算法设计与分析多段图最短路径问题Word文件下载.docx

1、我们以E所有边的集合，而边的权重则由权重函数w:E?0,?定义。因此，w（u,v）就是从顶点u到顶点v的非负花费值（cost）。边的花费可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的花费值，就是该路径上所有边的花费值总和。已知有V中有顶点s及t，Dijkstra算法可以找到s到t的最低花费路径.?最短路径）。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点s到任何其他顶点的最短路径。具体算法见附录。2.动态规划法这里先讨论用动态规划法的解法。考虑多段图的最短路径问题的填表形式。用一个数组costn作为存储子问题解的表格，costi表示从顶点i到终点n-1的最短路径，数组pathn存储状态，pathi表示

2、从顶点i到终点n-1的路径上顶点i的下一个顶点。则： costi=mincij+costj （ijn且顶点j是顶点i的邻接点） （式）pathi=j （使cij+costj最小的j） （式）对多段图的边（u, v），用cuv表示边上的权值，将从源点s到终点t的最短路径记为d（s, t），则从源点0到终点9的最短路径d（0, 9）由下式确定：d（0, 9）=minc01+d（1, 9）, c02+d（2, 9）, c03+d（3, 9），这是最后一个阶段的决策，它依赖于d（1, 9）、d（2, 9）和d（3, 9）的计算结果，而由此模式推知，d（1, 9）=minc14+d（4, 9）, c15

3、+d（5, 9），d（2, 9）=minc24+d（4, 9）, c25+d（5, 9）, c26+d（6, 9），d（3, 9）=minc35+d（5, 9）, c36+d（6, 9），每一个d（i，n-1）都是通过mincik+d（k,n-1）得到的ki&kn-1;再往后推的过程和以上的过程类似，将这些产生式得到以后，会发现他们的求解除了两点之间的代价外，在例子中，他们都依赖于d（7, 9）=c79和d（8, 9）=c89，而他们都是可以从图上直接得到的。这样再从末尾一层一层往上推就可以得到最终的答案了。算法主要由三部分组成：第一部分是初始化部分，其时间性能为O（n）；第二部分是依次计算各

4、个顶点到终点的最短路径，由两层嵌套的循环组成，外层循环执行n-1次，内层循环对所有出边进行计算，并且在所有循环中，每条出边只计算一次。假定图的边数为m，则这部分的时间性能是O（m）；第三部分是输出最短路径经过的顶点，其时间性能是O（n）。所以，算法的时间复杂性为O（n+m）。为了实现时间的分析，在程序后添加了输出运行时间的函数，以便于对比分析。具体算法、具体代码及实验结果见附录1。3.分支限界法再讨论当用分支限界法用来解决多段图路径问题的过程：首先对该多段图应用贪心法求得近似解，并算出其代价路径。将其作为多段图最短路径问题的上界。而把每一段最小的代价相加，可以得到一个非常简单的下界。于是，就可

5、以得到了目标函数的一个大致的范围。由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，一旦某条路径的一些段被确定后，就可以并入这些信息并计算部分解的目标函数值的下界。一般情况下，对于一个正在生成的路径，假设已经确定了i段（1ik），其路径为（r1, r2, , ri, ri+1），此时，该部分解的目标函数值的计算方法即限界函数如下：应用分支限界法同样求解附录中图所示多段图的最短路径问题，具体的搜索过程是这样进行的，首先考虑根节点，根据限界函数算出目标函数的值，然后下一个结点的选择在本例中有三种情况， 这里每种情况下的目标函数值下界都要算出来并且加以比较，下界的计算方法为除了加上选

