3最值系列之瓜豆原理Word格式文档下载.docx

1、引例 2：如图， P 是圆 O 上一个动点， A 为定点，连接 AP，作 AQ AP 且 AQ=APA P O【分析】 Q 点轨迹是个圆，可理解为将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90得 AQ，故 Q 点轨迹与 P 点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑 AP AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM AO；考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO即可确定圆 M 位置，任意时刻均有 APO AQM MA O引例 3：如图， APQ 是直角三角形， PAQ=90且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时， Q 点轨迹是？【分析】考虑 AP AQ，可得

2、 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM AO；考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1即可确定圆 M 位置，任意时刻均有 APO AQM ，且相似比为 22【模型总结】为了便于区分动点 P、 Q，可称点 P 为 “主动点 ”，点 Q 为“从动点 ”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（ PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ AP:AQ 是定值）AOA【结论】（ 1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:

3、AM，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆， Q 与 P 的关系相当于旋转 +伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆 “种 ”圆得圆， “种 ”线得线，谓之 “瓜豆原理 ”3【思考 1】：如图， P 是圆 O 上一个动点， A 为定点，连接 AP ，以 AP 为一边作等边 APQ考虑：【分析】Q 点满足（ 1） PAQ=60 ；（ 2）AP=AQ，故 Q 点轨迹是个圆：考虑 PAQ=60，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 MAO=60考虑 AP=AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM=AO，且可得半径 MQ=PO即可确定圆 M 位置，任意时刻均有 APO AQM 60【小结】可以理解

4、 AQ 由 AP 旋转得来，故圆 M 亦由圆 O 旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于 AP 与 AQ 的位置和数量关系【思考 2】如图，P 是圆 O 上一个动点， A 为定点，连接 AP，以 AP 为斜边作等腰直角 APQ考虑：当点 P 在圆 O 上运动时，如何作出 Q 点轨迹？【分析】 Q 点满足（ 1） PAQ=45（ 2） AP:AQ= 2 ： 1，故 Q 点轨迹是个圆连接 AO，构造 OAM=45且 AO:AM = 2 ：1M 点即为 Q 点轨迹圆圆心， 此时任意时刻均有AOP AMQ 即可确定点 Q 的轨迹圆4M P【练习】如图，点 P（ 3,4），圆 P 半径为 2， A（ 2.8

5、,0）， B（ 5.6,0 ），点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是 _yP M CO A B x【分析】 M 点为主动点， C 点为从动点， B 点为定点考虑 C 是 BM 中点，可知 C 点轨迹：取 BP 中点 O，以 O 为圆心， OC 为半径作圆，即为点 C 轨迹C当 A、 C、O 三点共线且点 C 在线段 OA 上时， AC 取到最小值，根据 B、 P 坐标求 O，利用两点间距离公式求得 OA，再减去 OC 即可M O5【 2016 武汉中考】如图，在等腰 RtABC 中， AC=BC= 2 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上， M 为

6、 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为 _C B【分析】考虑 C、M、 P 共线及 M 是 CP 中点，可确定 M 点轨迹：取 AB 中点 O，连接 CO 取 CO 中点 D，以 D 为圆心， DM 为半径作圆 D 分别交AC、 BC 于 E、 F 两点，则弧 EF 即为 M 点轨迹E ODC F B当然，若能理解 M 点与 P 点轨迹关系， 可直接得到 M 点的轨迹长为 P 点轨迹长一半，即可解决问题【2018 南通中考】如图，正方形 ABCD 中， AB 2 5 ， O 是 BC 边的中点，点 E是正方形内一动点， OE=2，连接 DE ，将线段 DE 绕

7、点 D 逆时针旋转 90得 DF ，连接 AE、 CF 求线段 OF 长的最小值A DE FB O C【分析】 E 是主动点， F 是从动点， D 是定点， E 点满足 EO=2 ，故 E 点轨迹是以 O 为圆心， 2 为半径的圆6考虑 DE DF 且 DE=DF ，故作 DM DO 且 DM =DO ，F 点轨迹是以点 M 为圆心，2 为半径的圆EF直接连接 OM ，与圆 M 交点即为 F 点，此时 OF 最小可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得 OM ，减去 MF 即可得到 OF 的最小值F M7【练习】 ABC 中， AB=4，AC=2，以 BC 为边在 ABC 外作正方形 BC

8、DE ，BD、 CE 交于点O，则线段 AO 的最大值为 _B CE D【分析】考虑到 AB、 AC 均为定值，可以固定其中一个，比如固定 AB，将 AC 看成动线段，由此引发正方形 BCED 的变化，求得线段 AO 的最大值根据 AC=2 ，可得 C 点轨迹是以点 A 为圆心， 2 为半径的圆B接下来题目求 AO 的最大值， 所以确定 O 点轨迹即可， 观察 BOC 是等腰直角三角形，锐角顶点 C 的轨迹是以点 A 为圆心， 2 为半径的圆，所以 O 点轨迹也是圆，以 AB 为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点 M 即为点 O 轨迹圆圆心8连接 AM 并延长与圆 M 交点即为所求的点 O，此时

9、 AO 最大，根据 AB 先求 AM ，再根据 BC 与 BO 的比值可得圆 M 的半径与圆 A 半径的比值， 得到 MO，相加即得AO此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当 A、C、 A共线时，可得 AO最大值A或者直接利用托勒密定理可得最大值9二、轨迹之线段篇引例：如图， P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时， Q 点轨迹是？BP【分析】当 P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、 Q 向 BC 作垂线，垂足分别为M、 N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半， 即 Q 点到

