全等三角形习题精选含答案Word文档格式.docx

1、AN=BM（2）求证：4CEF为等边三角形14.如图所示，已知 ABC和ABDE都是等边三角形，下列结论： AE=CD ;BF=BG ;BH平分/AHD;/AHC=60 ;zBFG 是等边三角形； FG /AD ,其中正确的有A. 3个15.已知：BD、CE是9BC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB ,求证：AG 1AF16.如图：在ABC中，BE、CF分别是 ACCF的延长线上截取 CG=AB ,连结AD、（1） AD=AG（2） AD与AG的位置关系如何、AB两边上的高，在 BE上截取BD=AC ,在AB C17.如图，已知E是正方形 ABCD的边CD的中点，

2、点 F在BC上，且/DAE= ZFAEAF=AD-CF18.如图所示，已知 ABC中，AB=AC ,D是CB延长线上一点,ZADB=60,E是AD上一点，且 DE=DB,求证:19.如图所示，已知在 AEC中，/E=90,AD 平分/EAC, DF1AC,E垂足为F, DB=DC ,BE=CF20.已知如图:CF=CDAB=DE ,直线 AE、BD 相交于 AC, /B+ZD=180 ,AF /DE ,交 BD 于 F ,21 .如图，OC是ZAOB的平分线，P是OC上一点，PD JOA于D, PE 1OB于E, F是OC上一点，连接 DF和EF,求证：DF=EF点D在4的平分线上23.如图，

3、已知 ABED, O是ZACD与ZBAC的平分线的交点， A则AB与CD之间的距离是多少？ E%C OE 1AC 于 E,且 OE=2 , BO D24.如图，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN,使AM BN,按下列要求画图并回答:画/MAB、/NBA的平分线交于 E（1） ZAEB是什么角?（2）过点E作一直线交 AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现?（3）尢论 DC的两端点在 AMa BNd如何修动，只要 / /AD+BC=CD谁成立？并说明理由。eB C NDC 经过点 E,AD+BC=AB ;25.如图，4ABC的三边AB、BC、CA分为三个三角形，则Saabo

4、:SBCO :长分另1J是20、30、40,其三条角平分线将 ABC26.正方形 ABCD中，AC、BD 交于 O, /EOF=90,已知AE=3 , CF=4 ,贝U SzbEF 为多少？D27.如图，在 RtAABC 中，/ACB=45 , BAC=90 ,AB=AC，点 D 是 AB 的中点，AF CD于H,交BC于F, BE AC交AF的延长线于 E,求证：BC垂直且平分 DE28 .在 GABC 中，ZACB=90 ,AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 AD JMN 于 D, BE WIN 于DE、AD、BE具有怎样的等量关系?（1）当直线 MN绕点C旋转到图的位置时，求证：

5、DE=AD+BE（2）当直线 MN绕点C旋转到图的位置时，求证： DE=AD-BE1解：.AABCZ 公ED.zD=ZB=50 , ACB=105 ，ACE=75 . zCAD=10 CE=75 FA= ZCAD+ ZACE=85。（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）同理可得/ DEF= ZEFA- ZD=85 -50 =35 2根据旋转变换的性质可得/ B = ZB,因为4AOB绕点O顺时针旋转52 ,所以/BOB=52 , 而/ACO是4BOC的外角，所以/ A CO= ZB + ZBOB 然后代入数据进行计算即可得解.解答：解：.ZAQB是由4AOB绕点O顺时针旋转得到，/

6、B=30,.zB = ZB=30 zAOB绕点O顺时针旋转52.1./BOB =52 .ACO是ABOC的外角， . ACO= ZB + ZBOB =30 +52 =82.故选D.3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理.分析：根据全等三角形的性质得出/ A= ZDEB= /DEC, ZADB= ZBDE= /EDO ,根据邻补角定 义求出/DEC、/EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可./ADBzEDBZEDC,. A=/DEB= /DEC , ZADB= ZBDE= ZEDC ,. zDEB+ ZDEC=180 , ZADB+ ZBDE+EDC=180 zDEC=90

