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1、4向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。二 符号说明Fi:每个人所受的拉力大小；Fi每个人重力G和地面对他的支持力N的合力；：队员与重垂线的夹角；𝜃：绳子与水平面的夹角；S：人重心到脚支点的距离；L:绳子重心到脚支点的距离；Hi：人的重心高度；Hj:绳子的重心高度；（i,j=1,2,8）h:相邻两个人的间距;m:每一段绳子的质量；F1、F2:质量为m的绳子它两端受到的沿绳子向外的拉力；Tn: 质量为m的绳子分为段后各段所受的张力；L1：比赛开始后绳子移动的距离；：甲乙两队第1个队员处于平衡态时与地面所成夹角；h1：甲乙两队第1个队员

2、所握绳子离地面的高度；b：比赛中队员发生平动一步的平均距离；X：比赛中队员平动的步数；B：比赛中队员发生的平动距离；r:获胜距离（即绳子中线到河界的距离）。三 问题的分析队员位置的合理分配。 问题一要求我们在某种分级比赛中，在合理的情况下恰当安排队员的位置以发挥该队的最大能量。在满足同一分级的条件下，我们给予两种分析方式来解决位置分配的问题。1.每个队员间身高和体重的差异是决定他所处在位置的两个重要因素，我们以此两因素作为自变量建立数学模型，求解使该队获得最大能量的位置分配方式。2.在采用上述方式总体进行分配后，由于考虑到第一个位置所受张力更大，则对重力矩要求更大，即对重心高度的有更大要求；对

3、最后一个位置的合理控制可以防止队伍发生转动的情况，那么最后一个人的要求对体重也有一定要求，故在前后两端的人员分配上应在第一种情况下加以特殊考虑。判断四米的合理性根据对题目理解，我们想到获胜距离过长过短都会影响实际比赛的竞技性和观赏性。过长可能会导致双方队员进入僵持不下的拉锯战。过度考验队员的耐力极限。迟迟不能分出比赛胜负。过短则会造成胜负结果快速揭晓，但这样的胜负结果存在很大偶然性和不确定性，并不能很好的展现双方的真实水平。并且大大降低了比赛的观赏性。在设计获胜距离时须综合考虑竞技性、安全性、观赏性，确定一个合理的获胜距离范围。制定合理的拔河比赛规则利用第一二问得到的影响比赛结果的因素等结论，

4、以让大多数学生参与进来，保证比赛的竞争性，提高在校学生的身体素质为目的，来制定一个合理的拔河比赛规则。向全国大学生体育组委会提交拔河比赛提案四 模型假设1.假设双方队员没有个体差异，参赛两队所处的地面粗糙程度、倾斜程度均相同，且最大静摩擦不受限制。2.平衡态时甲乙双方队伍状态相同。两队都向各自方向倾倒，甲乙第一个队员之间的绳子水平，同一组队中每一个队员在拉动过程中的倾斜程度均相同。3绳子具有一定的质量，且在模型计算中不可忽略。4平衡态时甲乙双方队伍状态相同。两队都向各自方向倾倒，甲乙第一个队员之间的绳子水平，第一个队员与地面所成倾角相当。5假设双方队员都能握紧绳子不丢，人与绳子不发生相对位移。

5、6假设规定任何一方不能将倒地的一方强行拉拽，保证参赛队员的人生安全。7.假设无论拔河过程中是否将对方拉倒地都不影响胜负结果，只有当LS时，才能判定胜负结果。8.结合实际情况，假定不考虑学生穿的鞋，身体状态等难以规定的因素；双方都以诚信公平的态度参加比赛。五 模型的建立与求解问题一、根据问题要求，我们可以分析，由于不同身高的人重心不同，每个人的重量也不相同，故重力矩的影响因素由身高和体重决定；但在拔河比赛僵持状态下，每个队员保持不动的状态下他们存在以脚为支点的转动，这种转动的平衡是由于重力矩和拉力矩相等所产生的结果，因此对队员位置的分配方式应基于在不同的位置下身高和体重所产生重力矩不同来考虑。分

