度为=

5、ocos Rd ，它在0点产生的场强为：d E cos d2 oR 2 o它沿x、y轴上的二个分量为：dEx= dEcos cos2 d2 odEy= dEsinosin2 oCO s积分：Exo 2cos2 oEyJsin d(sin ) 0oE Exi5.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为qr4 (rw R) (q为一正的常量)n R=o (rR)试求：(1)带电球体的总电荷；(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势.解：(1)在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = dV = qr 4 r2dr/( R4) = 4qr3dr/R4r则球体所带

6、的总电荷为 Q dV 4q/R4 r3dr qV 0Hlr2 dr4 qii oR42E1中1(rK R),_ 44 oR(2)在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有4花得E1方向沿半径向外.在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4 r22E2 q /得(3)球内电势E2q4 022(r2 R), E2方向沿半径向外.UiREiridr _E2_q3 oR球外电势3qri2R q dr 4 d r oR4ri3drR4 or2i2 oR412oRri RRU2E2 dr2r2 4 orq4 or6.如图所示，一厚为 b的“无限大”带电平板 ，其电荷体密度分布为 =kx (Ow x

7、w b )，式中k为一正的常量.求：(1)平板外两侧任一点 Pi和P2处的电场强度大小；(2)平板内任一点 P处的电场强度；(3)场强为零的点在何处？ 解：(i)由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面.设 场强大小为E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小为 S,如图所示.7.一“无限大”平面，中部有一半径为 R的圆孔，设平面上均匀带电, 电荷面密度为 .如图所示，试求通过小孔中心 O并与平面垂直的直 线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).解：将题中的电荷分布看作为面密度为 的大平面和面密度为一 的圆盘叠加的结果.选x轴垂直于平面，坐标原点O在圆盘中心，大平面在

8、 x处产生的场强为Eib x2 o x|圆盘在该处的场强为该点电势为在阴极表面处电子受电场力的大小为F eE R1Ub Ua 1 ec R2 / R，1 R1=4.37 x 10-14 N方向沿半径指向阳极.四研讨题1.真空中点电荷q的静电场场强大小为q2r式中r为场点离点电荷的距离.当 r0时，Etr，这一推论显然是没有物理意义的，应如 何解释？ 参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当 rt0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用.若仍用此式求场强 E,其结论必然是错误的.当 rt0时，需要具体考虑带电体的大小和电 荷分布，这样求得的 E就有确定值.2.用静电场的环

9、路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场.参考解答:证：在电场中作如图所示的扇形环路 abcda.在ab和cd段场强方向与路径方向垂直.在 bc和da段场强大小不相等（电力线疏密程度不 同）而路径相等因而a cE dl dE dl bE dl 0按静电场环路定理应有 E dl 0 ,此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场.3.如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势, 能否求出该点的场强？为什么？ 参考解答：零势点由电势的定义： U E dl场点式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场 强，而不知道路径上各点的场

10、强表达式，不能求出该点的电势。由场强与电势的关系： E gradU场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。 如果只知道电场中某点的电势值， 而不知道其表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。4.从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到 作物的生长和人类的健康。静电除尘是被人们公认的高效可靠 的除尘技术。先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全 过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从“烟囱”上飘出。 加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。如果撤去电源，烟尘又出 现在我们眼前。请考虑如何计算出实验室管式静电除尘器的工 作电压，即当工作电压达到什么

11、数量级时，可以实现良好的静 电除尘效果。参考解答：先来看看静电除尘装置的结构： 在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈， 我们称它为集电极。 直流高压电源的正极接在线圈上， 负极接在电晕线上，如右上图所示。可以看出， 接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。 改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。当实际电场强度与空 气的击穿电场3 103Vmm 1相近时空气发生电离，形成大量的正 离子和自由电子。 自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了

12、荷电粒子， 这样就使原来中性的尘埃带上了负电。 在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附 着在集电极上。(集电极可以是金属线圈， 也可以是金属圆桶壁)当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗 中。这种结构也称管式静电除尘器。 如右中图所示。对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆 来计算。如右下图所示，ra与rb分别表示电晕极与集电极的半径， L及D分别表示圆筒高度及直径。 一般L为3-5m，D为200-300mm， 故LD,此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。设单位长度的圆柱面带电荷为 。用静电场高斯定理求出距轴线任意距离 r处

13、点P的 场强为:E ? (1) 式中?为沿径矢的单位矢量。2 or内外两极间电压 U与电场强度E之关系为rbU E dl (2)，将式代入式，ra积分后得： ,故 E L .In直 r ln上ra ra由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电 场强度Em时，就可获得高压电源必须具备的电压U Em raln$ra代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下：Em 3 106V m 1,r 阳 0.5 10 2m,rb 0.15m ,计算结果 U5.1 104 V .若施加电压 U低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。也就是说，在这 样尺寸的除尘器中，通常当电压达到 105V的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式， 如板式结构等。可以参阅有关资料,仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。