1、A.v=log2tB.v=logtC.v=D.v=2t2特值检验,如:当t=4时,v=7.5.C3.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为A.3B.4C.6D.12设隔墙的长为x(0x6),矩形面积为y,y=x=2x(6x),当x=3时,y最大.A4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩量为y,则x、y之间的函数关系式为_.y=0.95765.建筑一个容积为8000m3、深6m的长方体蓄水池(无盖),池壁造价为a元米2,池底造价为2a元米2,把总造价y元表示为底的一边长xm的函数,其解析式为_,定义域为_.底边长为
2、_m时总造价最低是_元.设池底一边长x(m),则其邻边长为(m),池壁面积为26x2612(x)(m2),池底面积为x(m2),根据题意可知蓄水池的总造价y(元)与池底一边长x(m)之间的函数关系式为y12a(x)a.定义域为(0,).x2(当且仅当x=即x=时取“=”).当底边长为m时造价最低,最低造价为(160aa)元.y=12a(x+)+a(0,+)160a+a典例剖析【例1】(1)一种产品的年产量原来是a件,在今后m年内,计划使年产量平均每年比上一年增加p%,写出年产量随经过年数变化的函数关系式.(2)一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,写出成本
3、随经过年数变化的函数关系式.解:(1)设年产量经过x年增加到y件,则ya(1p%)x(x*且xm).(2)设成本经过x年降低到y元,则ya(1p%)x(x*且xm).特别提示增长率问题是一重要的模型.【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”.国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过800元,免征个人所得税,超过800元部分需征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入800元,税率见下表:级数全月纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10%3超过2000元至5000元部分15%9超过10000元部分45%(1)若应纳税额为f(x),试用分段函数表示13级纳税额f
4、(x)的计算公式;(2)某人2000年10月份总收入3000元,试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元;(3)某人一月份应缴纳此项税款26.78元,则他当月工资总收入介于A.800900元B.9001200元C.12001500元D.15002800元(1)解:依税率表,有第一段:x5%,0x500,第二段:(x500)10%+5005%,500x2000,第三段:(x2000)15%+15005%,2000x5000,即f(x)=(2)解:这个人10月份应纳税所得额x=3000800=2200,f(2200)=0.15(22002000)+175=205,即这个人10月份应缴纳个人所得税20
5、5元.(3)解法一:(估算法)由5005%=25元,10010%=10元,故某人当月工资应在13001400元之间,故选C.解法二:(逆推验证法)设某人当月工资为1200元或1500元,则其应纳税款分别为4005%=20(元),5005%+20010%=45(元).可排除A、B、D,故选C.评述:本题也可以根据纳税额计算公式直接计算.分段函数在新课标中占有重要地位.【例3】某地区上年度电价为0.8元/(千瓦时),年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元(千瓦时)至0.75元(千瓦时)之间,而用户期望电价为0.4元(千瓦时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成
6、反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元(千瓦时).(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?注:收益实际用电量(实际电价成本价)(1)设下调后的电价为x元(千瓦时),依题意知用电量增至a,电力部门的收益为y(a)(x0.3)(0.55x0.75).(2)依题意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答:当电价最低定为0.60元(千瓦时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%.深化拓展某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台,每批都购入x台(x
7、N*),且每批均需付运费400元,贮存购入的电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43600元.现全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用.试问:能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.提示:设全年的运输和保管总费用为y元,则y=400+k(2000x).据题设,x=400时,y=43600,解得k=5%.y=+100x2=2400(元).因此只需每批购入120台电视机就可以使预定资金够用.每批购入120台可使资金够用.【例4】(2003年春季上海)在一次人才招聘会上,有A、B两家公司分别
8、开出它们的工资标准:A公司允诺第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;B公司允诺第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.设某人年初被A、B两家公司同时录取,试问:(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年,则他在第n年的月工资收入分别是多少?(2)该人打算连续在一家公司工作10年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素),该人应该选择哪家公司,为什么?(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)?并说明理由.剖析:第(1)问可通过第2、3年月工资归纳出所求结果.第(2)问应注意的是年工资总
9、量.第(3)问难度较大,是求月工资之差的最大值,转化为cn=1270+230n20001.05n1,需要转化为cncn1,cncn+1,则cn最大.(1)此人在A、B公司第n年的月工资数分别为an=1500+230(n1)(nN*),bn=2000(1+5%)n1(nN*).(2)若该人在A公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(a1+a2+a10)=304200(元);若该人在B公司连续工作10年,则他的工资收入总量为12(b1+b2+b10)301869(元).因为在A公司收入的总量高些,因此该人应该选择A公司.(3)问题等价于求cn=anbn=1270+230n20001.05n1
10、(nN*)的最大值.当n2时,cncn1=2301001.05n2.当cncn10,即2301001.05n20时,1.05n22.3,得n19.1.因此,当2n19时,cn1cn;当n20时,cncn1.c19是数列cn的最大项,c19=a19b19827(元),即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.闯关训练夯实基础1.某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.用纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该学生的走法的是2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(