7、, ZEDC=60 .=180 -ZDEC- ZEDC , =180 -90 -60 =30 4分析：根据旋转的性质，可得知/ ACA =35 ,从而求得/A的度数，又因为/ A的对应角是 ZA,即可求出/ A的度数.三角形 ABC绕着点C时针旋转35,得到ABCACA =35 , ZAzA =55 .A的对应角是/ A,即/A=zA=55 ;故答案为：55点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固 定角度的位置移动.其中对应点到旋转中心的距离相等， 旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键是正确确定对应角.5因为AB=AC三角形ABC是等腰三角形所以

8、 AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2（25-AB）又因为AD垂直于BC于D,所以 BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6 解：.BD IDE, CE IDE.zD=ZE /BAD+ ZBAC+ ZCAE=180 又. zBAC=90 /BAD+ ZCAE=90 .在RtMBD 中，ZABD+ ZBAD=90 ABD= /CAE.在ZABD 与ACAE 中ZABD= /CAEZD= ZEAB=AC.ABDzCAE （AAS）.BD=AE , AD=CE.DE=AD+AE.DE=BD+CE.BD=3

9、 , CE=2 . DE=57证明：:AD是/BAC的平分线.AD = ZFAD又DEIAB, DF 必C ，AED = /AFD = 90边AD公共. RtAAEDRtAAFD （AAS）. AE = AF即那EF为等腰三角形而AD是等腰三角形 AEF顶角的平分线. AD，底边EF（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成 主线合一 ”）8 AD 平分/BAC ,贝U/EAD= ZFAD , ZEDA= ZDFA=90 度，AD=AD所以AEDzAFDDE=DFSAABC=S 必ED+S AAFD28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）D

10、E=29AB=AE , ZB= ZE, ZBAC= ZEAD则 GABC0 EDAC=ADMOD是等腰三角形ZCAF= ZDAFAF平分/CAD则 AF _LCD10 B： .ADJBC1. ADB =/ADC = 90zCAD+ JC = 90.BE 必C2.zBEC = ZADB = 903.zCBE+ JC = 90zCAD = ZCBE.AD = BD4.zBDHzADC （ASA）. BH = AC11 解：（1）证明：.AD IBC （已知），/BDA= ZADC=90。（垂直定义）， .4+/2=90。（直角三角形两锐角互余） .在 RtABDF 和 RtMDC 中，. RtAB

11、DF RtAADC （H.L）.，N=/C （全等三角形的对应角相等） .4+/2=90。（已证），所以/ 1 + /C=90 ;.4 + /C + /BEC=180。（三角形内角和等于 180）, zBEC=90 ;- BE _1AC （垂直定义）；12证明：（1） .ZDAC、AEBC均是等边三角形，. AC=DC , EC=BC , ZACD= ZBCE=60 1. ACD+ ZDCE= ZBCE+ ZDCE ,即/ACE= ZDCB .在ZACE 和 ADCB 中，AC=DC CE= ZDCB EC=BC zACEdDCB （SAS）. .AE=BD（2）由（1）可知： ACE JDC

12、B , zCAE= JCDB ,即/CAM= ZCDN .4AC、AEBC均是等边三角形， . AC=DC , ZACM= ZBCE=60 . 又点A、C、B在同一条直线上， .zDCE=180 -ZACD- ZBCE=180 -60 -60 =60 , 即/DCN=60 ACM= ZDCN .在AACM 和 ADCN 中， ZCAM= ZCDN AC=DC ZACM= ZDCN .zACMZDCN （ASA）. CM=CN .由（2）可知 CM=CN, ZDCN=60 .zCMN为等边三角形（4）由（3）知/CMN= ZCNM= ZDCN=60 2.zCMN+ JMCB=180 . MN/B

13、C13分析：（1）由等边三角形可得其对应线段相等， 对应角相等，进而可由SAS得到4CAN且血CB ,结论得证；（2）由（1）中的全等可得/ CAN= ZCMB ,进而得出/ MCF= CE ,由ASA得出CAEA CMF ,即CE=CF ,又ECF=60 ,所以4CEF为等边三角形.证明：（1） .ACM , ACBN是等边三角形， . AC=MC , BC=NC , ZACM=60 ZNCB=60 在ACAN和4MCB中，AC=MC , ZACN= JMCB, NC=BC , .-.zCANJMCB （SAS）, .AN=BM .（2） . ZCANzCMB, zCAN= XMB ,又,血