6、定点与初始点之间的距离外，以后的第一个点选择一选定点为初始点到下段最小代价的路径，以后的段与段之间的代价都按他们之间最小的代价来计算。这样再加上根节点与初始阶段之间的最小代价，就得到这种情况下的解了。在得到的代价中，找出最小的代价，并以之为初始结点循环往下做，直到到达目标结点。结论： 程序的运行截图如附录所示。分析各个方法的整个过程得到以下思考：1.贪心法、动态规划法和分支限界法都可以用来解决多段最短路径问题，然而在这种情况相比之下，贪心法的运算效率比较高，因为它不像另外两种方法一样，需要涉及到许多的点。由于这里并没有找到函数有效地给程序计时（time函数很不精确，而对于小程序来说，就没有什么

7、参考性）。因此这里我们就以本题的数据为例，用一个笨方法，看各个方法访问了多少数据，可以看到，动态规划法由于需要填表，并有一个相关的迭代问题，它几乎涉及了所有的点；而分支限界法，它通过贪心法设置的上下限，并以他们为依据进行剪枝，减少了许多的运算量。而贪心法，访问了最少的点。2.就结果准确性来看，就本题例子来看，贪心法结果为0 2 4 7 9，路径的代价为20；动态分配法采取的路径为：0 3 5 8 9，路径的代价为16；而分支限界法，结果为0 3 5 8 9，路径的代价为16。可以看出，在这个方面，动态分配法和分支限界法都达到了预期的结果，相比直线，贪心法的误差就比较大了。由以上的讨论，我们可以

8、看出分支限界法的综合性能比较好，他和动态规划法在解决多段最短路径问题时都可以得到正确解，而贪心法虽然可以省时间与空间，但结果不准确是它的缺点。各方法都是有利有弊的。因此在选择方法时，还应当根据实际情况。当只需要大概的一个解时，当然是要用省时省力的贪心法；如果对结果又比较高的要求的话，那么就要采取动态规划法或分支限界法。那么dijkstra算法呢，他的明显优点就是它的多用性，他可以求任意一点到其他某一点的距离，但是他访问的数据量很大，几乎要访问所有的边（相对于贪心法而言），因此这里来说，在单纯的解决多段最短路径问题时，他们的功能都差不多，而在解决其他较复杂的图时，Dijkstra算法有明显的优越

9、性，但当然，作为贪心法的一种，他的结果的准确性不是那么的高。Dijkstra算法在本质上为贪心算法,每一步的选择为当前步的最优,复杂度为O（n*n）。动态规划法是可以看作是对分支限界法的改进。分支限界算法,每一步的扩散为当前耗散度的最优,复杂度为（没算）其实，他们各有各的优缺点，可以尝试将他们混合起来用，扬长避短，像动态规划法和分支限界法，我们是不是可以试着在动态规划法的过程中像分支限界法里一样，设置范围，并且过程中对肯定不会是最后结果的数据“剪枝”。这样就可以提高运行速率了。结论（必须精确、有条理、清晰与简要）：建议（直接从结论中得出）：附录Dijstra算法（边的拓展）While（!（每一

10、个dv=最短路径）If（存在一条从u到v的边） If（du+w（u,v）=0; i-） 对顶点i的每一个邻接点j，根据式计算costi; 根据式计算pathi;3输出最短路径长度cost0;4. 输出最短路径经过的顶点： i=0 循环直到pathi=n-1 输出pathi; i=pathi;用分支限界法求解多段图的最短路径问题的算法：1根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up； 2将待处理结点表PT初始化为空； 3for （i=1; i=1） 对顶点u的所有邻接点v 根据式计算目标函数值lb; 若lb=up，则将i,lb存储在表PT中； 如果i= =k-1且叶子结点的lb

11、值在表PT中最小， 则输出该叶子结点对应的最优解； 否则，如果i= =k-1且表PT中的叶子结点的lb值不是最小，则 up=表PT中的叶子结点最小的lb值; 将表PT中目标函数值超出up的结点删除； u=表PT中lb最小的结点的v值； i=表PT中lb最小的结点的i值；i+;动态规划法解决多段图最短路径问题：/*多段图最短路径问题总结:costi表示从顶点i到终点n-1的最短路径，pathi表示从顶点i到终点n-1的路径上顶点i的下一个顶点；下面的公式重点：costi=minc（ij）+costjpathi=使c（ij）+costj最小的j; c（ij）表示i和j顶点之间的距离*/具体代码如下