6、析一：对于重力矩和拉力矩的相等问题中，在拉动过程中绳子与地面有一定的夹角导致不同位置处绳子的重心不相同，针对单个队员而言，下面根据如图1所示，对他进行在两力矩相等条件下地受力分析；根据公式： F =FL 那么 F= S /L 由于 S=Hi/ L=Hj/ 故： F= /Hj （i,j=1,2,8）对于压力N和重力G的合力，如图2所示： 故 F= /Hj; （i,j=1,2,8）由于作用力和反作用力的大小相等，方向相反，则该名队员所使出的拉力的大小也为F，根据力的合成得八个人所表现出的能量大小为： 对于而言，如图3所示：设绳子在第八个人的位置时绳子重心的高度为H0，相邻两个人的间距为h,七个人绳

7、子的高度为：H0+h;依次类推，随后绳子的重心高度可表示为：Hj= H0+（8i）h故 =设 Ti= （i=1，28） 那么绳子的拉力和即与Ti形成一元函数关系，对自变量为Ti，函数值为合力大小Fi的一元函数，由函数的单调性可知：要使人所表现的拉力最大，则拉力的合力F最大，跟据上式拉力和的公式可知当T1T2T3F2, 则绳子上各处的张力如何？为简化问题便于研究起见，可将绳子均匀地分成质量相等的n段，且质量集中于各段的一点，用整体法建立动力学方程：如图4所示：动力学方程：F1F2=n（m/n）a=ma则： a=（F1F2）/m运用隔离法可求得各段绳之间的张力：T1=（n-1）F1+F2/n=F1

8、-（F1-F2）/nT2=（n-2）F1+2F2/n=F1-2（F1-F2）/n 以此推广之可得： Tn-1=（n-1）F2+F1/n=F1-（F1-F2）（n-1）/n 上式结果表明，n为正整数，T1T2T3Tn-1;当绳子向F1方向加速运动时，绳子上各处的张力不等，前端的张力大，越往后绳子上的张力越小点，且绳子的质量越大，加速度越大这个差别就越明显。因此根据以上分析，在前端的张力越大，所产生的拉力矩越大那所需要的重力矩也就越大，如果第一个人是又矮又瘦的同学则肯定不合适，那根据重力矩为GHi可知在第一个人的位置应该安排身高较高的同学，这样不仅能防止出现刚开始就被拉过去的危险，也可以依靠其高重

9、心有利于在拉的过程中的缓冲作用，便于灵活调节所处高度以适应最佳位置，故第一个人的位置应安排8人队伍中身高最高的同学；其次由于在拉的过程中必须保持绳子要直，不能左右摇晃，如果有一个人向左，一个人向右，那么就等于他二人莫有参加的效果，直接导致队伍里少两个人，因为在最后的人的作用很大部分是控制绳子的，防止出现左右摇晃的情况，而体重较大的人有利于增大摩擦力和重力矩，那么为了防止整体发生转动，更有效的控制好队伍的整体连贯性，最后的位置必须安排一个重量比较大的同学；即在第一个位置应该选身高最高的同学，最后的位置应该选体重最重的同学防止转动的发生。根据分析一、二可知在人员的安排上应该按照在注意特殊位置人员选

10、取的前提下，依照分析一中的方法进行位置分配；综上所述：即先选出最高和最重的同学分别站在队伍的最前和最后位置，剩余的六名同学通过计算GiHi之积，对积的大小进行排序，从队伍前到后依次按积由小到大的顺序排队。问题二、目标函数的确立：根据题目，我们有这样的理解：甲、乙两队开始几乎势均力敌，在比赛前期处于平衡态。甲、乙第一个队员与地面所成偏角相等。两队处于对等状态。如图1一段时间后，甲方优势凸显出来，逐渐把乙将甲方向拉。下面分两种情况分别进行分析：1. 如果转动，脚与地面相对位置不变，被甲方拉着以脚为转轴支点做转轴运动，极限情况是乙方完全向前倾倒在地面上，如图3由一问建立的模型知：队伍中安排在第一个位

