高中数学新人教版必修2第2章《点线面之间的位置关系》精品讲义+基础过关测试含答案Word文件下载.docx

1、公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl，且Pl判断（正确的打“”，错误的打“”）（1）三点可以确定一个平面（）（2）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（3）四边形是平面图形（）（4）两条相交直线可以确定一个平面（）【解析】（1）错误不共线的三点可以确定一个平面（2）错误一条直线和直线外一个点可以确定一个平面（3）错误四边形不一定是平面图形（4）正确两条相交直线可以确定一个平面【答案】（1）（2）（3）（4）小组合作型文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）A，B；（2）l

2、，mA，Al；（3）Pl，P，Ql，Q.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”，“”，“”，“”，“”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形【自主解答】（1）点A在平面内，点B不在平面内；（2）直线l在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线l上；（3）直线l经过平面外一点P和平面内一点Q.图形分别如图（1），（2），（3）所示图（1）图（2）图（3）1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示2要注意符号语言的

3、意义如点与直线的位置关系只能用“”或“”表示，直线与平面的位置关系只能用“”或“”表示3由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别再练一题1根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系图212（1）点P与直线AB；（2）点C与直线AB；（3）点M与平面AC；（4）点A1与平面AC；（5）直线AB与直线BC；（6）直线AB与平面AC；（7）平面A1B与平面AC.【解】（1）点P直线AB；（2）点C直线AB；（3）点M平面AC；（4）点A1平面AC；（5）直线AB直线BC点B；（6）直线AB平面AC；（7）平面A1B平面AC直线AB.点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，

4、求证：这四条直线在同一平面内【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面证明：（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，Od，经过d与点O有且只有一个平面.A、B、C分别是d与a、b、c的交点，A、B、C三点在平面内由公理1知a、b、c都在平面内，故a、b、c、d共面（2）若a、b、c、d无三线共点，如图所示，abA，经过a、b有且仅有一个平面，B、C.由公理1知c.同理，d，从而有a、b、c、d共面综上所述，四条直线两两相交，且不共点，

5、这四条直线在同一平面内证明点线共面常用的方法1纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内2重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合2已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面【证明】如图所示，由已知ab，所以过a，b有且只有一个平面.设alA，blB，A，B，且Al，Bl，l.即过a，b，l有且只有一个平面探究共研型点共线与线共点问题探究1如图213，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图213【提示】如图，连接BD1，A1C平面ABC1D1E

6、，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线如图214，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 【导学号：97602006】图214【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可【自主解答】MNEFQ，Q直线MN，Q直线EF，又M直线CD，N直线AB，CD平面AB

7、CD，AB平面ABCD.M、N平面ABCD，MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理，可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1，又平面ABCD平面ADD1A1AD，Q直线AD，即D，A，Q三点共线点共线与线共点的证明思路1点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上2线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上再练一题3如图215，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线. 图215【证明】ABCD，AB，CD确定一个平面，又ABE，AB，E，E，即E为平面与的

8、一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点，两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H四点必定共线1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是（）AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l【解析】点与直线，直线与平面间的关系分别用“或”和“或”表示2下列说法中正确的个数为（）三角形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1 B2C3 D4【解析】中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故正确，故选C.【答案】C3设平面与平面交于直线l，A，B，且直线ABlC，

9、则直线AB_.【解析】l，ABlC，C，CAB，ABC.4有以下三个说法：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l”表示；已知平面与不重合，若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交其中正确的序号是_【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故正确；直线l在平面内用符号“”表示，即l，错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故正确【答案】5如图216，已知平面，且l.在梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点（相交于一点）图216【证明】梯形ABCD，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两

10、腰，AB，CD必定相交于一点如图，设ABCDM.又AB，CD，M，且M，M，又l，Ml，即AB，CD，l共点2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线2理解平行公理（公理4）和等角定理（重点）3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角（难点、易错点）教材整理1空间直线的位置关系阅读教材P44P45“探究”以上的内容，完成下列问题1异面直线（1）定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（2）画法：（通常用平面衬托）图21102空间两条直线的位置关系（1）两

