常微分方程地数值解法欧拉法改进欧拉法泰勒方法和龙格库塔法Word格式.docx

1、1.0390541.05071850.51.0637541.07721760.61.0932111.10793270.71.1266811.14216580.81.1634431.17927490.91.2028451.218689101.2443141.259921现用matlab编程，程序如下x0=0;y0=1;x（1）=0.1;y（1）=y0+0.1*2*x0/（3*y02）;for n=1: x（n+1）=0.1*（n+1）; y（n+1）=y（n）+0.1*2*x（n）/（3*y（n）2）; end; x y结果为x = Columns 1 through 8 0.1000 0.20

2、00 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 10 0.9000 1.0000y = 1.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 1.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为，可用来检验数值解的精确度，列出计算结果。使用excel表格进行运算，相应如下改进的欧拉法预测y校正y1.0033331.0099561.013181.0261691.0291711.0480541.0507511.0749041.0772521.1059

3、761.1079651.1405491.1421941.1779651.1792971.2176461.2187061.2591031.25993ya（1）=y0+0.1*2*x0/（3*y02）;y（1）=y0+0.05*（2*x0/（3*y02）+2*x0/（3*ya2）; ya（n+1）=ya（n）+0.1*2*x（n）/（3*ya（n）2）; y（n+1）=y（n）+0.05*（2*x（n）/（3*y（n）2）+2*x（n+1）/（3*ya（n+1）2）; 1.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.17831.2183 1.2

4、600例2用泰勒方法解分别用二阶、四阶泰勒方法计算点0.1, 0.2, , 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。解：二阶泰勒方法对于本题故1.0132231.0292911.0509691.0775751.1083881.1427041.1798781.219341.260601y（1）=y0+0.1/（3*y02）*（2*x0+0.1*（1-4*x02/（3*y03）; y（n+1）=y（n）+0.1/（3*y（n）2）*（2*x（n）+0.1*（1-4*x（n）2/（3*y（n）3）; Columns 1 through 9 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5

5、000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 Column 10 1.0000 1.0033 1.0132 1.0293 1.0510 1.0776 1.1084 1.1427 1.1799 1.2193 1.2606四阶泰勒方法例二：y的一阶导数y的二阶导数y的三阶导数y的四阶导数0.666667 -1.333331.0033280.0662250.653509-0.13402-1.183061.0131910.1298840.616121-0.2711 -0.790411.0292110.1888080.560087-0.40991-0.29471.0508230.241

6、4960.49274-0.543790.1597871.0773460.2871890.421266-0.663420.4828091.1080630.3257850.351405-0.760550.6515451.1422740.3576560.286967-0.830570.6901671.1793390.3834610.229962-0.872960.6414121.2186920.4039830.181038-0.89030.546371.259850.4200210.13996-0.886940.435585ya0=2*x0/（3*y02）;%一阶导数yb0=2/（3*y02）-8*

7、x02/（9*y05）;%二阶导数yc0=-4*x0/（3*y05）-80*x03/（27*y08）;%三阶导数yd0=-4/（3*y05）+40*x02/（3*y08）-1280*x04/（81*y011）;%四阶导数y（1）=y0+0.1*ya0+0.01/2*yb0+0.001/6*yc0+0.0001/24*yd0;ya（1）=2*x（1）/（3*y（1）2）;yb（1）=2/（3*y（1）2）-8*x（1）2/（9*y（1）5）;yc（1）=-4*x（1）/（3*y（1）5）-80*x（1）3/（27*y（1）8）;yd（1）=-4/（3*y（1）5）+40*x（1）2/（3*y（1

8、）8）-1280*x（1）4/（81*y（1）11）; y（n+1）=y（n）+0.1*ya（n）+0.01/2*yb（n）+0.001/6*yc（n）+0.0001/24*yd（n）; ya（n+1）=2*x（n+1）/（3*y（n+1）2）; yb（n+1）=2/（3*y（n+1）2）-8*x（n+1）2/（9*y（n+1）5）; yc（n+1）=-4*x（n+1）/（3*y（n+1）5）-80*x（n+1）3/（27*y（n+1）8）; yd（n+1）=-4/（3*y（n+1）5）+40*x（n+1）2/（3*y（n+1）8）-1280*x（n+1）4/（81*y（n+1）11）;Y 1

9、.0033 1.0132 1.0292 1.0508 1.0773 1.1081 1.1423 1.17931.2187 1.2598例3用标准四阶RK方法求在区间0, 1上，的数值解以及在区间1, 10上，的数值解，并与精确解进行比较。例三：标准四阶RK方法k1k2k3k40.0033330.0033220.0066230.0098690.0098370.0129890.016030.0159830.0188831.0291430.0216320.0215750.0241540.026560.02650.0287260.0307720.0307150.0325860.0342860.0342

10、340.0357720.0371550.0371110.038350.0394540.0394170.0403980.0403990.0412640.0412350.0419970.0426630.0426410.043222k10=2*0.1*x0/（3*y02）;k20=2*0.1*（x0+0.05）/（3*（y0+k10/2）2）;k30=2*0.1*（x0+0.05）/（3*（y0+k20/2）2）;k40=2*0.1*（x0+0.1）/（3*（y0+k30）2）;y（1）=y0+（k10+2*k20+2*k30+k40）/6;k1（1）=2*0.1*x（1）/（3*y（1）2）;k2

11、（1）=2*0.1*（x（1）+0.05）/（3*（y（1）+k1（1）/2）2）;k3（1）=2*0.1*（x（1）+0.05）/（3*（y（1）+k2（1）/2）2）;k4（1）=2*0.1*（x（1）+0.1）/（3*（y（1）+k3（1）2）; y（n+1）=y（n）+（k1（n）+2*k2（n）+2*k3（n）+k4（n）/6; k1（n+1）=2*0.1*x（n+1）/（3*y（n+1）2）; k2（n+1）=2*0.1*（x（n+1）+0.05）/（3*（y（n+1）+k1（n+1）/2）2）; k3（n+1）=2*0.1*（x（n+1）+0.05）/（3*（y（n+1）+k2（n+1）/2）2）; k4（n+1）=2*0.1*（x（n+1）+0.1）/（3*（y（n+1）+k3（n+1）2）; 1.0033 1.0132 1.0291 1.0507 1.0772 1.1079 1.1422 1.1793 1.2187 1.2599