12、：#includectime#define INFINITY 32767#define MAX 20_int64 start,end;int min6,Part;typedef struct char vexsMAX; /顶点信息 int vexnum,arcnum; int arcsMAXMAX; /保存两个顶点之间的边长Graph; /图的结构体struct node int part,node1,node2,lb,previous; struct node *next;void CreateGraph（Graph &G）/初始化多段图 int i,j; start=clock（）; pr

13、intf（请输入顶点数和边数：）; /scanf（%d %d,&; =10; /顶点数 =18; /边的数 for（i=0;ii+） i=i; for（j=0;jj+） ij=INFINITY;请按以下格式输入边的代价（顶点1 顶点2 两点之间边的代价，顶点标号从0开始）：n for（k=0;k+） scanf（%d %d %d,i,j,ij）;int getDown（Graph G）/分支限界法求下界 int j,k,i,n,n0,down=0,initial620;/initial数组用来存储第i段有哪些结点 min0=INFINITY;6;20; initialij=0; j=0; if

14、0iINFINITY） initial0j+=i; if0imin0） min0=0i; Part=1; down+=mini; i=0; while（initiali+0!= n=0;j=0;mini=INFINITY; while（initiali-1j+!=0） k=0;n0=n; while（k+） ifinitiali-1j-1k-1 initialin+=k-1; ifinitiali-1j-1k-1mini） mini=initiali-1j-1k-1; if（mini down+=mini; Part+; return down;int Greedy（Graph G,int f

15、lag,int up）/贪心法 int min=INFINITY,m=flag;%d,flag）; for（int i=0; ifmimin） min=mi; flag=i; if（flag up=Greedy（G,flag,up）; else printf（%dn return up+min;void path（Graph G,int up）/分支限界法 int down,i,j,k,u,lb,flag=1,previous=0; struct node *p,*end,*PT,*q,*ST,*End,*mins; down=getDown（G）;n若用分支限界法，该题的结果取值范围为%d,

16、%d。,down,up）; PT=NULL;end=NULL;ST=NULL,End=NULL;/PT用来存储合格的点，ST表用来存储由于拓展被删除的点 i=1;u=0; /求解第i段,u表示顶点，u是那个已确定的顶点 while（flag） / 对顶点u的所有邻接点v / 根据式计算目标函数值lb; / 若lbuj） for（k=0;k+）/确定了结点以后找到由他出发最小的代价 ifjkmini） mini=jk; lb=uj+mini; for（int l=i+1;l0）/计算lb lb+=PreviousU; while（Previous! p=PT; while（p!=NULL） if

17、（p-node1=Previous&p-node2=U） lb+=PreviousU; U=Previous; Previous=p-previous; break; if（lbpart=i+1;node1=u;node2=j;lb=lb;next=NULL;previous=previous; printf（%d-%d,代价%d,上一个结点为%dn,p-node1,p-node2,p-lb,p-previous）; if（PT=NULL） PT=p; else end-next=p; end=p; end- q=PT;lb=INFINITY; while（q!=NULL） if（q-lblb

18、; q=q-next; printf（%d %d lb=%d,mins-node1,mins-node2,lb）; if（p=q & end-node2node2; arrayPart-2=p-node1; i=Part-3; while（i arrayi=p-i-; q=PT; while（q-node2!=arrayp-previous） q+; if（i0） arrayi-1=q- p=q; printf（最短路径为： for（i=0; printf（,arrayi）; if（inode1=mins-node1&node2=mins-node2）/删除PT链表中已被拓展的结点并把他添加到ST链表中 if（ST=NULL） ST=p- else End-next=p- End=p- End- PT=PT- /printf（删除的结点是：%d %dnnext-node2）; /*else while（p-next!node2） if（ST=NULL） ST=p- else End- End=p- p-