关系和有向图RelationsandDigraphsWord文档下载推荐.docx

1、例3 P= IA（1,2）, （1,3）, （1,4）, （2,4）, P是A上整除关系。由关系派生的集合Sets Arising from Relations定义域Dom（R） domain of R关系RABDom（R）=x| yB, （x,y） RDom（IA）=A, Dom（Q）=A-4, Dom（P）=A。值域Ran（R） range of RRan（R）= yB|xA, （x,y） R.Ran（IA）=A, Ran（A）=2,3,4, Ran（P）=1,2,3,4。A1的像集R（A1） ，x的像集R（x）关系RAB, A1A.R（A1）=yB| x A1, （x,y） R, A1的

2、像集，the R-relative set of A1.R（x）=yB| （x,y） R, x的像集。定理1. 关系RAB,A1A, A2A, （a） If A1A2, then R（A1）R（A2）.（b） R（A1A2） R（A1）R（A2）.（c） R（A1A2） R（A1）R（A2）.定理2. 关系RAB, SAB. 如果aA,R（a）=S（a）, 则R=S.关系矩阵MR The Matrix of a Relation关系RAB, 关系R的矩阵MR=mij， 关系图The Digraph of a Relation关系RAA, G=（V,E）,定点集合V=A,边集合E=R。A=1,2

3、,3,4R=（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）, （3,4）,（4,1）由关系确定矩阵和图由矩阵确定关系由图确定关系Homework P114-115 18,22,24,284.3关系和图的路径Paths in Relations and Digraphs长度为n的路径a path of length n从a到b有长度为n的路径：aRx1, x1Rx2, xn-1Rb，记做：a,x1,x2,xn-1,b.Rn 具有长度为n的路径的关系关联关系 R connectivity relation for RMR2= MRMR MRn= MR MRMR MRMR=

4、MR MR2MR3可达矩阵MR*= InMR MR2MR3两条路径的连接1：a1,a2,an,2：b1,b2,bm,b1=an12：a1,a2,an,b2,bm,4.4关系的性质Properties of Relations自反和反自反关系Reflexive and Irreflexive Relations自反关系Reflexive Relations关系RAA, aA,（a,a）RIA,P是自反关系。反自反关系 Irreflexive RelationsQ是反自反关系。对称Symmetric，不对称 asymmetric，反对称antisymmetric Relations关系对称Symm

5、etric，（a,b）R（b,a）R不对称 asymmetric，（a,b）R（b,a）R反对称antisymmetric （a,b）R （b,a）R a=b传递 Transitive （a,b）R （b,c）R （a,c）R.大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是传递关系。定理1.关系R是传递的当且仅当RnR, 即如果a,b有长度大于1的边则有长度为1的边。定理2. R是A上关系,则（a） R自反 则aA, aR（a）.（b） R对称 则 aR（b） iff bR（a）（c） R传递 则 bR（a）, cR（b） cR（a）.偏序关系Partial Order1.自反 Reflexive a

6、A, （a,a）R2反对称antisymmetric3传递Transitive大于等于，小于等于，恒等，整除关系都是偏序关系。（A, ）集合对于是偏序。树是偏序。全序关系，线性序关系linear order偏序1.2.3.4 a,bA,（a,b）R（b,a）R.大于等于，小于等于是全序，整除，（A, ）不是。严格序strict order1.反自反 irreflexive2.传递 transitive严格线性序strict linear order严格序4 a,bA,（a,b）Ra=b（b,a）R.大于，小于都是严格线性序。4.5等价关系 Equivalence Relations等价关系R是

7、A上关系，满足：1自反2对称3传递恒等IA是等价关系 三角形全等，三角形相似是等价关系集合基数相等是等价关系Z上同余关系是等价关系nZ+, a,bZ, ab（n） iff n|（a-b）, 或 a%n=b%n 等价关系与划分定理1.设P是集合A的一个划分，定义A上关系R: a R b 当且仅当a,b属于P的同一分块则R是等价关系。引理1 设R是A上等价关系，则a R b当且仅当 R（a）=R（b）证明 设R（a）=R（b），则bR（a）, 因此a R b反之cA, 设cR（a），则 a R c,由对称性，c R a. 由a R b，传递性有c R b. 因此cR（b）.于是 R（a）R（b）.

8、 同理有R（b）R（a）. 从而R（a）R（b）。引理2 设R是A上等价关系，则R（a）R（b）当且仅当 R（a）=R（b）存在cR（a）R（b），aRc,cRb. 由传递性aRb, 由引理1 R（a）=R（b）。定理2设R是A上等价关系，PR（x）|xA，则P是A的一个划分。且划分P确定的等价关系是R.证明.aA, aR（a），A=P=R（a）,由引理1，2，R（a）R（b）= 或R（a）R（b）。因此P是A的一个划分。a,b属于P的同一分块，a,bR（x）,则aRb. P确定的等价关系就是R. 称R（a）为a的等价类。也用a表示。划分P也记作A/R，Z关于n的同余关系的划分记作Zn=Z/（

