1、依题意有|PA|PB|68|AB|,所以动点P的轨迹是双曲线,但由|PA|PB|6知,动点P的轨迹是双曲线的右支,即1(x3)典题1(1)已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_答案x21(x1)解析如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|AC1|MA|,|MC2|BC2|MB|,因为|MA|MB|,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|,即|MC2|MC1|BC2|AC1|2,所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双
2、曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a1,c3,则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(2)已知F是双曲线1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|PA|的最小值为_答案9解析如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|PF|PE|4,则|PF|PA|4|PE|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|PA|)min|AE|5,从而|PF|PA|的最小值为9.点石成金双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦
3、定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系考点2双曲线的标准方程与性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0,b0)图形性质范围xa或xa,yRya或ya,xR对称性对称轴:_对称中心:顶点顶点坐标:A1_,A2_A1_,A2_渐近线yx离心率e,e(1,)a,b,c的关系c2_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|_;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|_;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长坐标轴原点(a,0)(a,0)(0,a)(0,a)a2b22a2b(1)教材习题改编若实数k满足0k9,则曲线1与
4、曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等A由00,b0)由已知可知,b,所以a21,即所求方程为x21.当实轴在y轴上时,设双曲线的方程为1(a由已知可得b,所以a29,即所求方程为1.求双曲线的标准方程:待定系数法对称轴为坐标轴,经过点P(3,2),Q(6,7)的双曲线是_由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上,故可设双曲线方程为Ax2By21(AB0)所求双曲线经过P(3,2),Q(6,7),解得A,B.故所求双曲线方程为1.考情聚焦双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点,尤其是渐近线与离心率问题,考查的力度比较大主要有以下几个命题角度:角度一求双曲线的标准方
5、程典题2(1)过双曲线C:1(a0,b0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由双曲线方程知右顶点为(a,0),设其中一条渐近线方程为yx,可得点A的坐标为(a,b)设右焦点为F(c,0),由已知可知c4,且|AF|4,即(ca)2b216,所以有(ca)2b2c2,又c2a2b2,则c2a,即a2,所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1,故选A.(2)2017辽宁沈阳四校联考设双曲线与椭圆1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为(,4),
6、则此双曲线的标准方程是_答案1解析解法一:椭圆1的焦点坐标是(0,3),设双曲线方程为1(a0),根据定义知2a|4,故a2.又b232a25,故所求双曲线的方程为1.解法二:3)则a2b29,又点(,4)在双曲线上,所以1,解得a24,b25.解法三:设双曲线的方程为1(27由题意知c3,a2b29,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式作差,得,又AB的斜率是1,所以将4b25a2代入a2b29得a24,b25.所以双曲线E的标准方程是1.方法技巧1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为1(mn0),这样可避免讨论和复杂的计算;也可设为
7、Ax2By21(AB0)的两条渐近线方程3双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)4过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.5过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|.易错防范1.在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支2双曲线1(a0)的渐近线方程是yx,1(a3直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点4要牢记在双曲线中
8、c2a2b2,离心率e1这两点是不同于椭圆的 真题演练集训 12016新课标全国卷已知方程1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A(1,3) B(1,)C(0,3) D(0,)由题意,得(m2n)(3m2n)0,解得m2n3m2,又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2n3m2n4,即m21,所以11)与双曲线C2:y21(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn,又(e1e2)211,所以e1e21.故选A.52016北京卷双曲线1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点
9、B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2,则a_.2双曲线1的渐近线方程为yx,由已知可得两条渐近线方程互相垂直,由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2,所以c2,所以a2b2c2(2)2,解得a2.62016山东卷已知双曲线E:1(a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|3|BC|,则E的离心率是_ 如图,由题意不妨设|AB|3,则|BC|2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在RtBMN中,|MN|2c2,故|BN|.由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1,而2c|MN|2,所以双曲线的离心率e2. 课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点典例2016天津模拟已知双曲线1(mn0)的一条渐近线方程为yx,则该双曲线的离心率为_易错分析(1)未考虑m,n的取值,易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况;(2)易将弄错,从而导致失分解析当m0,n0时,则有,所以,e;当m0,n0)的焦点位置不同,则的值就不一样,一定要注意区分
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