14、CF=180 -ZACM- ZNCB=180 -60 -60 =60 , JMCF= CE ,在ACAE和ACMF中，ZCAE= /CMF , CA=CM , ZACE= JMCF , .zCAEzCMF （ASA）, .CE=CF , .zCEF为等腰三角形，又. zECF=60 EF为等边三角形.本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题， 能够掌握并熟练运用.14考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.由题中条件可得4 ABEzCBD,得出对应边、对应角相等，进而得出 BGDzBFE,MBFzCGB ,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出

15、结论./ABC 与4BDE 为等边三角形，AB=BC , BD=BE , ZABC= ZDBE=60 , ABE= ZCBD ,即 AB=BC , BD=BE , ZABE= JCBD.zABEzCBD ,. AE=CD , ZBDC= EB ,又,. zDBG= ZFBE=60 , .-.zBGDzBFE ,. BG=BF , ZBFG= zBGF=60 , FG是等边三角形，. FG /AD ,1.BF=BG , AB=BC , ZABF= ZCBG=60 2.zABFzCGB ,zBAF= /BCG ,.CAF+ ZACB+ ZBCD= JCAF+ CB+ ZBAF=60 +60 =12

16、0 ，AHC=60 3 /FHG+ ZFBG=120 +60 =180 .B、G、H、F四点共圆，4.FB=GB ,5.zFHB= /GHB ,. BH 平分/GHF ,，题中都正确.本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握.15考点：全等三角形的判定与性质.分析：仔细分析题意，若能证明 ABFzGCA,则可得AG=AF .在4ABF和AGCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是 ZABD和/ACG ,从已知条件中可推出/ ABD= ZACG ,在RtMGE中，ZG+ J3AE=90 ,而/G=ZBAF,则可得出/ GAF=90 ,即 AG

17、 1AF .AG=AF , AG 1AF .1.BD、CE分别是 ABC的边AC, AB上的高. ADB= EC=90 2 ABD=90 -/BAD , ZACG=90 -ZDAB ,ABD= CG在AABF AGCA 中 BF=AC ZABD= ZACG AB=CG .3.zABFzGCA （SAS）.AG=AFZG= ZBAF又/G+J3AE=90 度.4 /BAF+ ZGAE=90 度. zGAF=90 . AG 1AF .本题考查了全等三角形的判定和性质； 要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力， 范围较广

18、.16 1、证明：.BE C AEB = 90ABE+ ZBAC = 90.CF _1AB，AFC = /AFG = 90ACF+ ZBAC = 90, ZG+ ZBAG = 90. ABE = /ACF,.BD=AC, CG = AB zABDzGCA （SAS）. AG =AD2、AG 1AD证明 zABDzGCA.zBAD = ZGzGAD = ZBAD+ /BAG = ZG+ ZBAG = 90. AG 1AD17过E做EG !AF于G,连接EF-.ABCD是正方形氏90 AD=DC zDAE= ZFAE , ED 1AD , EG 1AF .DE=EGAD=AG ,.E是DC的中点.

19、DE=EC=EG.EF=EF . RtAEFG 闲在CF.GF=CF. AF=AG+GF=AD+CF18 因为：角 EDB=60 DE=DB所以：EDB是等边三角形， DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为：4ABC是等腰三角形BF=CF , 2BF=BC又：角 DAF=30 AD=2DFDF=DB+BFAD=2 （DB+BF ） =2DB+2BF= 2DB+BC （AE+ED ） =2DB+BC ,其中 ED=DBAE=DB+BC , AE=BE+BC19补充：B是FD延长线上一点；ED=DF （角平分线到两边上的距离相等）；BD=CD ;角EDB=FDC （对顶角）；贝U三角形ED

