高考数学试题1987年试题.docx

1、高考数学试题1987年试题1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X (B)T (C) (D)S 【 】 Key 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D 【 】 Key (2)C (3)设a,b是满足aba-b (B)a+ba-b(C)a-ba-b (D)a-ba+b 【 】 Key (3)B (4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分

2、条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件. 【 】 Key (4)A (5)在区间(-,0)上为增函数的是 【 】 Key (5)B 【 】 Key (6)D (7)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是(A)直线 (B)圆(C)双曲线 (D)抛物线 【 】 Key (7)B 【 】 Key (8)A 二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7

3、)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高. Key 二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果. 三、求sin10sin30sin50sin70的值. Key 三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10sin50sin70sin10sin30sin50sin70解法二:sin10sin50sin70,.解法三:sin10sin30sin50sin70= 四、如图,三棱锥P_ABC中,已知PABC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h. Key 四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.证明:连结AD和

4、PD.BCPA，BCED，PA与ED相交，BC平面PAD,三棱锥B_PAD体积同理,三棱锥C_PAD的体积 三棱锥P_ABC体积 V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立. 五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围. Key 五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得化简为 z(6-z)6,或z0, z3, 综合,得 z0,解，得a的取值范围： 0a1. 六、设复数z1和z2满足关系式其中A为不等于0的复数.证明:(1)z1+Az2+A=A2; Key 六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.解法一:(1)由已知的关系式得z1+Az2+A由证得z1+A

5、z2+A=A2=A2. (2) A0,由得z1+A0,由此得由得解法二:(1)由题设所以证得 (2) 以(1)中的结果代入得解法三:(1)由已知的关系式得令 z1+A=r(cos+isin),z2+A=s(cos+isin),由于A0,我们有r0,s0.由得rscos(-)+isin(-)=A2,于是rscos(-)=A2,sin(-)=0, cos(-)=1,rs=A2,而 z1+Az2+A=rs,所以证得 z1+Az2+A=A2.解法四:(1)z1+Az2+A=A2.(2)由A0和(1)的结论知z2+A0.利用(1)的结果 七、设数列a1,a2,an,的前n项的和Sn与an的关系是其中是b

6、与n无关的常数,且b-1.(1)求an和an-1的关系式;(2)写出用n和b表示an的表达式; Key 七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.解法一:(1)an=Sn-Sn-1由此解得由此推得把代入得0b1时所以当0by2,由得解法二:设A(x1,y1)和B(x2,y2),那么32=(x2-x1)2+(y2-y1)2. AB中点M(x,y)到y轴的距离由得整理得4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0, 因y1y2为实数,故=4-44(32-4x2-2x)0,由此得16x2+8x+1432,(4x+1)2432,因为x0,所以4x+16,由,可解得y1,y2,由即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为且相应中点坐标为解法三:同解法二得,由此得以下同解法二. 九、(附加题,不计入总分)(2)设y=xln(1+x2),求y. Key 九、本题考查极限和导数运算.