1、博弈论作业及答案浙江财经大学张老师作业答案博弈论作业及答案-浙江财经大学-张老师作业答案第1次作业 1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作,每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下:每个学生只能向其中一家企业申请工作;如果一家企业只有一个学生申请,该学生获得工作;如果一家企业有两个学生申请,则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足:W1/2W20,试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第1次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述 学生B 企业1 企业2 学生A 企业1 企业2 b求出以上博弈的所有纳什均衡(包括混合策略均衡) 存在两个纯战略纳什均衡:分别为(
2、企业1,企业2),收益为。(企业2,企业1),收益为。 存在一个混合策略均衡:令学生A选择企业1的概率为,选择企业2的概率为;学生B选择企业1的概率为,选择企业2的概率为。当学生A以的概率选择时,学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等,即:解得:,同理求出:解得:, 所以,混合策略纳什均衡为:学生A、B均以的概率选择企业1,企业2。 2、该模型的纳什均衡是什么?当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效?各厂商的利润函数为:求解:对其求导,令导数为0,解得反应函数为:纳什均衡,必是n条反应函数的交点 . .得到: ,且为唯一的纳什均衡。 当趋向于无穷大时博弈分析无效。,此时为完全竞
3、争市场,此时博弈分析无效。 3、问这两个厂商的边际成本各是多少?各自的利润是多少? 设:边际成本不变,为,。 计算得市场出清价格为: 两个厂商的利润函数为:求解:对其求导,令导数为0,解得反应函数为:纳什均衡,即(20,30)为两条反应函数的交点 得到:,。 此时:,。 4、若所有居民同时决定养鸭的数量,问该博弈的纳什均衡是什么? 设居民选择的养鸭数目为,则总数为。假设:居民的得益函数为:计算:得到反应函数:5、反应函数的交点是博弈的纳什均衡。将带入反应函数,得:。此时:。此时, 然后讨论下若,则,上述博弈成立。若,则5、问:这三个博弈的纳什均衡分别是什么?这三对夫妻的感情状态究竟如何?矩阵1
4、:妻子丈夫活着死了活着1,1-1,0死了0,-10,0矩阵2:妻子丈夫活着死了活着0,01,0死了0,10,0矩阵3:妻子丈夫活着死了活着-1,-11,0死了0,10,0用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为:矩阵1:(活着,活着) (死了,死了) 可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死,一个死了,则另一个也选择死去。如果一个死了,一个活着,那么活着的将生不如死。矩阵2:(活着,活着) (活着,死了) (死了,活着)可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益,一个死了,对于另一个来说反而更好。矩阵3:(活着,死了) (死了,活着)可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着
5、对双方来说是生不如死。一个死了,对于另一个来说反而更好。 6、(1)如果,试求此博弈的Nash均衡(即两个个体选择的最优努力程度)。 (2)如果,试求此博弈的Nash均衡。 (1)收益为: 得出反应函数为: 纳什均衡为两条反应函数的交点,代入得出: 两个人都不会努力的(2)收益为: 分别求偏导: 此时,两个人的努力程度都与对方的努力程度有关时,博弈一方越努力,另一方就选择努力程度为0,此时纳什均衡为(0,0)时,双方收益均达到最大值,此时纳什均衡为 时,博弈一方越努力,另一方选择努力程度为1,此时纳什均衡为(1,1) 第2次作业答案1,(1)用扩展型表示这一博弈。 (2)这一博弈的子博弈完美纳
6、什均衡是什么? 运用逆向法,由乙先来选择,在两个子博弈中,乙选择红色所示的路径。再由甲选择,在(高档,低档),(低档,低档)之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是(高档,低档),双方的收益为(1000,700) 2、(1)两个企业同时决策的纯策略纳什均衡; 同时决策时,两个企业都为了各自利润最大化 分别对各自利润求导,并令导数为0 解得: , 此时,两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为(2)企业1先决策的子博弈完美纳什均衡;企业1先决策,则企业2会在知道企业1的决策后,寻求自身利润最大化所以: 将带入 此时, ,跟同时决策时的纳什均衡相同。 企业1先决策的子博
7、弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为(3)企业2先决策的子博弈完美纳什均衡; 企业2先决策,则企业1会在知道企业2的决策后,寻求自身利润最大化 所以: 将带入 此时, 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为(4)是否存在参数的特定值或范围,使两个企业都希望自己先决策? 企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时,会希望先决策企业1希望先决策:, 企业2希望先决策:, 结论:, 3、(1)企业1没有引入新技术求两个企业的利润最大化,只要对利润函数求偏导,并另偏导为0 得到:, (2)企业1引入新技术求两个企业的利润最大化,只要对利润函数求偏导,并另偏导为0 得到:, 此时, 引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润,所以得到时,企业1会选择引进新技术。 4、(1)企业1的产量,企业2以产量进入市场 企业2后进入市场,则企业2会在知道企业1的决产量后,寻求自身利润最大化所以: 将带入,得 此时, , (2)企业1的产量,企业2以产量进入市场时利润
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