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1、中考隐形圆问题上课讲义2019中考数学复习 隐形圆问题大全一 定点+定长1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。2.应用：（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，ABCD，求BD的长。简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由ABCD得DE=BC=1，易求BD=。（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值是. 简析：E为定点，EB为定长，B点路径为以E为圆心EB为半径的圆，作穿心线DE得最小值为。（3）A

2、BC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为 .简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3。二 定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当APB=90时求DP的长. 简析：AB为定线，APB为定角（90），P点路径为以AB

3、为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。（2）如图，XOY = 45，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为 .简析：AB为定线，XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=+1+。（3）已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当ACB最大时，则点C的坐标为_简析：作ABC的处接圆M，当ACB最大时，圆心角AMB最大，当圆M半径最小时AMB最大，即当圆M与y轴相切时ACB最大。如下图，易得C点坐标为（0，2）或（0，-2）。（4）如图,在平面直角坐

4、标系中,抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过点C(0, 2),交轴于点A、B，(A点在点左侧),顶点为D.求抛物线的解析式及点A、B的坐标;将ABC沿直线BC对折,点A的对称点为A,试求A的坐标;抛物线的对称轴上是否存在点P,使BPC=BAC？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.简析：定线BC对定角BPC=BAC，则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所示。三 三点定圆1.依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。2.应用：ABC中，A45，ADBC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。 简析：作ABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12。四 四点共圆1.依据：对角互

5、补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。2.应用：如图，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，若AP=2，求CF的长。 简析：因PEF=PDF=DCE=90，知D、F、C、E、P共圆，如下图，由1=2、4=5，易得APDDCF，CF：APCD：AD，得CF1.5。五旋转生圆1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD（点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为_ 。简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线

6、段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。2.如图，在ABC中，BAC=90，AB=5cm，AC=2cm，将ABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ABC的位置，则线段AB扫过区域的面积为_。简析：扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。六 动圆综合1.动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。如图, ABC中, ABC90, AB6, BC8, O为AC的中点, 过O作OEOF, OE、OF分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .简析：图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.2.动圆+定线：相切时为临界

7、值。如图, RtABC中, C90, ABC30, AB6, 点D在AB边上, 点E是BC边上一点 (不与点B、C重合), 且DADE, 则AD的取值范围是 。简析：因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得2AD3。3.动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小。已知：ABC中，B=45，C=60，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DFAC于F，DGBC于G，过E作EHAB于H，EIBC于I，连FG、HI，求证：FG与HI的最小值相等。简析：可以看HI何时最小，因B、H、E

8、、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BEAC，解OHI可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。此题可归纳一般结论：当ABC=，ACB=，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sin*sin。达标测试： 1.BCAC6，BCA90，BDC45，AD2，求BD.2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60得到线段AC，继续旋转（0120）得到线段AD，连接CD，BD，则BDC的度数为 .3.如图，在边长为23的等边ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，则CP的最小值为_.4.如图，E是正方形ABCD

9、的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FEDE.5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗？如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距离为 米.6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N，边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P，若正方形OABC绕点O旋转一周，则点P到点（0, 1）长度的最小值是_.2016淮安填压）如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边B

10、C上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 【分析】如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小，利用AFMABC，得到求出FM即可解决问题【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FPAB时，点P到AB的距离最小）AA，AMFC90，AFMABC，CF2，AC6，BC8，AF4，AB10，FM3.2，PFCF2，PM1.2点P到边AB距离的最小值是1.2故答案为1.2（2016无锡填空倒2）如图，已知OABC的顶点A、C分别在直线x1和x4上，O是坐标原点，则对角线OB长

11、的最小值为 【分析】过点B作BD直线x4，交直线x4于点D，过点B作BEx轴，交x轴于点E则OB由于四边形OABC是平行四边形，所以OABC，又由平行四边形的性质可推得OAFBCD，则可证明OAFBCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求【解答】解：过点B作BD直线x4，交直线x4于点D，过点B作BEx轴，交x轴于点E，直线x1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x4与AB交于点N，如图：四边形OABC是平行四边形，OABBCO，OCAB，OABC，直线x1与直线x4均垂直于x轴，AMCN，四边形ANCM是平行四边形，MANNCM，OAFBCD，OFABDC90，FO

12、ADBC，在OAF和BCD中，OAFBCDBDOF1，OE4+15，OB由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OBOE5故答案为：5（2017南通选压）如图，矩形ABCD中，AB10，BC5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AECG，BFDH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A5 B10 C10 D15【分析】作点E关于BC的对称点E，连接EG交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GGAB于点G，由对称结合矩形的性质可知：EGAB10、GGAD5，利用勾股定理即可求出EG的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值【解答】解

13、：作点E关于BC的对称点E，连接EG交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GGAB于点G，如图所示AECG，BEBE，EGAB10，GGAD5，EG5，C四边形EFGH2EG10故选：B（2018镇江选压）如图，一次函数y2x与反比例函数y（k0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A B C D【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CDt（2）t+2，BD2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值【解答】解：连接BP，由对称性得：OAOB，Q是AP的中点，OQBP，OQ长的最大值为，BP长的最大值为23，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDx轴于D，CP1，BC2，B在直线y2x上，设B（t，2t），则CDt（2）t+2，BD2t，在RtBCD中，由勾股定理得：BC2CD2+BD2，22（t+2）2+（2t）2，t0（舍）或，B（，），点B在反比例函数y（k0）的图象上，k；故选：C（2018无锡）如图，已知XOY60，点A在边OX上，OA2过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC，点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交O