11、条直线无公共点，则这两条直线平行（）（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行（）（3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线（）（4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线（）【解析】（1）错误空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面（2）正确因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面（3）错误过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线（4）错误和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线（2）（3）（4）教材整理2公理4及等角定理阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题1公理4文字表述：平行于同一

12、条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性符号表述： ac.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于（）A30 B30或150C150 D以上结论都不对【解析】因为ABPQ，BCQR，所以PQR与ABC相等或互补因为ABC30，所以PQR30.教材整理3异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题1定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）2异面直线所成的角的取值范围：0_9

13、03当90时，a与b互相垂直，记作ab.如图2111，正方体ABCDABCD中异面直线AB与BC所成的角为_异面直线AD与BC所成的角为_图2111【解析】ABAB，ABC为AB与BC所成的角，又ABC90，AB与BC所成的角为90BCAD，DAD为AD与BC所成的角，因为DAD45，故AD与BC所成的角为45【答案】9045空间两直线位置关系的判定如图2112，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图2112直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_【精彩点拨】判断两

14、直线的位置关系，主要依据定义判断【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C “异面”同理，直线AB与直线B1C “异面”所以都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”【答案】平行异面相交异面1判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面1（1

15、）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则（）Aac Ba、c是异面直线Ca、c相交 Da、c平行或相交或异面（2）若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c（） A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线D不可能是相交直线【解析】（1）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面（2）若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.【答案】（1）D（2）C公理4、等角定理的应用如图2113，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点图2113（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：B

16、MCB1M1C1.【精彩点拨】（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；（2）可结合（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明【自主解答】（1）ABCDA1B1C1D1为正方体ADA1D1，且ADA1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，AMA1M1且AMA1M1，四边形AMM1A1为平行四边形，M1MAA1且M1MAA1.又AA1BB1且AA1BB1，MM1BB1且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形（2）法一由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1

17、M1C1都是锐角BMCB1M1C1.法二由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1，1空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行2求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似2如图2114，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点图2114求证：（1）四边形MNA1C1是梯形；（2）DNMD1A1C1.【证明】

18、（1）如图，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形（2）由（1）可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.求异面直线所成的角探究1已知直线a，b是两条异面直线，如图2115，如何作出这两条异面直线所成的角？图2115【提示】如图，在空间中任取一点O，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐角（或直角）角即两条异面直线a，b所成的角探究2异面直线a

19、与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？【提示】异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上如图2116，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小图2116【精彩点拨】根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决【自主解答】如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角因为ADBC2，所以EMM

20、F1，在等腰MEF中，过点M作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60则EMF2EMH120所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60求两异面直线所成的角的三个步骤1作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角2证：证明作出的角就是要求的角3计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值的范围是0 903在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角【解】如图，连接BD、A1D，ABCDA1B1C1D1是正方体，DD1綊BB1，四边形DBB1D1为平行四

21、边形，BD B1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，A1BD是正三角形，A1BD60A1BD是锐角，A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，A1B与B1D1所成的角为601对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（）A平行 B相交C垂直 D互为异面直线【解析】不论l，l还是l与相交，内都有直线m使得ml.2下列命题中，正确的结论有（）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条

22、直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个 B2个C3个 D4个【解析】由公理4及等角定理知，只有正确3已知角和角的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若45，则_.【解析】由等角定理可知135【答案】1354在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有_. 【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C15如图2117所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角图2117【解】取AC的中点G，连接EG，FG，则FGCD，EGAB，所以

23、FEG即为EF与AB所成的角，且FGCD，EGAB，所以FGEG.又由ABCD得FGEG，所以FEG45故EF和AB所成的角为452.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示（重点、易错点）2了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示（难点）教材整理1直线与平面的位置关系阅读教材P48P49的内容，完成下列问题位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaAa图形表示（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行（）（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行（）（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行（）【解析】（1）错误若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，故（1）错（2）错误当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错（3）错误由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故（3）错（4）错误过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线