普通高等学校招生全国统一考试全国大纲卷数学试题 理科解析版文档格式.docx

1、（3）下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ ）（A） ab +1【答案】Aab -1a2b2（D）a3b3【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题 P ,使 P a b ,且 a b 推不出 P ,逐项验证知可选 A.（4）设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a1 = 1，公差 d = 2 ， Sk +2 - Sk = 24 ，则 k =（ ）（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一 Sk +2 - Sk = （k + 2） 1+（k + 2）（k +1） 2 2

2、- k 1+k （k -1） 2 2 = 4k + 4 = 24 ，解得k = 5 .解法二:Sk +2 - Sk = ak +2 + ak +1 = 1+ （k +1） 2 + （1+ k 2） = 4k + 4 = 24，解得k = 5 .（5）设函数 f （x） = cosx（ 0） ，将 y = f （x） 的图像向右平移像重合，则的最小值等于1个单位长度后，所得的图像与原图3（A）（B） 3 （C） 6 （D） 9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.【解析】由题意得 2 k = （k Z ） ,解得= 6k ,又 0 ,令k = 1,得 = 6

3、 . 3 min （6）已知直二面角- l - ,点 A ， AC l , C 为垂足, B ， BD l , D 为垂足若 AB = 2, AC = BD = 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法.【解析】如图,过 D 作 DE BC ,垂足为 E ,因为- l - 是直二面角AC l , AC 平面, AC DE , BC DE , AC I BC = C , DE 平面 ABC ,故 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离.在 RtBCD 中,由等面积法得 DE = BD CD = = 6 .BC 3（7）某同学有同样的画册 2 本，同

4、样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有（A）4 种 （B）10 种 （C）18 种 （D）20 种【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有C1 = 4种；二是取出 2 本画册,2 本集邮册，此时赠送方法有C 2 = 6 种.故赠送方法共有 10种.（8）曲线 y = e-2 x + 1在点（0,2）处的切线与直线 y = 0和 y = x 围成的三角形的面积为 （A）（D）1【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.【解析】

5、y = -2e-2 x , 曲线 y = e-2 x + 1在点（0,2）处的切线的斜率k = -2,故切线方程是y = -2x + 2 ,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为（0,0）、（1,0）、（ 2 , 2 ），3 3三角形的面积是 S = 1 1 2 = 1 .2 3 3（9）设 f （x） 是周期为 2 的奇函数，当0 x 1时， f （x） = 2x（1 - x） ,则 f （-5） =（A）-（B） - （C） 14 4【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.【解析】由 f （x） 是周期为 2 的奇函数,利用周期性和奇偶性得:f （-

6、 5） = f （- 5 + 2） = f （- 1） = - f （ 1） = -2 1 （1- 1） = - 1 .2 2 2 2 2 2 2（10）已知抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F ，直线 y = 2x - 4 与C 交于 A ， B 两点则cos AFB =5（C） - （D） - 45 5【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用. y2 = 4x【解析】联立 y = 2x - 4 消去 y 得 x - 5x + 4 = 0 ,解得 x = 1, x = 4 ,不妨设 A 点在 x 轴的上方,于是A ， B 两点的坐标分别为（4,4）,（1, -2）

7、,又 F （1, 0） ,可求得 AB = 3 5, AF = 5, BF = 2 .在V ABF 中,AF 2 + BF 2 - AB2 4由余弦定理cos AFB = = - .2 AF BF 5（11）已知平面截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与成600 二面角的平面截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4，则圆 N 的面积为（A）7 （B）9 （C）11 （D）13【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆 M 的面积为 4知球心O 到圆 M 的距离OM = 2 3 ,在 RtOMN 中, OMN = 30 , ON = 1 OM =

8、,故圆 N 的半径 r =S = r 2 = 13.= ,圆 N 的面积为r r 1（12）设向量 a ， b ， c 满足| a |=| b |= 1， agb = -， = 60，则| c | 的最大值等于 （A）2 （B）（c） 2 （D）1【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.B【解析】如图，设 AB = a, AD = b, AC = c ，则BAD = 120 ,BCD = 60 ，BAD + BCD = 180 ， A, B, C, D 四点共圆，当 AC 为圆的直径时， | c |最大，最大值为 2.ACD绝密启用前第卷1答题

9、前，考生先在答题卡上用直径 05 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页，请用直径 05 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。3第卷共 l0 小题，共 90 分。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答 无效）（13） （1- x ）20 的二项展开式中， x 的系数与 x9 的系数之差为 .【答案】0【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.r【解析】由T = C r （- x ）r = （

10、-1）r C r x 2 得 x 的系数为C 2 , x9 的系数为C18 ,而C18 = C 2,所以 xr +1 20 20的系数与 x9 的系数之差为 0.20 20（14）已知 （ ,） , sin= ,则 tan 2= .2 5【答案】 - 4【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角的正切公式. sin 1【解析】由 （ ,） , sin= 得cos= - ,故 tan= = - , 2 tan4 tan 2= 1- tan 2 = - 3 .5 cos 2（15）已知 F1 、F2 分别为双曲线C :x2 y2-= 1的左、右焦点，点 A C ，点 M 的坐标为（2，

