第四篇数据结构树Word文档下载推荐.docx

1、3、有关度的定义3. 结点的度：一个结点的子树数目称为该结点的度。在上图（b）中，结点i度为3，结点t的度为2，结点b的度为1。显然，所有树叶的度为0。4. 树的度：所有结点中最大的度称为该树的度。图（b）中的树的度为3。4、树的深度（高度）树是分层次的。结点所在的层次是从根算起的。根结点在第一层，根的后件在第二层，其余各层依次类推。即若某个结点在第k层，则该结点的后件均处在第k+1层。图（b）中的树共有五层。在树中，父结点在同一层的所有结点构成兄弟关系。树中最大的层次称为树的深度，亦称高度。图（b）中树的深度为5。5、森林所谓森林，是指若干棵互不相交的树的集合。如图（b）去掉根结点r，其原来

2、的三棵子树Ta，Tb，Tc的集合Ta，Tb，Tc就为森林，这三棵子树的具体形态如图（c）。6、有序树和无序树按照树中同层结点是否保持有序性，可将树分为有序树和无序树。如果树中同层结点从左而右排列，其次序不容互换，这样的树称为有序树；如果同层结点的次序任意，这样的树称为无序树。二、树的表示方法和存储结构1、树的表示方法树的表示方法一般有两种：5. 自然界的树形表示法：用结点和边表示树，例如上图采用的就是自然界的树形表示法。树形表示法一般用于分析问题。6. 括号表示法：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树按由左而右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样方法处理：同层子树与它的根结点用圆括号括起

3、来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。例如图（b）可写成如下形式（r（a（w，x（d（h），e），b（f），c（s，t（i（m，o，n），j），u）2、树的存储结构树的存储结构一般有两种静态的记录数组。所有结点存储在一个数组中，数组元素为记录类型，包括数据域和长度为n（n 为树的度）的数组，分别存储该结点的每一个儿子的下标Const n=树的度；max=结点数的上限；Type node=record 结点类型 data：datatype； 数据域ch：array1n of integer； 指向各儿子的下标 end；treetype=array1.maxof node；Var tre

4、e：treetype； 树数组例如图（b）的树，其记录数组如下。由于未规定同层结点的次序，因此每个结点儿子的下标序列（Treei.ch）任意。其中Treei.chj=0说明结点i的第j个儿子不存在。动态的多重链表。由于树中结点可以有多个元素，所以可以用多重链表来描述比较方便。所谓多重链表，就是每个结点由数据域和n（n 为树的度）个指针域共n+1个域组成，其表示方法如下：Const n=树的度； treetype=node； 结点类型node=recordnext：array1n of treetype； 指向各儿子的指针域 Var root： 根结点指针例如上图（b）中的树，其多重链表如下显然

5、，取树的度作为每个结点的链域数（即指向儿子结点的指针数）虽使各种算法简化，但会造成存储空间的大量浪费。因为可能有很多结点中存在空链域。空链域的个数x为多少呢？设树的结点数为n度为k。由于除根外的n-1个结点，每一个结点有且仅有一个前件，因此 x+n-1=nk。X= n*（k-1）+1。能不能在减少浪费的空链域的前提下，寻找一种既使得每个结点的结构相同、又方便运算的树形式呢。下面将要看到，用二叉树来表示树，就能达到这个目的。三、二叉树的概念二叉树是一种很重要的非线性数据结构，它的特点是每个结点最多有两个后件，且其子树有左右之分（次序不能任意颠倒）。1、二叉树的递归定义和基本形态 二叉树是以结点为

6、元素的有限集，它或者为空，或者满足以下条件：有一个特定的结点称为根；余下的结点分为互不相交的子集L和R，其中R是根的左子树；L是根的右子树；L和R又是二叉树；由上述定义可以看出，二叉树和树是两个不同的概念树的每一个结点可以有任意多个后件，而二叉树中每个结点的后件不能超过2；树的子树可以不分次序（除有序树外）；而二叉树的子树有左右之分。我们称二叉树中结点的左后件为左儿子，右后件为右儿子。前面引入的有关树的一些基本术语对二叉树仍然适用。下图列出二叉树的五种基本形态：2、二叉树的两个特殊形态满二叉树： 如果一棵二叉树的任何结点，或者是树叶，或者恰有两棵非空子树，则此二叉树称作满二叉树。（例如下图（a

7、）可以验证具有n个叶结点的满二叉树共有2n-1个结点。完全二叉树：如果一棵二叉树最多只有最下面两层结点度数可以小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则称此二叉树为完全二叉树（例如下图（b）3、二叉树的三个主要性质性质1：在二叉树的第i（1）层上，最多有2i-1个结点证明：我们采用数学归纳法证明：当i=1时只有一个根结点，即2i-1=20=1，结论成立。假设第k（i=k）层上最多有2k-1个结点，考虑i=k+1。由归纳假设，在二叉树第k层上最多有2k-1个结点，而每一个结点最多有两个子结点，因此在第k+1层上最多有22k-1=2（k+1）-1=2i，结论成立。综上所述，性质

