1、例3 P= IA(1,2), (1,3), (1,4), (2,4), P是A上整除关系。由关系派生的集合Sets Arising from Relations定义域Dom(R) domain of R关系RABDom(R)=x| yB, (x,y) RDom(IA)=A, Dom(Q)=A-4, Dom(P)=A。值域Ran(R) range of RRan(R)= yB|xA, (x,y) R.Ran(IA)=A, Ran(A)=2,3,4, Ran(P)=1,2,3,4。A1的像集R(A1) ,x的像集R(x)关系RAB, A1A.R(A1)=yB| x A1, (x,y) R, A1的
2、像集,the R-relative set of A1.R(x)=yB| (x,y) R, x的像集。定理1. 关系RAB,A1A, A2A, (a) If A1A2, then R(A1)R(A2).(b) R(A1A2) R(A1)R(A2).(c) R(A1A2) R(A1)R(A2).定理2. 关系RAB, SAB. 如果aA,R(a)=S(a), 则R=S.关系矩阵MR The Matrix of a Relation关系RAB, 关系R的矩阵MR=mij, 关系图The Digraph of a Relation关系RAA, G=(V,E),定点集合V=A,边集合E=R。A=1,2
3、,3,4R=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,4),(4,1)由关系确定矩阵和图由矩阵确定关系由图确定关系Homework P114-115 18,22,24,284.3关系和图的路径Paths in Relations and Digraphs长度为n的路径a path of length n从a到b有长度为n的路径:aRx1, x1Rx2, xn-1Rb,记做:a,x1,x2,xn-1,b.Rn 具有长度为n的路径的关系关联关系 R connectivity relation for RMR2= MRMR MRn= MR MRMR MRMR=
4、MR MR2MR3可达矩阵MR*= InMR MR2MR3两条路径的连接1:a1,a2,an,2:b1,b2,bm,b1=an12:a1,a2,an,b2,bm,4.4关系的性质Properties of Relations自反和反自反关系Reflexive and Irreflexive Relations自反关系Reflexive Relations关系RAA, aA,(a,a)RIA,P是自反关系。反自反关系 Irreflexive RelationsQ是反自反关系。对称Symmetric,不对称 asymmetric,反对称antisymmetric Relations关系对称Symm
5、etric,(a,b)R(b,a)R不对称 asymmetric,(a,b)R(b,a)R反对称antisymmetric (a,b)R (b,a)R a=b传递 Transitive (a,b)R (b,c)R (a,c)R.大于等于,小于等于,恒等,整除关系都是传递关系。定理1.关系R是传递的当且仅当RnR, 即如果a,b有长度大于1的边则有长度为1的边。定理2. R是A上关系,则(a) R自反 则aA, aR(a).(b) R对称 则 aR(b) iff bR(a)(c) R传递 则 bR(a), cR(b) cR(a).偏序关系Partial Order1.自反 Reflexive a
6、A, (a,a)R2反对称antisymmetric3传递Transitive大于等于,小于等于,恒等,整除关系都是偏序关系。(A, )集合对于是偏序。树是偏序。全序关系,线性序关系linear order偏序1.2.3.4 a,bA,(a,b)R(b,a)R.大于等于,小于等于是全序,整除,(A, )不是。严格序strict order1.反自反 irreflexive2.传递 transitive严格线性序strict linear order严格序4 a,bA,(a,b)Ra=b(b,a)R.大于,小于都是严格线性序。4.5等价关系 Equivalence Relations等价关系R是
7、A上关系,满足:1自反2对称3传递恒等IA是等价关系 三角形全等,三角形相似是等价关系集合基数相等是等价关系Z上同余关系是等价关系nZ+, a,bZ, ab(n) iff n|(a-b), 或 a%n=b%n 等价关系与划分定理1.设P是集合A的一个划分,定义A上关系R: a R b 当且仅当a,b属于P的同一分块则R是等价关系。引理1 设R是A上等价关系,则a R b当且仅当 R(a)=R(b)证明 设R(a)=R(b),则bR(a), 因此a R b反之cA, 设cR(a),则 a R c,由对称性,c R a. 由a R b,传递性有c R b. 因此cR(b).于是 R(a)R(b).
