ARCH模型和GARCH模型Word格式文档下载.docx

1、条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为其中是信息集。2、ARCH模型的定义Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。ARCH（q）模型： （1）的无条件方差是常数，但是其条件分布为 （2）方程（1）是均值方程（mean equation） ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成 常数 ARCH项滞后的残差平方由于t2 的非负性，对i应有

2、如下约束， 0, i0, i = 1, 2, q 当全部i = 0, i = 1, 2, , q时，条件方差t2 =。因为方差是非负的，所以要求 0。3、ARCH模型的平稳性条件为保证t2是一个平稳过程，（2） 式的特征方程 1-1L-2L2-qLq=0 的根都应在单位圆之外。对i, i = 1, 2, , q的另一个约束是 0 1+2+q1 对（2） 式求期望，t2 =+ 1 E（t -1 2） + 2 E（t -22） + + q E（t - q2） =+ 1 t -1 2 + 2 t -22 + + q t - q2当T 时， 2 =+ 1 2 + 2 2 + + q 2则无条件方差可见

3、若保证t2是一个平稳过程，应该有约束0 （1 + 2 + + q ） 1。因为Var（yt） = Var（t） = t2，所以上式可以用来预测yt 的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1） 1-1L-2L2-qLq=0 的根都应在单位圆之外。2） 0 1+2+q0, i0, i = 1, 2, q例1 ARCH（1）模型中参数的含义：当时，时，退化为传统情形，4、ARCH效应检验ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验建立辅助回归方程此处是回归残差。原假设：H0：序列不存在ARCH效应即 H0：可以证明：若H0为真，则此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的

4、确定系数。Eviews操作：先实施多元线性回归view/residual/Tests/ARCH LM Test2、ARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。series r=log（p）-log（p（-1）点击序列p，然后view/line graph1、检验是否有ARCH现象。首先回归。取2000到2254的样本。输入ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample: 2000 2254Included observations: 255VariableCoeffi

5、cientStd. Errort-StatisticProb. CR-squared Mean dependent varAdjusted R-squared . dependent var. of regression Akaike info criterionSum squared resid Schwarz criterionLog likelihood Durbin-Watson stat问题：这样进行回归的含义是什么其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic ProbabilityObs*R-squaredT

6、est Equation: RESID227Sample（adjusted）: 2010 2254 245 after adjusting endpointsRESID2（-1）RESID2（-2）RESID2（-3）RESID2（-4）RESID2（-5）RESID2（-6）RESID2（-7）RESID2（-8）RESID2（-9）RESID2（-10） F-statisticDurbin-Watson stat Prob（F-statistic）得到什么结论2、模型定阶：如何确定q实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的pvalue即可。此处选取q3。因此

7、，可以对残差建立ARCH（3）模型。3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。如何实施ARCH过程：由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH得到如下结果 ML - ARCH48Convergence achieved after 13 iterationsz-Statistic Variance EquationARCH（1）ARCH（2）ARCH（3）为了比较，观察将q放大对系数估计的影响54Convergence achieved after 16 iterationsARCH（4）ARCH（5）观察：说明q选取

8、为3确实比较恰当。4、ARCH模型是对的吗如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。对q为3的ARCH模型做LM test，发现没有了ARCH效应。注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么 STD_RESID256STD_RESID2（-1）STD_RESID2（-2）STD_RESID2（-3）STD_RESID2（-4）STD_RESID2（-5）STD_RESID2（-6）STD_RESID2（-7）STD_RESID2（-8）STD_RESI

9、D2（-9）STD_RESID2（-10）方程整体是不显着的。还可以观察标准化残差ARCH建模以后，procs/make residual series/可以产生残差和标准化残差，以下分别是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。ARCH建模以后，procs/make garch variance series/ 得到结论：ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。3、GARCH模型ARCH （q） 模型 是关于t2的分布滞后模型。为避免t2的滞后项过

10、多，可采用加入t2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH），主要就是针对q较大的情形1、模型定义条件方差方程 均值过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如R C），则R2没有直观定义了，因此可为负）例2 GARCH（1,1） Model标准的GARCH（1,1）描述为： （a） （b）（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。因为是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。条件方差的方程有三项。 是均值项； 在 GARCH（1,1） 的（

11、1,1） 表明有1阶GARCH项和1阶ARCH 项。一个ARCH 模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即： （c） （d）如果对（2）式右边进行迭代。可以有这说明GARCH（1,1）的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分构成。令,将其代入（b）得,由此可见，残差平方服从一个ARMA（1,1）过程。自回归因子的根为，如果接近1，则冲击是长久的。2、GARCH（p, q） 模型的稳定性条件计算扰动项的无条件方差：从上式可推出稳定条件：0 为使模型有意义，系数还需要满足下面两条1） 0, i 0, i = 1, 2, q,2） i 0, j =

12、 1, 2, p3、GARCH模型的参数估计采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH（1, 1）为例。由GARCH（1, 1）模型可以得到yt的分布为由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为第t个观察样本的对数似然函数值为注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。似然函数为取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的选择两条原则：1） 若ARCH（q）中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH（p, q）2） 使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型3） 对于金融时间序列，一般选择GARCH（1, 1）就

13、够了。回顾AIC和SC定义：1）AIC准则（Akaike information criterion）AIC越小越好，结合如下两者：K（自变量个数）减少，模型简洁LnL增加，模型精确2）SC准则（Schwaz criterion）习题1：通货膨胀率有ARCH效应吗Greene P572点击数据文件usinf_greene_p572。进行回归ls inflation c inflation（-1） INFLATION 11/19/04 Time: 10:37 1941 1985 45 after adjusting endpointsINFLATION（-1）检验ARCH效应46 1946 1985 40 after adjusting endpoints习题2：通货膨胀率有ARCH效应吗Lin的数据集 点击usinf文件series dp=100*D（log（p）ls dp c dp（-1） dp（-2） dp（-3） DP10 1951:1 1983:4 132 after adjusting endpointsDP（-1）DP（-2）DP（-3）13 1952:2 1983: 127 after adjusting endpoints16 132 after adjus