矢量的基本代数运算Word格式.docx

1、PQ OQ OP s r （yi xjei （y? X2）e2 （ya Xa）ea其中yi Xi（i 1,2,3）就是该矢量在 里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等若|a 1 , a为单位矢量（幺矢）。|a 0，则ai / a叫做a在里的方向余弦，它们是a和ei间的角0, 之间的余弦。零矢没有方向余弦。i ）矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三 角形）法则。a B （ai bi ）ei （a2 b2 ）e2 （a3 b3 ）e32） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形 （或三角形）法则，为加法的逆运算。a B （ai bi ）ei （a

2、? b2）e2 （a3 b3）e33） 纯量（或数量）乘矢量：若 为纯量，则况 aei a2e2 a3e34）数积（点乘）：矢量a, B的数积是纯量a B aibi a2b2 a3b3 a Bcos其中0,是a, B之间的角。矢量a, B相互垂直的充要条件是它们的数积等 于零。零矢与任意矢量垂直。矢量a和单位矢量e的数积等于a在e的方向的 垂直投影。5）矢积（叉乘）：矢量a , （3的矢积是矢量ei e? e3a 3 a1 a2 a3 a 3sin nD b2 bs其中n为a, 3不平行时，同时垂直于a, 3的幺 矢，且a, 3, n按此次序构成右手系。a 3 a , a 3 3矢量a,湘互平

3、行的充要条件是它们的矢积等 于零。零矢与任意矢量平行。运算规律一览若a, 3, Y是任意矢量，是任意纯量，则1 ）结合律：（a （ ）a（a 3） Y a （ 3 丫）（a） 3 （a 3）（a 3 （a 3）2）交换律：a 3 3 a必须注意：a （3 Ba3）分配律：（ ）a a a（a B） a Ba （ 3 Y a 3 a 丫a （ BY a 3 a y（a, y, B） （B a, Y （ y, B a）根据行列式性质，有（a, B, Y （ B Y a （ Y, a, B）混合积（a,B Y的绝对值表示以a, B, 丫为棱的平 行六面体的体积。三个矢量a, B, Y共面的充要调价是

4、它们的混 合积等于零。若三个矢量a, B, 丫共面，且a, B不平行，则是a, B的线性组合:2） 三矢矢积： 若 a, B, 丫是矢量，则三矢矢积为（a B） y （a 丫）卩（卩 丫）a3）拉格朗日（Lagrange ）恒等式:（a B） （ y 3） （ a 丫）（卩 3） （ a 卩力特殊地2 2 （a B） a可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共 面的矢量。1.4对于空间的点、直线和平面的简单应用不妨在标架 O；ei，e2，e31中来考察空间的点、直线和平面。OP来显然，空间的任意一点P可用其径矢r 表示。1）令空间任意一直线经过某固定点，它与 一单位矢量v平行，r为直线上任意点，

5、则该直线 可表示为r ro tv其中t是纯量。以上方程称为直线的矢方程，其中t是参数, 因而也叫做参数矢方程。2）令空间任意一平面经过某固定点，它与 一单位矢量n垂直，r为平面上任意点，则该平面 的矢方程为n （r r） 0注意：通常平面具有方向性，与n同向的一 侧称为正侧。另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、 两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平 面。3）过点ri，作直线r ro tv的垂线，其垂足ri ro （ro） vv点到直线的距离d r1 r14）点ri到平面n （r ro） 0的距离d n （ri ro）点到平面的垂足ri ri （ri r） nn5）两相错直线ri ri

6、o ti ai与J 5 t2a2的公垂线 单位矢量% a?a a?它们间的最短距离（2rio, ai, a2）|a a2|d2坐标变换2.1基矢变换在研究齿轮啮合运动时，我们通常取三个标 架，一个固定在空间，称为基础标架，另两个分 别和运动中的两个齿轮相固连。 因此，有必要考察两个标架或坐标之间的相互关系。设oe， Oe为任意两个直角坐标系。考察基矢ez和8之间的关系，设在坐标 系里，标架的基矢eg为3ei 玄泸）（i 1,2,3）j i即ai a2 a3e? a 2i a 22 a 23 e?e3 a 31 a32 a33 e3则a“, ai2, ai3是e：在坐标系 里的分量，也是方向余

7、弦，即ei依次和ei,e2,e3之间的角的余弦：e：ej a：j （i, j 1, 2,3）而在在坐标系 里，标架 的基矢e1,e2,e3为 aej （i 1,2,3）j 1或e a1 a 21 a31 e a 12 a 22 a 32 e?e3 a 13 a23 a33 e3若引进方阵的概念和符号，令ai1 ai2 ai3 ai1 a21 a31Ta a 21 a 22 a?3 ， a a2 a?2 a 32a31 a32 a33 ai3 a23 a33则A , AT互为转置方阵，且AAT I , ATA I其中I表示三阶单位方阵。A和AT都是正常正交 方阵表明：从一个坐标系的基矢到另一个坐

8、标系 的基矢的变换是具有正常正交方阵的线性变换， 称为正常正交变换。若从 到的基矢的变换方阵是A，则从 至V的基矢的变换方阵是At。设有三个坐标系，和，若从到的基矢 的变换方阵是A，从到 的基矢的变换方阵是 B，则从到的基矢的变换方阵为C BA2.2矢量的分量变换设Xi，X2，X3是任意矢量r在坐标系 里的分量，则在坐标系里的分量为卷 a?i a 22 a?3 X2X3 a31 a32 a33 X3X AX2.3点的坐标变换 在坐标系 Oe里的坐标是X ,再设O点在 里的坐标是Xo，贝0X Xo AX3刚体变换刚体是指在运动中，其上任意两点的距离始 终保持不变的物体。通常我们假定齿轮是刚体， 齿轮运动是刚体运动。设0；6忌为基础标架， 0 为与齿轮相固连的标架，那么，研究齿轮运动的过程即 可归结为的运动的研究。标架的原点和基矢 在 里都是时间t的函数，这样位置的变化，就叫 做刚体位置变换或简称刚体变换。