8、 同理有R(b)R(a). 从而R(a)R(b)。引理2 设R是A上等价关系,则R(a)R(b)当且仅当 R(a)=R(b)存在cR(a)R(b),aRc,cRb. 由传递性aRb, 由引理1 R(a)=R(b)。定理2设R是A上等价关系,PR(x)|xA,则P是A的一个划分。且划分P确定的等价关系是R.证明.aA, aR(a),A=P=R(a),由引理1,2,R(a)R(b)= 或R(a)R(b)。因此P是A的一个划分。a,b属于P的同一分块,a,bR(x),则aRb. P确定的等价关系就是R. 称R(a)为a的等价类。也用a表示。划分P也记作A/R,Z关于n的同余关系的划分记作Zn=Z/(
9、n)=0,1,,n-1=0,1,2,,n-1.a+b=a+b, ab=ab.4.6关系和图的计算机表示Computer Representation of Relations and Digraphs4.7关系的运算Operations on Relations设R和S都是A到B的关系,R,SAB. RS, RS,都是A到B的关系。1.关系的交 (a,b)RS iff (a,b)R且(a,b)S2.关系的并(a,b)RS iff (a,b)R或(a,b)S3关系的补complementary relation=AB-R, (a,b) iff (a,b) R.4.关系的逆inverse rela
10、tionR-1AB, (a,b)R-1 iff (b,a)R.(R-1)-1=RDom(R-1)=Ran(R),Ran(R-1)=Dom(R)., -1 = . = .得到 ? . ?关系运算相应的图 矩阵定理1B.(a) R S R-1 S-1(b) R S (c) (RS)-1= R-1S-1 (RS)-1= R-1S-1(d) 定理2.设R和S都是A上关系,R,SAA. (a) R自反R-1自反。(b) R和S自反 RS,RS自反。(c) R自反反自反。定理3设R是A上关系,RA(a) R对称 R=R-1(b) R反对称 RR-1IA.(c) R不对称 RR-1.定理4(a) R对称 R
11、-1,对称。(b) R,S对称RS,RS对称。定理5 (a)(RS)2R2S2.(b) R,S传递RS传递。(c) R,S是等价关系RS是等价关系。A/(RS)是A/R,A/S两个划分的交。5.闭包closureR的自反闭包r(R),是A上最小的一个关系R1,R R1, R1自反。R的对称闭包s(R),是A上最小的一个关系R1,R R1, R1对称。R的传递闭包tr(R),是A上最小的一个关系R1,RR1, R1传递。r(R)=RIA, s(R)=RR-1,tr(R)=R.6.关系的复合composition设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系。R和S的复合,记做SR,是A到C上的关系
12、:(a c)SR: 存在bB,(a,b)R, (b,c)S.a(SR)c: bB, a R b, b S c定理6.设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系,A1A。(SR)(A1)=S(R(A1).MSR = MRMS.定理7.设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系, T是集合C到D的关系,则T(SR)=(TS)R.定理8(SR)1R-1S-1 4.8传递闭包和Warshall算法Transitive Closure and Warshalls Algorithm定理1.设R是A上关系,则tr(R)=R.RRR传递。设RS,S传递,则RS. RnSnS.例1.A1,2,3,4,R=
13、(1,2),(2,3),(3,4),(2,1)求tr(R).解 tr(R)= R. 1作图法。 2. 矩阵MRMRMR2MR3 。定理2. 设|A|=n,RAA. 则RRR2Rn. MRMRMR2MRn.tr(R)=RRR2Rn.图R中,(a,b)R,有路径a,x1,x2,xm,b,如有重复顶点xi,xj,有环,可去掉。于是可假设路径a,x1,x2,xm,b中没有重复顶点,长度至多n,因此(a,b)Rk,kn。Warshall算法计算关系R的传递闭包的算法。设A a1,a2,,an,R是A上关系。定义矩阵WKtij如下:tij=1当且仅当从ai到aj有一条路径,经过的顶点在a1,a2,,ak之
14、中。W0=MR. Wn= MR.设已有Wk-1sij,计算WKtij: tij1 当且仅当 (1) sij=1 /ai到aj有路径中间点在 a1,a2,,ak1之中。或 (2) sik=1且skj1. /ai到aj有路径经过ak,其余中间 点在a1,a2,,ak1之中。 Wk-1的元素a1k乘ak1加到a11 元素a1k乘ak2加到a12 元素a1k乘akn加到a1n 元素a2k乘ak1加到a21 元素a2k乘ak2加到a22 元素a2k乘akn加到a2n 元素ank乘ak1加到an1 元素ank乘ak2加到an2 元素ank乘akn加到annWk-1第k列的元素遍乘第k行的元素加到矩阵Wk-
15、1Algorithm Warshall1 ClosureMat2 For K1 Thro N aFor I1 Thro N 1For J1 Thro N aClosureI,JClosureI,JClosureI,K ClosureK,J。End of Algorithm Warshall例2. W0=MR=k=1,第1列的元素遍乘第1行的元素加到W0 W1=k=2,第2列的元素遍乘第2行的元素加到W1 W2=k=3,第3列的元素遍乘第3行的元素加到W2 W3=k=4,第4列的元素遍乘第4行的元素加到W3,第4行的元素全0。W4= W3MR=W3.定理3. 设R和S都是A上等价关系,则包含R和
16、S的最小的关系是(RS) 自反性 IAR,IAS IARS(RS),对称性 R-1=R, S-1=S (RS)-1=R-1S-1=RS (RS)也对称。传递性. (RS)是RS的传递闭包。最小性例3A1,2,3,4,5,R=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5),S=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4), (5,4),(4,5), (5,5)求 A/R, A/S, 包含R和S的最小的等价关系。解. A/R=1,23,45A/S=1234,5RS(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (3,3),(3,4),(4,3,),(4,4), (5,4),(4,5), (5,5)MRS W0MRSW1W2W3W0,W4W5W4A/(RS)1,23,4,5
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