11、xN)的关系为y=x2+12x25,则每辆客车营运_年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6设年平均利润为g(x),则g(x)=12(x+).x+2=10,当x=,即x=5时,g(x)max=2.3.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为_.(lg2=0.3010,lg11.49=1.0602)设产值平均年增长率为x,则(1+x)10=4.两边同取以10为底的对数得10lg(1+x)=2lg2.lg(1+x)=0.0602.1+x=100.0602.又lg11.49=1.0602,11.49=101.0602=10100.0602.100.0602=1.149.因此
12、1+x=1.149,x=0.149=14.9%.14.9%4.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加1万元,又知总收入R是单位产量Q的函数:R(Q)=4QQ2,则总利润L(Q)的最大值是_万元,这时产品的生产数量为_.(总利润=总收入成本)L(Q)=4QQ2(200+Q)=(Q300)2+250.2503005.(2003年福州市质量检测题)沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人,全年工农业生产总值为3180万元.从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元,人口每年净增a人,设从2003年起的第x年(2003年为第一年)该村人均产值为
13、y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)为使该村的人均产值年年都有增长,那么该村每年人口的净增不能超过多少人?分析:本小题主要考查函数知识、函数的单调性,考查数学建模,运用所学知识解决实际问题的能力.依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3180+60x)万元,而该村第x年的人口总数为(1480+ax)人,y=(1x10).(2)解法一:为使该村的人均产值年年都有增长,则在1x10内,y=f(x)为增函数.设1x1x210,则f(x1)f(x2)=.1x1x210,a0,由f(x1)f(x2),得888003180a0.a27.9.又aN*,a=27.y=()=1+,依题意得530,a
14、27.9.aN*,a=27.该村每年人口的净增不能超过27人.培养能力6.(2005年春季北京,19)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v0).(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?(1)依题意,y=,当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立,所以ymax=11.1(千辆/时).(2)由条件得10,整理得v289v+16000,即(v25)(v64)0.解得25v64
15、.当v=40km/h时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h.7.(2003年石家庄市一模题)某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务,已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人,他们加工完G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位:小时,可不为整数).(1)写出g(x),h(x)的解析式;(2)比较
16、g(x)与h(x)的大小,并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式;(3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?(1)由题意知,需加工G型装置4000个,加工H型装置3000个,所用工人分别为x人,(216x)人.g(x)=,h(x)=,即g(x)=,h(x)=(0x216,xN*).(2)g(x)h(x)=.0x216,216x0.当0x86时,4325x0,g(x)h(x)0,g(x)h(x);当87x216时,4325x0,g(x)h(x)0,g(x)h(x).f(x)=(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.当0x86时,f(x)递减,f(x)f(86)=.f
17、(x)min=f(86),此时216x=130.当87x216时,f(x)递增,f(x)f(87)=.f(x)min=f(87),此时216x=129.f(x)min=f(86)=f(87)=.加工G型装置,H型装置的人数分别为86、130或87、129.探究创新8.现代社会对破译密文的难度要求越来越高,有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母,则任意添一个字母,拼成一组),例如:Wishyousuccess,分组为Wi,sh,yo,us,uc,ce,ss得到,其中英文的a,b,c,z的26个字母(不论大小写)依次对应的1,2,3,26这26个自然数,见表格:ab
18、cdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526给出如下一个变换公式将明文转换为密文.如,即ce变成mc(说明:2926余数为3).又如,即wi变成oa(说明:4126余数为15,10526余数为1).(1)按上述方法将明文star译成密文;(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi,请你找出它的明文.(1)将star分组:st,ar,对应的数组分别为,由得,.star翻译成密文为ggkw.(2)由得将kcwi分组:kc,wi,对应的数组分别为,,由得,.密文kcwi翻译成明文为good.思悟小结1.数学
19、的应用问题实际上是数学模型方法的应用问题,也就是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题.2.所谓数学模型,简单地说,就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的,它们可以是几何图形,也可以是方程式、函数解析式等等.实际问题越复杂,相应的数学模型也就越复杂.教师下载中心教学点睛1.在教学过程中要注意引导学生从数学的角度理解分析问题、把握问题,特别要强调自主地、独立地分析、研究、探讨活动,这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能力;有利于对数学思想方法的应用;有利于培养学生
20、的用数学意识.2.用数学模型方法解决问题的步骤可用框图表示如下:拓展题例(2002年春季高考)用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格(长宽的尺寸如各选项所示,单位均为m),若既要够用,又要所剩最少,则应选钢板的规格是A.25B.25.5C.26.1D.35设水箱底长a,宽b,高h,则abh=4,h=.S=ab+2ah+2bh=ab+3=12,当且仅当a=b时等号成立.至少要钢板12m2.若a、b、cR+,则有a+b+c3,当且仅当a=b=c时等号成立.【例2】(2001年春季高考)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆,出厂价为1.2万
21、元辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?(1)由题意得y1.2(10.75x)1(1x)1000(10.6x)(0x1),整理得y60x220x200(0x1).(2)要保证本年度的利润比上年有所增加,必须即解得0x.为保证本年度的年利润比上年有所增加,投入成本增加的比例x应满足0x0.33.本题主要考查建立函数关系、运用不等式的性质和解法等数学知识解决实际问题的能力.
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