8、1成立。性质2：在深度为k（k1）的二叉树中最多有2k-1个结点。由性质1，在二叉树第i层上最多有2i-1个结点，显然，第1层第k层的最多结点数为个结点。证毕。性质3：在任何二叉树中，叶子结点数总比度为2的结点多1。设n0为二叉树的叶结点数；n1为二叉树中度为1的结点数；n2为二叉树中度为2的结点数，显然n=n0+n1+n2 （1）由于二叉树中除了根结点外，其余每个结点都有且仅有一个前件。设 b为二叉树的前件个数，n=b+1 （2）所有这些前件同时又为度为1和度为2的结点的后件。因此又有b=n1+2n2（3）例如下图除v0没有前件外，v1、v2、v3、v4、v5都有一个前件，b=5。而v1和v

9、2为v0的后件，v3为v1的后件，v4和v5为v2的后件，因此b= b=n1+2n2=1+2*2=5。我们将（3）代入（2）得出n=n1+2n2+1 （4）比较（1）和（4），得出n0=n2+1,即叶子数比度为2的结点数多1四、树或森林转换成二叉树1、普通有序树转换成二叉树 我们在前面中曾讲过，在用多重链表示普通树时，会浪费存储空间。另外，由于树中各结点的度各不相同，因此对树中各结点的搜索比较困难。在实际应用中，往往将普通树转化成二叉树，这种处理既减少了存储空间的浪费又便于搜索。假设所讨论的普通树为有序树T，则将其转化成二叉树T的规则如下：T中的结点与T中的结点一一对应，即T中每个结点的序号和

10、值在T中保持不变；T中某结点v的第一个儿子结点为v1，则在T中v1为对应结点v的左儿子结点；T中结点v的儿子序列，在T中被依次链接成一条开始于v1的右链；由上述转化规则可以看出，一棵有序树转化成二叉树的根结点是没有右子树的，并且除保留每个结点的最左分支外，其余分支应去掉，然后从最左的儿子开始沿右儿子方向依次链接该结点的全部儿子。例如将下图（a）所示的普通有序树转换成二叉树（下图（b）。2、森林转换成二叉树如果m棵互不相交的普遍有序树组成了森林F=T1，Tm。我们可以按下述规则将森林F转换成一棵二叉树b=R，LB，RB：若F为空（m=0），则b为空树；若F非空（m0），则b的根R即为森林中第一棵

11、树的根R（T1）；b的左子树LB是从T1的根结点的子树森林F1=T11，T12，T1k转换而成的二叉树；其右子树RB是从森林F2=T2，T3，Tm转换成的二叉树。下图给出了森林转换成二叉树的示例由此可见，森林转换成二叉树的方法为将各棵树的根相连；将森林中的每棵树转换成相应的二叉树；以第一棵树为轴心，顺时针粗略地旋转900；五、二叉树的存储结构二叉树的存储结构有两种形式顺序存储结构链式存储结构1、顺序存储结构将每个结点依次存放在一维数组中，用数组下标指示结点编号，编号的方法是从根结点开始编号1，然后由左而右进行连续编号。每个结点的信息包括一个数据域（data）；三个指针域，其中有父结点编号（pr

12、t）、左儿子结点编号（lch）和右儿子结点编号（rch）。满二叉树和完全二叉树一般采用顺序存储结构 Const m=树中结点数上限； Type node=record 结点类型data： 数据值 prt，lch，rch：0m； 父结点、左儿子、右儿子编号end； treetype=array1m of node； 二叉树的顺序表类型 Tree： 二叉树例如，采用数组tree存储二叉树（如下图）2、链式存储结构 对于一般的二叉树，通常采用链式分配，即用二重链表表示一般的二叉树。这种链式分配即可以采用静态数据结构（数组），又可以采用动态数据结构（指针）。如果二叉树的存储需求量超过64Kb，则采用后

13、者。由于二叉树中每个结点通常包括数据元素和两个分支。因此二叉树对应的二重链表中每个结点应有三个域：值域：data左指针域： lch右指针域： rch这种链表也称为二叉链表。二叉链表头指针bt指向二叉树的根结点Type bitrpetr=bnode； 结点指针类型benode=record 结点类型 值域lch，rch：bitreptr； 左指针域和右指针域 Var bt： bitreptr； 头指针例如用下图（b）所示的二叉链表存储二叉树（下图（a）六、树或森林的遍历1、二叉树的遍历 所谓二叉树的遍历是指按照一定的规律不重复地访问二叉树中的每一个结点。在访问到每个结点时，可以取出结点中的信息，

14、亦可以对结点作其它的处理，对于线性结构来说，遍历并非难事，但对二叉树来说，由于它是一种非线性结构，必须要找到一种完全而有规则的遍历方法，通过遍历得到二叉树中各个结点信息的线性序列。 如果用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍历右子树，则对二叉树的遍历可以有下列六种（3!=6）组合： LDR、 LRD、 DLR、 DRL、RDL、 RLD若再限定先左后右的次序，则只剩下三种组合 LDR、 LRD、 DLR这三种遍历规则分别称为中序遍历。后序遍历和前序遍历。下面分别介绍这三种遍历的方法。在讲解过程中，二叉树的存储采用动态的二重链表形式。为了方便叙述，我们以下图为例解释三种遍历规则，并且分别