11、0），AM9 27为F1 AF2 的平分线则| AF2 |= .【答案】6【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.【解析】Q AM 为F AF 的平分线， | AF2 | = | MF2 | = 4 = 1 | AF |= 2 | AF | AF1 | | MF1 | 8 2又点 A C ，由双曲线的第一定义得| AF1 | - | AF2 |= 2 | AF2 | - | AF2 |=| AF2 |= 2a = 6 .（16）己知点 E 、F 分别在正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 BB1 、CC1 上，且 B1E = 2EB,CF = 2FC1

12、， 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 .【答案】【命题意图】本题主要考查正方体中二面角的求法.【解析】延长 FE 交CB 的延长线于G ,连结 AG ,则 AG 为面 AEF 与面 ABC 的交线,由B1E = 2EB,CF = 2FC1 得CF = 2BE , B 为GC 中点.设正方体的棱长为 1,则 AG = AC = ,又GC = 2 , AC 2 + AG2 = GC 2 CAG = 90 Q FC 平面 ABC , FA AG CAF 是面CFAEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角,在 RtV ACF 中, tan CAF = = 3 =AC 2,故面 AE

13、F与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 .三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 l0 分）（注意：在试题卷上作答无效）ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 A - C = 90 , ,求C .【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础 知识、基本技能的掌握情况.【解析】由a + c =2b 及正弦定理可得sin A + sin C =2 sin B3 分又由 A - C = 90 , B = 180 - （ A + C） ,故cos C + si

14、n C = 2 sin（ A + C）2 cos C += 2 sin（90 + 2C）= 2 cos 2C 7 分2 sin C = cos 2C ,2 2cos（45 - C） = cos 2C因为 0 C 0, y 0, z 0 .（） AS = （x - 2, y - 2, z）, BS = （x, y - 2, z）, DS = （x -1, y, z） ,由| AS |=| BS | 得= ,故 x = 1.由| DS |= 1得 y2 + z2 = 1,又由| BS |= 2 得 x2 + （ y - 2）2 + z2 = 4 ,即 y2 + z2 - 4y + 1 = 0 ,故

15、 y = 1 , z = 3 . 3 分1 uur3 3 uur3 3 uur 1 3于是 S （1, , ）, AS = （-1, - , ）, BS = （1, - , ）, DS = （0, , ） ,2 2 2 2 2 2 2 2DS AS = 0, DS BS = 0 .故 DS AS , DS BS ,又 AS I BS = S ,（）设平面 SBC 的法向量 a = （m, n, p） ,则a BS , a CB, a BS = 0, a CB = 0 .uur又 BS = （1, -3 uur, ）,CB = （0, 2, 0） ,m - 3 n + 3 p = 0,故 2 2

16、9 分2n = 0取 p = 2 得 a = （-uur r3, 0, 2） ,又 AB = （-2, 0, 0）,cos =AB auur r = .| AB | | a | 7故 AB 与平面 SBC 所成的角为arcsin. 12 分【点评】立体几何一直以来都是让广大考生又喜又忧的题目.为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.今年的立几问题建系就存在这样的问题，很多考生由于建系问题导致 立几的完成情况不是很好.（20）（本小题满分 l2 分）（注意：设数列a 满足 a = 0 且 1

17、 - 1 = 1.n 1求a n 的通项公式；1- an+11- a n（）设bn =n, 记Sn = bk , 证明：Sn 1 .k =1【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生 分析问题、解决问题的能力.【解析】（）由题设1- a n+1- 1= 1,即 是公差为 1 的等差数列.又 1 =1,故 1 =n .1- a 1 1- a n所以 an= 1- 15 分# （） 由（）得bn = - ,n +1Sn = bk = （- ） = 1- 1 12 分k +1【点评】2011 年高考数学全国卷将数列题由去年的第 18 题后移,一改往年的

18、将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重 视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列 的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.（21）（本小题满分 l2 分）（注意：2 y2已知O 为坐标原点， F 为椭圆C ： x + = 1在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 - 的直线l 与C 交与 A 、 B 两点，点 P 满足OA + OB + OP = 0 .（I）证明：点 P 在C 上；（II）设点 P

19、 关于点O 的对称点为Q ，证明： A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关 系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。（I） F （0,1） , l 的方程为 y = -2x + 1,代入 x + = 1并化简得4x2 - 2 2x -1 = 0 2分设 A（x1, y1 ）, B（x 2 , y2 ）, P（x3 , y3 ） ,2 - 6 2 + 6则 x1 =4 , x2 = 4 ,x + x = 2 , y + y = -2（x + x ） + 2 = 1,1 2 21 2 1 2由题意得 x3 = -（x1 + x2 ） = -2 , y3 = -（ y1 + y2 ） = -1,所以点 P 的坐标为（-, -1） .经验证点 P 的坐标（-