9、n）=0,1,，n-1=0,1,2,，n-1.a+b=a+b, ab=ab.4.6关系和图的计算机表示Computer Representation of Relations and Digraphs4.7关系的运算Operations on Relations设R和S都是A到B的关系，R,SAB. RS, RS，都是A到B的关系。1.关系的交 （a,b）RS iff （a,b）R且（a,b）S2.关系的并（a,b）RS iff （a,b）R或（a,b）S3关系的补complementary relation=AB-R, （a,b） iff （a,b） R.4.关系的逆inverse rela

10、tionR-1AB, （a,b）R-1 iff （b,a）R.（R-1）-1=RDom（R-1）=Ran（R）,Ran（R-1）=Dom（R）., -1 = . = .得到 ? . ?关系运算相应的图 矩阵定理1B.（a） R S R-1 S-1（b） R S （c） （RS）-1= R-1S-1 （RS）-1= R-1S-1（d） 定理2.设R和S都是A上关系，R,SAA. （a） R自反R-1自反。（b） R和S自反 RS,RS自反。（c） R自反反自反。定理3设R是A上关系，RA（a） R对称 R=R-1（b） R反对称 RR-1IA.（c） R不对称 RR-1.定理4（a） R对称 R

11、-1,对称。（b） R,S对称RS,RS对称。定理5 （a）（RS）2R2S2.（b） R,S传递RS传递。（c） R,S是等价关系RS是等价关系。A/（RS）是A/R，A/S两个划分的交。5.闭包closureR的自反闭包r（R），是A上最小的一个关系R1,R R1, R1自反。R的对称闭包s（R），是A上最小的一个关系R1,R R1, R1对称。R的传递闭包tr（R），是A上最小的一个关系R1,RR1, R1传递。r（R）=RIA, s（R）=RR-1,tr（R）=R.6.关系的复合composition设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系。R和S的复合，记做SR,是A到C上的关系

12、：（a c）SR: 存在bB,（a,b）R, （b,c）S.a（SR）c: bB, a R b, b S c定理6.设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系,A1A。（SR）（A1）=S（R（A1）.MSR = MRMS.定理7.设R是集合A到B的关系，S是集合B到C的关系, T是集合C到D的关系,则T（SR）=（TS）R.定理8（SR）1R-1S-1 4.8传递闭包和Warshall算法Transitive Closure and Warshalls Algorithm定理1.设R是A上关系，则tr（R）=R.RRR传递。设RS，S传递，则RS. RnSnS.例1.A1，2，3，4,R=

13、（1,2）,（2,3）,（3,4）,（2,1）求tr（R）.解 tr（R）= R. 1作图法。 2. 矩阵MRMRMR2MR3 。定理2. 设|A|=n,RAA. 则RRR2Rn. MRMRMR2MRn.tr（R）=RRR2Rn.图R中，（a，b）R,有路径a，x1，x2，xm，b，如有重复顶点xi，xj，有环，可去掉。于是可假设路径a，x1，x2，xm，b中没有重复顶点，长度至多n，因此（a，b）Rk，kn。Warshall算法计算关系R的传递闭包的算法。设A a1,a2,，an，R是A上关系。定义矩阵WKtij如下：tij=1当且仅当从ai到aj有一条路径，经过的顶点在a1,a2,，ak之

14、中。W0=MR. Wn= MR.设已有Wk-1sij,计算WKtij： tij1 当且仅当 （1） sij=1 /ai到aj有路径中间点在 a1,a2,，ak1之中。或 （2） sik=1且skj1. /ai到aj有路径经过ak，其余中间 点在a1,a2,，ak1之中。 Wk-1的元素a1k乘ak1加到a11 元素a1k乘ak2加到a12 元素a1k乘akn加到a1n 元素a2k乘ak1加到a21 元素a2k乘ak2加到a22 元素a2k乘akn加到a2n 元素ank乘ak1加到an1 元素ank乘ak2加到an2 元素ank乘akn加到annWk-1第k列的元素遍乘第k行的元素加到矩阵Wk-

15、1Algorithm Warshall1 ClosureMat2 For K1 Thro N aFor I1 Thro N 1For J1 Thro N aClosureI,JClosureI,JClosureI,K ClosureK,J。End of Algorithm Warshall例2. W0=MR=k=1,第1列的元素遍乘第1行的元素加到W0 W1=k=2,第2列的元素遍乘第2行的元素加到W1 W2=k=3,第3列的元素遍乘第3行的元素加到W2 W3=k=4,第4列的元素遍乘第4行的元素加到W3，第4行的元素全0。W4= W3MR=W3.定理3. 设R和S都是A上等价关系，则包含R和

16、S的最小的关系是（RS） 自反性 IAR,IAS IARS（RS）,对称性 R-1=R, S-1=S （RS）-1=R-1S-1=RS （RS）也对称。传递性. （RS）是RS的传递闭包。最小性例3A1,2,3,4,5，R=（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,（4,4）,（5,5），S=（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）, （5,4）,（4,5）, （5,5）求 A/R, A/S, 包含R和S的最小的等价关系。解. A/R=1,23，45A/S=1234,5RS（1,1）,（1,2）,（2,1）,（2,2）, （3,3）,（3,4）,（4,3,）,（4,4）, （5,4）,（4,5）, （5,5）MRS W0MRSW1W2W3W0，W4W5W4A/（RS）1,23,4,5