10、 BC 的距离是定值， 故 Q 点轨迹是一条直线B P N M C【引例】如图， APQ 是等腰直角三角形， PAQ=90且 AP=AQ，当点 P 在直线 BC 上运动时，求 Q 点轨迹？B P Q C【分析】 当 AP 与 AQ 夹角固定且 AP:AQ 为定值的话， P、 Q 轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的 Q 点的位置，连线即可，比如 Q点的起始位置和终点位置，连接即得 Q 点轨迹线段Q2Q110必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（结论：P、 Q 两点轨迹所在直线的夹角等于 PAQ（当 PAQ

11、90时， PAQ 等于 MN 与 BC 夹角）A NB P CP、 Q 两点轨迹长度之比等于 AP:AQ（由 ABC AMN ，可得 AP:AQ=BC:MN ）【2017 姑苏区二模】如图，在等边 ABC 中， AB=10， BD =4，BE=2，点 P 从点 E 出发沿EA 方向运动，连结 PD ，以 PD 为边，在 PD 的右侧按如图所示的方式作等边 DPF ，当点P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是 _B D C【分析】根据 DPF 是等边三角形，所以可知 F 点运动路径长与 P 点相同， P 从 E 点运动到 A 点路径长为 8，故此题答案为 811【2013 湖州中

12、考】如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为 2 3 的一个定点， ACx 轴于点 M，交直线 y=-x 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点， APB=30 ， BA PA，则点 P 在线段 ON 上运动时， A 点不变， B 点随之运动 求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是 _O M xN【分析】根据 PAB=90， APB=30可得： AP:AB= 3 :1 ，故 B 点轨迹也是线段，且 P 点轨迹路径长与 B 点轨迹路径长之比也为 3 :1 ， P 点轨迹长 ON 为 2 6 ，故B 点轨迹长为 2 2【练习】如图，在平面直角坐标系中， A（ -3,0

13、），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点C、D 在 x 正半轴上， 以 AB 为边在 AB 的下方作等边 ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值x【分析】 求 OP 最小值需先作出 P 点轨迹， 根据 ABP 是等边三角形且 B 点在直线上运动，故可知 P 点轨迹也是直线取两特殊时刻： （ 1）当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；（ 2）当点 B 在 x 轴上方且 AB 与 x 轴夹角为 60时，作出 P 点位置 P2连接 P1P2，即为 P 点轨迹P2P112根据 ABP=60可知： P P与 y 轴夹角为 60，作 OPP P，所得 OP 长度即为最1 2小

14、值， OP2=OA =3，所以 OP = 【2019 宿迁中考】如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为 BC 上一点，且 BE=1，F 为 AB 边上的一个动点， 连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG ，连接 CG，则 CG 的最小值为F GBE【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点 A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到 F 点轨迹是线段， 故 G 点轨迹也是线段， 取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻 G 点在 G1 位置，最终 G 点在 G2 位置（ G2 不一定在 CD 边）， G1G2 即为 G 点运动轨迹

15、G2G 1B E CCG 最小值即当 CG G1G2 的时候取到，作 CH G1G2 于点 H， CH 即为所求的最小值13根据模型可知：G1 G2 与 AB 夹角为 60，故 G1G2 EG1 过点 E 作 EF CH 于点 F，则 HF= G1E =1，CF= 1CE3 ，所以 CH= 5 ，因此 CG 的最小值为 5 HG1 F三、轨迹之其他图形篇所谓 “瓜豆原理 ”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、 从动点与定点连线形成的夹角以及主、 从动点到定点的距离之比， 可确定从动点的轨迹， 而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是【2016 乐山中考】如图，在反比例函数y

16、2 的图像上有一个动点A，连接 AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足 AC =BC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 yk 的图像上运动，若tan CAB=2，则 k 的值为（）A CO xA2 B4 C6 D814【分析】 AOC=90OC=1:2，显然点 C 的轨迹也是一条双曲线， 分别作 AM 、 CN 垂直 x 轴，垂足分别为 M、 N，连接 OC，易证 AMO ONC， CN=2OM ， ON=2AM ， ON CN=4AMOM ，故 k=42=8M O x【思考】若将条件 “tan CAB=2”改为 “ABC 是等边三角形 ”， k 会是多少？【练习】如图

17、， A（-1,1）， B（ -1,4）， C（ -5,4），点 P 是ABC 边上一动点，连接OP，以 OP 为斜边在 OP 的右上方作等腰直角 OPQ ，当点 P 在 ABC 边上运动一周时，点 Q 的轨迹形成的封闭图形面积为 _【分析】根据 OPQ 是等腰直角三角形可得： Q 点运动轨迹与 P 点轨迹形状相同，根据 OP:OQ= 2 :1 ，可得 P 点轨迹图形与 Q 点轨迹图形相似比为 2 :1 ，故面积比为 2:1， ABC 面积为 1/2 34=6 ，故 Q 点轨迹形成的封闭图形面积为 3【小结】 根据瓜豆原理， 类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积， 根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图15【练习】如图所示， AB=4， AC=2，以 BC 为底边向上构造等腰直角三角形 BCD ，连接 AD 并延长至点 P，使 AD =PD ，则 PB 的取值范围为 _A B【分析】固定 AB 不变， AC=2，则 C 点轨迹是以 A 为圆心， 2 为半径的圆，以 BC为斜边作等腰直角三角形 BCD，则 D 点轨迹是以点 M 为圆心、 2 为半径的圆A E B考虑到 AP=2 AD，故 P 点轨迹是以 N 为圆心， 2 2 为半径的圆， 即可求出 PB 的取值范围16