20、B全等CDF ;贝U BE=CF ;或者补充：B在AE边上；DB=DC则两直角三角形 EDB全等CDF （HL）即 BE=CF20 解：-. AFZ/DE& ZAFC. zB + ZD=180 , ZAFC + ZAFB=180 .zB= ZAFB.AB=AF=DEAFC 和AEDC 中：ZB= FB, CF= ZECD（对顶角）,AF=DE.FCzEDC. CF=CD21证明：二.点P在/AOB的角平分线 OC上，PE1OB, PD 1AO ,. PD=PE , ZDOP= ZEOP , ZPDO= ZPEO=90 .zDPF= ZEPF ,在ADPF和EPF中PD=PEZDPF= ZEPF

21、PF=PF （SAS ）,.dDPF 0/EPF.DF=EF .22考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.（1）根据全等三角形的判定定理 ASA证彳HABED 06FD ;（2）连接AD.利用（1）中的BEDzCFD,推知全等三角形的对应边 ED=FD .因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点 D在4的平分线上.工 F C证明：（1） /BF1AC , CE1AB, ZBDE= ZCDF （对顶角相等），zB=/C （等角的余角相等）；在 RtABED 和 RtACFD 中，/B=/CBD=CD（已知）ZBDE= /CDF/.zBEDzCFD （ASA）;（2）连接AD.由（1）

22、知，BED/CFD ,. ED=FD （全等三角形的对应边相等），. AD是/EAF的角平分线，即点 D在ZA的平分线上.本题考查了全等三角形的判定与性质. 常用的判定方法有：ASA , AAS , SAS , SSS ,HL等，做题时需灵活运用.23考点：角平分线的性质.要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点 。作FGgB,可以得到FGJCD, 根据角平分线的性质可得， OE=OF=OG ,即可求得 AB与CD之间的距离.C G 口解：过点。作FG1AB,.AB /CD ,2.zBFG+ ZFGD=180 3 zBFG=90 , zFGD=90 . FG JCD ,. FG就是AB与CD

23、之间的距离.O为/BAC , ZACD平分线的交点， OE1AC交AC于E,. OE=OF=OG （角平分线上的点，到角两边距离相等），. AB与CD之间的距离等于 2?OE=4 .本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质， 作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键.24考点：梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质. 专题：作图题；探究型.（1）由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出/ 1+4=90,再由三角形内角和等于180,即可得出/AEB是直角的结论；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM,由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出

24、边之间的关系；（3）由（2）中得出的结论可知 EF为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在 AM、 BN如何移动，只要 DC经过点E, AD+BC的值总为一定值.（1） -.am /BN,JMAB+ BN=180 又AE, BE分另1J为/MAB、/NBA的平分线，.4+ Z3=12（/MAB+ ZABN ） =90 jAEB=180 -Z1-Z3=90 即/AEB为直角；（2）过E点作辅助线 EF使其平行于AM ,如图则EF /AD BC ,.AEF=/4, ZBEF= Z2,3=4 /1=Z2,.AEF=/3, /BEF=/1,S.AF=FE=FB. F为AB的中点，又EF AD /

25、BC ,根据平行线等分线段定理得到 E为DC中点, .ED=EC ;（3）由（2）中结论可知，无论 DC的两端点在 AM、BN如何移动，只要 DC经过点E, 总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有 AD+BC=2EF=AB .本题是计算与作图相结合的探索. 对学生运用作图工具的能力， 以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的 要求.25 C V如图，4ABC的三边 AB , BC , CA长分另是 20, 30, 40,其三条角平分线将 ABC分为三个三角形，则 Szabo: Szbco : Szcao等于（ ）A. 1 :

26、1 : 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3: 4 D, 3: 4: 5考点：数形结合.利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质， 可知三个三角形高相等， 底分别是20, 30, 40,所以面积之比就是 2: 4.利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选 C.故选C .本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式. 做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的. 26解：正方形ABCD.AB = BC, AO = BO = CO , /ABC = /AOB = /COB = 90 , /ABO = /BCO = 45.zBOF+ JCOF =90OF = 90.zBOF+ ZBOE =90.zCOF =ZBOE.zBOEzCOF （ASA）. BE= CF.CF = 4. BE = 4.A