概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案第五章Word下载.docx

1、毛坯重量185*5200202205206 频数1111121120720821021421521621822721112121将其按区间183.5,192.5）,219.5,228.5）组，列出分组统计表，并画出频率直方图.分组统计表见表12345 组限组频数组频率/%183.5,192.5192.5,201.5201.5,210.5210.5,219.5219.5,228.518819*432861151040305频率直方图见下图习题4某地区抽样调查200个居民户的月人均收入，得如下统计资料：月人均收入（百元）5-66-77-88-99-1010-1111-12合计 户数183*4142

2、00求样本容量n,样本均值X，样本方差S2.对于抽到的每个居民户调查均收入，可见n=200.这里，没有给出原始数据，而是给出了整理过的资料（频率分布）,我们首先计算各组的“组中值”，然后计算X和S2的近似值： 组中值ak5.56.57.58.59.510.511.5- 户数fkX=1nkakfk=1200（5.518+11.514）=7.945,S21n-1k（ak-X）2fk=1n-1kak2fk-X=1199（5.5218+11.5214）-7.945266.0402-63.123025=2.917175.习题5设总体X服从二项分布B（10,3100）,X1,X2,Xn为来自总体的简单随机

3、样本，=1ni=1nXi与Sn2=1ni=1n（Xi-X）2分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E（X）,E（S2）.由XB（10,3100）,得E（X）=103100=310,D（X）=10310097100=2911000,所以E（X）=E（X）=310,E（S2）=n-1nD（X）=291（n-1）1000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料日售出台数k 天数fk2030102515100求样本容量n,经验分布函数Fn（x）.（1）样本容量n=100;（2）经验分布函数Fn（x）=0,x20.20,2x30.50,3x40.60,4x50.85,5xx=1-PX1x

4、,X2x,Xnx=1-PX1xPX2xPXn=1-1-PX1x1-PX2x1-PXnx=1-1-F（x）n,F1（x）=f1（x）=n1-F（x）n-1f（x）.习题8设总体X服从指数分布e（）,X1,X2是容量为2的样本，求X（1），X（2）的概率密度.f（x）=e-x,x00,其它,F（x）=1-e-x,x00,x0,X（2）的概率密度为f（2）（x）=2F（x）f（x）=2e-x（1-e-x）,x00,其它,又X（1）的概率密度为f（1）（x）=21-F（x）f（x）=2e-2x,x00,其它.习题9设电子元件的寿命时间X（单位：h）服从参数=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件

5、，记录它们的失效时间，求：（1）没有元件在800h之前失效的概率；（2）没有元件最后超过3000h的概率.（1）总体X的概率密度f（x）=（0.0015）e-0.0015x,x分布函数F（x）=1-e-0.0015x,x没有元件在800h前失效=最小顺序统计量X（1）800,有PX（1）800=PX8006=1-F（800）6=exp（-0.00158006）=exp（-7.2）0.000747.（2）没有元件最后超过3000h=最大顺序统计量X（6）3000PX（6）3000=PX30006=F（3000）6=1-exp-0.001530006=1-exp-4.560.93517.习题10设

6、总体X任意，期望为,方差为2,若至少要以95%的概率保证X-0.1,问样本容量n应取多大？因当n很大时，X-N（,2n）,于是PX0.1=P-0.1+0.1（0.1/n）-（-0.1/n）=2（0.1n）-10.95,则（0.1n）0.975,查表得（1.96）=0.975,因（x）非减，故0.1n1.96,n384.16,故样本容量至少取385才能满足要求.5.2 常用统计分布对于给定的正数a（0aF1-a（n1,n2）=P1F1F1-a（n1,n2）由于1FF（n2,n1）,P1F1F1-a（n1,n2）=P1FFa（n2,n1）=a,即F1-a（n1,n2）=1Fa（n2,n1）. 故（

7、D）也是对的.习题2（1）2.设总体XN（0,1）,X1,X2,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?（1）X1-X2X32+X42;因为XiN（0,1）,i=1,2,n,所以：X1-X2N（0,2）,X1-X22N（0,1）,X32+X422（2）,故X1-X2X32+X42=（X1-X2）/2X32+X422t（2）.习题2（2）（2）n-1X1X22+X32+Xn2;因为XiN（0,1）,i=2nXi22（n-1）,n-1X1X22+X32+Xn2=X1i=2nXi2/（n-1）t（n-1）.习题2（3）（3）（n3-1）i=13Xi2/i=4nXi2.因为i=13Xi22（3