15、以二叉链表和数组两种存储结构给出三种遍历的程序。前序遍历前序遍历的规则如下：若二叉树为空，则退出。否则访问处理根结点；前序遍历左子树；前序遍历右子树；例如对于如上图所示的二叉树，前序遍历的过程为：先访问根结点a，再遍历其左子树，然后遍历其右子树。在遍历其左子树时，也按照前序规则，即先访问根结点b，然后遍历其左子树，最后遍历右子树，依次类推，直到根结点a的左子树的所有结点全部被访问完毕；再以同样的规则访问a的右子树中的所有结点；最后可以得到如下的前序遍历序列（简称前序序列）abd ehicfg算法如下：中序遍历中序遍历的规则如下： 若二叉树为空，则退出；中序遍历左子树；访问处理根结点；中序遍历右

16、子树；若中序遍历上图中的二叉树，可以得到如下的中序序列：dbheiafcg后序遍历后序遍历的规则如下：后序遍历左子树；后序遍历右子树；访问处理根结点； 若后序遍历上图中的二叉树，可以得到如下的后序序列dhiebfgca2、普遍有序树的遍历仿照二叉树的前序遍历和中序遍历，可以定义普遍有序树的两种遍历顺序。由于普遍有序树中的子女数可能多于两个，因此不好仿照二叉树遍历中序与其女子的对称次序。下面，给出普遍有序树转化为二叉树的一个例子，看一看，普遍有序树的遍历顺序可借用二叉树的哪一种遍历顺序实现。先根次序遍历树 先根次序遍历的规则如下：若树为空，则退出；否则先根访问树的根结点，然后先根遍历根的每棵子树

17、。例如，对上图（a）中的普遍有序树进行先根遍历，可得到树的先根序列为 r a w x d h e b f c s t i m o n j u若对上图（b）中的二叉树进行前序遍历，得到的前序序列与之相同。由此可见，当普遍有序树转化为二叉树时，可借用二叉树的前序遍历实现普遍有序树的先根遍历。后根次序遍历树 后根次序遍历的规则如下： 若树为空，则退出；否则先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点。例如对上图（a）中的普遍有序树进行后根遍历，可得到树的后根序列为w h d e x a f b s m o n i j t u c r若对上图（b）中的二叉树进行中序遍历，得到的中序序列与之相同。由此可见，当

18、普遍有序树转化为二叉树时，可借用二叉树的中序遍历实现普遍有序树的后根遍历。【例题10.1.1】按照先根次序和后根次序遍历普遍有序树输入一棵普通有序树，输出该树的先根次序和后根次序。输入：顶点个数n（1n200）以下含n行，其中第i行（1in）的元素依次为结点i的数据值ai。以后各元素为结点i的儿子序列，以0结束。若ai后仅含一个0，则说明结点i为叶子。例如对于下图（）的多叉树对应的输入信息为18r 2 3 4 0a 5 6 0b 7 0c 8 9 10 0w 0x 11 12 0f 0s 13 14 0t 0 0 0u 0 d 15 0e 0i 16 17 18 0j 0h 0m 0o 0输出

19、：两行，分别为普通有序树的先根次序和后根次序分析：“四、树或森林转换成二叉树”一节中介绍了普通有序树转换成二叉树的规则。我们在输入普通有序树的同时，按照规则进行转换： fillchar（tree，sizeof（tree），0）； 二叉树初始化readln（n）； 读入普通有序树的结点个数for i1to n do 依次读入普通有序树中每个结点的信息 beginread（treeidata）；read（j）； 读结点i的第一个儿子序号jif j0 then 若结点j非叶子begin treeilchj；treejprti； 结点j 作为结点i的左儿子 pj； 从结点j 出发转换其它兄弟结点 re

20、peat read（j）； 读结点i的下一个儿子序号j if j1，说明左子树存在，位于sk左侧的子串s1sk-1为左子树中序遍历的结果，后序遍历中的前缀s1”sk-1”为左子树后序遍历的结果；若kn，说明右子树存在，位于sk右侧的子串为右子树中序遍历的结果；后序遍历中的sk”sn-1”为右子树后序遍历的结果。按照按照前序遍历的规则分别递归二叉树的左子树和右子树。例如中序遍历s= dbeafc 后序遍历s”= debfca这棵二叉树的根为a。左子树中序遍历的结果为dbe， 左子树后序遍历的结果为 deb，由此得出二叉树的左根为b，b的左右儿子分别为d和e；右子树中序遍历的结果为fc， 右子树后序遍历的结果亦为fc。 由此得出二叉树的右根为c，c仅有左儿子f，该二叉树由下图所示：对应的前序遍历为s= abdecf。按照上述遍历规则编写递归程序solve1（