11、置的队员的身高最高，其所握绳子距离地面的高度也是最高，设第一个队员所握绳子距离地面的高度h1可取为1.5米。在拔河比赛中为了保持身体的平衡和有利，人与地面的倾斜脚必须小于90 度，即后倾状态，此时较低与地面产生向后的摩擦力f ，这将增大对方的困难。但在对于后倾状态下人与地面的夹角通过以下模型求得：设人的身高为b ，身体与地面的倾角为（90）。T 与 G 分别作用在人体的肩部和重心处。假设肩部在身高的0.7b 处，重心在人的0.5b 处，则据力矩平衡，可知：h =0.7bsin; s=0.5bcos;Th=Gb;0.7bsin=G0.5b可见，在对方拉力一定时，力矩的大小取决于G 和，下面分别讨

12、论。先看一下重力矩与倾斜角的关系。由正弦、余弦变化规律可知，在090 度的范围，sin增函数，cos为减函数，即越小，cos越大，sin越小。如图上图，要发挥重力矩的有利作用，应保持在45 度以下，因为此时cossin，当然若角过小，人也会向后翻倒，所以不应太小。此外，根据：f = uG 和 Tcos= arctg （0.5f/0.7T）/u;可见，u 越大，越小。因此在u较小，即比较光滑的地面上，应该大一些，即人的身体应该更直一些。所以，拔河时，理论倾角应在2590 之间.2590绳子移动距离r范围：h1+h1cos90L1=h1+h1cosL1+h1cos251.5L1=h1+h1cos2

13、.86分析极限情况下乙方完全倾倒在地面上时：这种情况下，绳子拉过的距离最大最大值L1=2.86m此时甲方获胜可能性最大，但此时的L14m,仍然不满足获胜条件，若甲方想获胜，则必然将乙方倒地队员强行在地面上拉拽使得L14m.但这样的获胜结果势必造成乙方队员严重受伤。和假设不负。而且由竞技层面来看，当乙方被甲方拉着转动一定角度时，乙方本身的队形及用力、受力情况已发生重大改变。从力学角度，此时乙方处于较之前大很多的劣势，已无力挽回败局。此时已可判定两支队伍的强弱情况。故4m不合理，距离过长，没有必要。2.如果乙方被甲方拉着平动，虽然甲方可能将乙方拉过4M，但从观赏性角度来说，对于两个势均力敌，实力相

14、差不大的队伍来说，距离为4m容易使得比赛陷入僵持不下的拉锯战。不符合实际比赛要求。 综上，不论是平动还是转动，4m都不合理。3.在实际拔河比赛的对抗中，平动和转动往往是伴随一起发生的。甲方的猛然进攻会使乙方向甲方平动。由于人的大脑有一定反应时间，当乙方被甲方拉着平动一定步数x后，乙方队员会发力进行防守，往往整个系统会短时间重新建立新的平衡态，结合实际情况知乙方从被甲方拉着移动到甲乙双方重新回归到平衡态的步数：2x5.且一步的长度x大约为0.4m则平动距离0.8B=xb2.0根据一般性取x=3则更能体现一般情况的值B=1.2m为充分考察两队的实力，在保证竞技性的前提下应尽量提高比赛的观赏性，应为

15、为选手预留出一定缓冲区，即要保证双方是经历过一段博弈之后才较为明显的确定双方的竞技水平高低。避免因一时不确定因素影响对双方实力的考验。所以获胜距离应大于等于1.2m。在转动情况下，事实上只要甲方将乙方从平衡态拉至与地面倾角为90时，乙方与地面间的摩擦力大幅减小，乙方已无反败为胜的可能。如图4此时绳子移动距离L1= hcos 当倾角取25时，L1取得最大 L1= hcos25L1= 1.36 因为此时就可以明显的分出甲乙实力,所以只存在转动情况下获胜距离不应超过这个最大值。而事实情况是平动和转动同时存在，所以r1.2+1.36=2.56综合平动，转动两种胜负情况，以尽量提高比赛竞技性，观赏性，安