8、）,i=4nXi22（n-3）,（n3-1）i=13Xi2/i=4nXi2=i=13Xi2/3i=4nXi2/（n-3）F（3,n-3）.设X1,X2,X3,X4是取自正态总体XN（0,22）的简单随机样本，且Y=a（X1-2X2）2+b（3X3-4X4）2,则a=?,b=?时，统计量Y服从2分布，其自由度是多少？解法一Y=a（X1-2X2）2+b（3X3-4X4）2,令Y1=a（X1-2X2）,Y2=b（3X3-4X4）,Y=Y12+Y22,为使Y2（2）,必有Y1N（0,1）,Y2N（0,1）,因而E（Y1）=0,D（Y1）=1,E（Y2）=0,D（Y2）=1,注意到D（X1）=D（X2）

9、=D（X3）=D（X4）=4,由D（Y1）=Da（X1-2X2）=aD（X1-X2）=a（D（X1）+22D（X2）=a（4+44）=20a=1,D（Y2）=Db（3X3-4X4）=bD（3X3-4X4）=b（9D（X3）+16D（X4）=b（49+164）=100b=1,分别得a=120,b=1100.这时Y2（2）,自由度为n=2.解法二 因XiN（0,22）且相互独立，知X1-2X2=X1+（-2）X2N（0,20）,3X3-4X4=3X3+（-4）X4N（0,100）,故X1-2X220N（0,1）,3X3-4X4100N（0,1）,为使Y=（X1-2X21/a）2+（3X3-4X41

10、/b）22（2）,必有X1-2X21/aN（0,1）,3X3-4X41/bN（0,1）,与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是1a=20,1b=100,即a=120,b=1100.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N（0,32）.X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92服从自由度为9的t分布.首先将Xi,Yi分别除以3,使之化为标准正态.令Xi=Xi3,Yi=Yi3,i=1,2,9,XiN（0,1）,YiN（0,1）;再令X=X1+X2+X9,则XN（0,9）,X3N（0,1）,Y2=Y12+Y22+

11、Y92,Y22（9）.因此T=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=X1+X2+X9Y12+Y22+Y92=XY2=X/3Y2/9t（9）,注意到X,Y2相互独立.设总体XN（0,4）,而X1,X2,X15为取自该总体的样本，问随机变量Y=X12+X22+X1022（X112+X122+X152）服从什么分布？参数为多少？因为Xi2N（0,1）,故Xi242（1）,i=1,2,15,而X1,X2,X15独立，故X12+X22+X10242（10）,X112+X122+X15242（5）,X12+X22+X1024/10X112+X122+X1524/5=X12+X22+X1022（X112+

12、X122+X152）=Y证明：若随机变量X服从F（n1,n2）的分布，则（1）Y=1X服从F（n2,n1）分布；（2）并由此证明F1-（n1,n2）=1F（n2,n1）.（1）因随机变量X服从F（n1,n2）,故可设X=U/n1V/n2,其中U服从2（n1）,V服从2（n2）,且U与V相互独立，设1X=V/n2U/n1,由F分布之定义知Y=1x=V/n2U/n1,服从F（n2,n1）.（2）由上侧分位数和定义知PXF1-（n1,n2）=1-,P1X1F1-（n1,n2）=1-,即PY1F1-（n1,n2）=1-,1-PY1F1-（n1,n2）=1-,故PY1F1-（n1,n2）=,而PYF（n

13、2,n1）=.又Y为连续型随机变量，故PY1F1-（n1,n2）=,从而F（n2,n1）=1F1-（n1,n2）,即F1-（n1,n2）=1F（n2,n1）.查表求标准正态分布的上侧分位数：u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.查表求2分布的上侧分位数：0.952（5）,0.052（5）,0.992（10）与0.012（10）.1.145,11.071,2.558,23.209.查表求F分布的上侧分位数：F0.95（4,6）,F0.975（3,7）与F0.99（5,5）.0.1623,0.0684,0.

