函数的单调性Word文档格式.docx

1、函数的单调性以及最大最小值。 师：函数的性质的应用就在我们的生活中，我们的周边，如一天气温随时间的变化等。那我们今天就先来学习函数的单调性。1 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1）f（x） = x 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 在区间 _ 上，随着x的增大，f（x）的值随着 _ 2）f（x） = -2x+13）f（x） = x2 1在区间 _ 上，f（x）的值随着x的增大而 _ 2在区间 _ 上，f（x）的值随着x的增大而 _ 问题设计的目的大体从三个层次上展开。首先画出图像并观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；然后，结合图、表，用自然语言描述，即y随x

2、的增大而增大（或减小）；最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。问题链的设计由具体到抽象，由特殊到一般，由远及近，一步一步地促使学生形成概念。问题1： 列表描点，画函数f（x）x2的图像。x43211234f（x）x2169 意图：列表描点（自变量取值总是从小到大的选取，这与考察函数单调性时自变量总是从小到大取值是一致的，这也是学生早就熟悉的。这样可以不必讨论，函数在某区间上递增是指从左到右的问题），通过计算函数值可以体验当自变量从小到大取值时，对应的函数值的大小变化规律。说明：教师可以按照p37来excel画图。问题2： 利用画出的图像，请描述函数值增减

3、变化特征。从函数图像及上述表格可以看出（这并不困难）：图象在y轴左侧“下降”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）反而减小；图象在y轴右侧“上升”，也就是，在区间 上，随着x的增大，相应的f（x）也随着增大。几何直观，引导学生关注图形所反映出的特征。借助图像，体验自变量从小到大变化时，函数值大小变化在图形上的表现。 共3页，当前第1页123问题3： 当x从小到大变化时，y的值如何变化？是对前一个问题（直观）的再一次概括，一次自然语言描述。而且，既不能说随着x的增大y增大，也不能说随着x的增大y减小。学生必须分段回答这个问题，体验函数的这一特征是函数的局部特征。问题4: 比较下列各数

4、的大小。22，32，42，（4.5）2，（5.1）2，（6.3）2。就x在（0，+）从小到大取值时，具体讨论函数值的大小变化。这不难得到223242（4.5）2（5.1）2（6.3）2。显然有：当0x1x2x3x4x5x6时，有0x x x x x x 时，即0y1y2y3y4y5y6。由具体的数字特征逐步向抽象的符号描述过渡。问题5: 对于函数一个函数f（x），如果12时，有f（1）f（2），能否说函数f（x）在区间（1，2）上递增呢？问题6: 函数f（x），对于（0，）上的无数个自变量的值x1，x2，x3，当0x1x2x3时，有0y1y2y3，能否说函数f（x）在（0，）上递增呢？请画图说

5、明。这两个问题的目的是，逐步由“静态”、“有限”向“动态”、“无限”过渡。回答这些问题需要一定的抽象思维。问题6引导学生用反例说明问题，以便抓住问题的正面特征。问题7: 在函数yx2的图像位于y轴右边的部分随便（任意）取两点，横坐标分别是x1，x2，即当0x1x2时，是否总有y1y2呢？抽象前的铺垫，以“随便”替代“任意”容易被接受。问题8: 在函数yx2的图像位于y轴左边的部分任意取两点，横坐标分别是x1，x2，即当 x1x20时，是否总有y1y2呢？把“随便”换成“任意”并不突然。任意x1x20时，有y1y2。而0x1x2不变。这样，基本完成难点的突破。问题9: 在函数yx2的图像上任意取

6、两点，横坐标分别是x1，x2，当x1x2时，是否总有y1y2呢？函数递增、递减描述需要分段表述。问题10: 你能否举出一个具体的函数的例子，使得它在区间（，）上，对任意x1x2，总有y1y2。学生为寻找例子，会首先从形象直观的角度寻找思考，如f（x）x。加强几何直观与抽象表述之间的联系。问题11: 你能否举出一个具体函数的例子，使得它在区间（0，）上，对任意x1x2，总有y1y2。使得学生把当前学习的内容与以前学习过的内容联系起来，先有函数性质特征再寻找具体函数的例子。从具体到抽象，从抽象到具体，体验函数的这一特征。二、提出函数单调性定义1增函数 一般地，设函数y=f（x）的定义域为i， 如果

7、对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义（学生活动）培养学生数学表达能力。问题12：函数f（x）在区间（0，）上，总有f（x）f（0），能否说f（x）在（0，）上单调增？请举例说明。概念辨析。学生容易画出图形来加以说明。从反面进一步体验到，函数单调性中“任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”中“任意”二字的意义，体验到为什么要在区间上任意取大小不同的两个值。共3页，当前第2页1231 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当x12函数的单调性定义如果函数y=f

8、（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做y=f（x）的单调区间：3已学函数的单调性：三、单调性的应用：例1（教材p29例1）根据函数图象说明函数的单调性解：（略）巩固练习：课本p38练习第1、3题例2 物理学中的波利尔定律p （k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积v减小，压强p将增大试用函数的单调性证明之分析 怎样来证明“体积v减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p （k是正常数）是减函数怎样证明函数p （k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，）（因为体积v0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的

9、值对应的函数值较大，即设v1v2，去证明p1p2也就是只要证明p1p20证明 设v1v2，v1，v2（0，+）p1p2 因为k是正常数，v1v2，所以 0，p1p2所以，体积v减小，压强p将增大教师把重心放在思路的分析上，而让学生进行具体的证明1 课本p32练习第4题；总结：利用定义证明函数f（x）在给定的区间d上的单调性的一般步骤： 1 任取x1，x2d，且x1 2 作差f（x1）f（x2）；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）；5 下结论（即指出函数f（x）在给定的区间d上的单调性）探究：画出反比例函数 的图象 1 这个函数的定义域是什么？ 2

10、它在定义域i上的单调性怎样？证明你的结论（选讲）例3借助计算机作出函数y =x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间新课程思想强调应用计算机软件等信息整合手段，本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象四、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论五、作业布置1 书面作业：课本p39习题13（a组） 第1- 5题2 提高作业：设f（x）是定义在r上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），1 求f（0）、f（1）的值；2 若f（3）=1，求不等式f（x）+f（x-2）1的解集