16、全性为原则得出： 1.2mr2.56m问题三、为保证大多数学生参与进来，则需要降低比赛难度及提高其安全性。这时候可以通过控制两边河界到中线的距离（记为r）来实现。由第二问研究的结论我们可知，为保证其比赛难度和安全性，r应小于2.56米，否则有可能造成学生的受伤。而为保证比赛的竞争性，就需要要求比赛双方实力差距不大，有一定的僵持过程，同时还需要最后分出胜负。于是为了保证双方实力相近，就需要：首先，对参赛的学生进行分组。而分组的依据则应是影响比赛的因素。在实际情况中，学生的鞋子等因素是无法控制的，于是根据第一问所得，我们假定影响比赛的因素有Hi, Gi，而其他的因素都相同。所以我们可以根据Ti对参

17、赛的学生进行分组。但同时考虑到青少年正处在骨骼等发育的重要阶段，年龄不同，身体机能也差别很大，因此也要对学生的年龄进行划分。于是结合Ti和年龄这两个因素，我们可以先按年龄分为大学组、高中组、初中组、小学组（儿童组）；然后在不同的年龄段中，再结合Ti进行分组。根据Ti及国际上常用的人的体重计算公式：标准体重=（身高cm-100）x0.9（kg） ；标准体重（女）=（身高cm-100）x0.9（kg）-2.5（kg） 同时考虑到中国青少年普遍肥胖、儿童生长发育快等具体情况来制定出新的计算公式：非儿童：标准体重=（身高cm-100）x1.0（kg） ；儿童组：标准体重=（身高cm-90 ）x1.0（

18、kg） ；并以此来分级：非儿童组Ti从416公斤米到1296公斤米，每隔88公斤米一级。儿童组Ti在416公斤米以上的参考非儿童组。Ti从191公斤米到416公斤米，每隔75公斤米一级。然后，对每对八名队员的位置进行规定。在拔河比赛的规则制定中，为了使比赛更剧烈更有观赏性：一方面，使比赛双方都尽可能地按照能量最大的排布方式安排每位队员的位置。因为在比赛过程中，由第一问知，每方八名队员的排布位置影响比赛的结果，将Ti越大的放在后面，则整个团队所能发挥的能量越大。另一方面，我们知道，体重大的放在后面有助于保持整体重心低，防止左右摆动；而重心高的则应放在前面，增强对绳子产生的脉冲力的适应力以提高整体

19、的稳定。综上两点，我们应使双方按照Ti由小到大排列同时又兼顾同等条件下让个高的站前面，体重大的站后面的排布方式进行排布。但事实上，比赛中有许多的因素影响着结果，如绳子的摆放，双方发力的先后，场地的差异，比赛握绳法以及姿势等客观因素。为了保证双方实力上的势均力敌，需要尽可能地在拔河比赛规则中对这些因素进行规定，以尽可能的消除误差。例如场地上的差异是很难消除的，这时候可以执行三局两胜制：为了体现公平公正性，第一局必须事先抽签来决定场地，第二局场地交换；必须进行第三局比赛时，按照抽签决定场地。还有对比赛握绳法以及姿势等客观因素进行相同的要求，有裁判指令同时发力。为了确保实力相近的双方，在经过僵持后最

20、终分出胜负，保证比赛的竞争性和观赏性，需要控制两边河界到中线的距离r不应过大。因为距离过大导致一方要想获胜所有付出的努力很大很多。拔河比赛是一项时间比较短的运动，持续时间不应超过两分钟，否则就影响力比赛的热情了。而事实上由于双方实力差距不大，S过大很有可能造成的结果就是双方你来我往一段时间后，都没有了力气，比赛就因此而显得乏味了。于是，这时候结合第二问以及前面的有关讨论，我们有：r= 2.56米 而另一方面，S也不应当很小。这时候可以利用极限的思想来考虑，假定S为十厘米，在比赛的开始阶段，只要双方中的一方先发力，就很有可能直接赢得比赛，而事实上这一方的真实实力有可能比另一方弱很多。这样的结果会