14、0912.查表求t分布的下侧分位数：t0.05（3）,t0.01（5）,t0.10（7）与t0.005（10）.2.353,3.365,1.415,3.169.5.3 抽样分布已知离散型均匀总体X,其分布律为X246pi1/31/31/3取大小为n=54的样本，求：（1）样本平均数X落于4.1到4.4之间的概率；（2）样本均值X超过4.5的概率.=E（X）=13（2+4+6）=4,2=E（X2）-E（X）2=13（22+42+66）-42=83,X=4,X2=2n=8/354=481,=29.令Z=X-42/9,则n充分大时，Z近似N（0,1）.（1）P4.14.4=P4.1-42/9Z4.5

15、=PZ4.5-42/9=1-PZ2.251-（2.25）=1-0.9878=0.0122.设总体X服从正态分布N（10,32）,X1,X2,X6是它的一组样本，设=16i=16Xi.（1）写出X所服从的分布；（2）求X11的概率.（1）XN（10,326）,即XN（10,32）.11=1-PX11=1-（11-1032）1-（0,8165）1-（0.82）=0.2061.设X1,X2,Xn是总体X的样本，X=1ni=1nXi,分别按总体服从下列指定分布求E（X）,D（X）.（1）X服从0-1分布b（1,p）;（2）*X服从二项分布b（m,p）;（3）X服从泊松分布P（）;（4）X服从均匀分布U

16、a,b;（5）X服从指数分布e（）.（1）由题意，X的分布律为：PX=k=Pk（1-P）1-k（k=0,1）.E（X）=p,D（X）=p（1-p）.）=E（1ni=1nXi）=1ni=1nE（Xi）=1nnp=p,D（X）=D（1ni=1nXi）=1n2i=1nD（X1）=1n2np（1-p）=1np（1-p）.（2）由题意，X的分布律为：PX=k=CmkPk（1-p）m-k（k=0,1,2,m）.同（1）可得）=mp,D（X）=1nmp（1-p）.（3）由题意，X的分布律为：PX=k=kk!e-（0,k=0,1,2,）.E（X）=,D（X）=.）=,D（X）=1n.（4）由E（X）=a+b2

17、,D（X）=（b-a）212,）=a+b2,D（X）=（b-a）212n.（5）由E（X）=1,D（X）=12,）=1,D（X）=1n2. 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率；（2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。（1）由题意知XN（5,1n）,n=9，则标准化变量Z=X-51/9=X-51/3N（0,1）.而P4.45.2=P4.4-51/3-51/35.2-51/3=P-1.80.6（0.6）-（-1.8）=0.7257-0.0359=0.68986=PX6-51

18、/3=PZ1.N（0,1616），YN（1,925），XN（-1,1+925），即XN（-1,3425）标准化变量X，令Z=X34/5N（0,1），所以PX1=1-PX1=1-P-1X1=1-P0X+134/5234/51-（1.715）+（0）=1-0.9569+0.5=0.5431假设总体X服从正态分布N（20,32）,样本X1,X25来自总体X,计算Pi=116Xi-i=1725Xi182.令Y1=i=116Xi,Y2=i=1725Xi,由于X1,X25相互独立同正态分布N（20,32）,因此有Y1与Y2相互独立，且Y1N（320,122）,Y2N（180,92）,Y1-Y2N（140,

19、152）,Pi=116Xi-i=1725Xi182=PY1-Y2182,=PY1-Y2-140152.8（2.8）=0.997.从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01,试求总体的标准差.设总体XN（,2）,样本均值为X,则有-/n=X-/4N（0,1）.因为-2=PX-/48=2PZ8=21-（8）=0.01,所以（8）=0.995.查标准正态分布表，得8=2.575,从而=82.575=3.11.设在总体N（,2）中抽取一容量为16的样本，这里,2均为未知.（1）求PS2/22.041,其中S2为样本方差；（2）求D（S2）.（1）因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知（n-1）S222（n-1）.这里n=16,PS2/22.041=P（15S22152.041）=1-P15S2230.615（查2分布表可得）=1-0.01=0.99.（2）因为（n-1）S222（n-1）,又知D（n-1）S22）=2（n-1）,D（S2）=4（n-1）2D（n-1）S22）=4（n-1）22（n-1）=2n-14=2154（因为n=16）.设总体XN（,16）,X1,X2,X10为取自该总体的样本，已知PS2a=0.1,求常数a.因为（n-1）S222（n-1）,n=10,=4,PS2a=P9S21