21、令拔河比赛变得很没有意思。于是，我们可以得出结论：S不可能无限小下去。另外，在双方实力相当的情况下，当S不是很小的时候，双方就很有可能出现你来我往的现象，而这也会大大增加拔河比赛的竞争性和趣味性。这个时候我们可以定量地分析一下：如果开始一方将另一方向前拉动了不太多的几步，理论上应当还有反败为胜的可能。以此我们假定：刚开始一方将另一方拉动了x步，每步的长度为30到40厘米。于是有： r=40x而为了增加趣味性，x应当不小于三步 此时有：=1.2米 所以有 、得：1.2米= 2.56米 然后，结合学生具体的年龄、安全、趣味等因素， 我们可以规定：对于非儿童组： r=2米对于儿童组： r=1.5米综

22、上所述，并结合学校实际情况制定拔河比赛的规则如下：建立拔河比赛比赛规则模型：（一）划分级别：1.年龄区间：划分为：大学组、高中组、初中组、小学组（儿童组）2.结合第一问影响比赛因素Ti在年龄区间内进一步细分：即：第一级416公斤米以下第二级416公斤米到504公斤米第三级504公斤米到592公斤米第四级592公斤米到680公斤米第五级680公斤米到768公斤米第六级768公斤米到856公斤米第七级856公斤米到944公斤米第八级944公斤米到1032公斤米第九级1032公斤米到1120公斤米第十级1120公斤米到1208公斤米第十一级1208公斤米到1296公斤米第十二级1296公斤米以上19

23、1公斤米以下191公斤米到266公斤米266公斤米到341公斤米341公斤米到416公斤米416公斤米以上（二）比赛设施拔河道为水泥地上画3条直线，间隔为2m（儿童组为1.5m），拔河绳中间系一红布条，布条上挂一小重物垂直于中线。居中的线为中线，两边的线为河界。除参赛队领队、工作人员、选手以外，其他人员一律不得进入比赛场地。（三）比赛方法与比赛排名：1.比赛握绳法以及姿势（1）选手排位：按Ti由小到大排序，同时兼顾身高高的往前，体重大的往后。（2）第一位得尽量握住靠近蓝色记号区外侧的绳子。（3）选手空手，双手掌向上紧握绳子。（4）绳子必须由躯干与上臂之间通过。（5）不能使用防止绳子动摇的支撑法

24、，以及其它方法。（6）比赛中，必须两脚在膝前伸直，且必须握住绳子。力后位握绳法，绳子必须通过腋下，由背斜上，从对侧肩部前面垂下，多余绳子置于后外侧，两手臂向前直握住绳子，身子往后倾，保持脚不动，手握紧。2.比赛开始（1）绳子放置法 选手进场比安前，必须先将绳子确实伸直，并把绳子和拔河道一样对照。中心线至两端白色记号区内侧各设定为2m（儿童组为1.5m）。（2）集合主裁判做集合的手势 （两手从水平上举做打招呼动作） ，站于绳子左侧的选手，由领队、选手、管理之顺序相从整队进场。r敬礼之后，未出场队员退到所定之位置，后位将绳子向肩回绕，按规定的握绳法准备。（3）准备的确认依主裁判指示，由双方领队互相确认准备状况，双方领队必须明确回答，否则主裁判不能确认准备完毕。（4）主裁判手势以下（ ） 内是主裁判的手势。举绳 （双手向前做水平伸展动作） 口令时，选手双手握住绳子。此时第一位尽量握住靠近蓝色记号区外侧的绳子，后位必须在端线之前。