初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起.docx

1、初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设RtABC的各边长分别为a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)； (2)

2、请读者给出证【例题求解】【例1】 如图，在RtABC中，C=90，BC=5，O与RtABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若O的半径r2，则RtABC的周长为 思路点拨 AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可【例2】 如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：四边形ANPD是梯形；ON=NP：DPP C为定值；FA为NPD的平分线，其中一定成立的是( )A B C D 思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理

3、、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NPADBC是解本例的关键【例3】 如图，已知ACP=CDE=90，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为CDE的内心 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 连CF、DF，即需证F为CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明【例4】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F (1)问BOZ能否为120，并简要说明理由； (2)证明AOFEDF，且； (3

4、)求DF的长思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线(1)若BOZ=120，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程 注： 如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以边AB为直径的圆与边CD相切； (2)以边CD为直径的圆与边AB相切类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用 【例5】 如图，已知RtABC中，CD是斜边AB上的高

5、，O、O1、O2分别是ABC；ACD、BCD的角平分线的交点，求证：(1) O1OC O2；(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相 等学力训练1如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm2如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则RtABO内心的坐标是 3如图，梯形ABCD中，ADBC， DCBC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的O与DC相切于E，则DC=

6、 4如图，O为ABC的内切圆，C=90，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则O的半径等于( ) A B C D 5如图，在梯形ABCD中，ADBC，BCD=90，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为( ) A3cm B7cm C 3cm或7cm D 2cm 6如图，ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是( ) A点O是DEF的外心 BAFE=(B+C) CBOC=90+A DDFE=90一B7如图，BC是O的直径，AB、AD是O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交

7、于点D，连结AO、DO (1)求证：ABOOCD； (2)若AB、CD是关于x的方程的两个实数根，且SABO+ SOCD=20，求m的值8如图，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC与O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E (1)若BC=，CD=1，求O的半径； (2)取BE的中点F，连结DF，求证：DF是O的切线； (3)过D点作DGBC于G，OG与DG相交于点M，求证：DMGM9如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm秒

8、的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动(1)求O的直径；(2)求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积；(3)是否存在某时刻t，使直线PQ与O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由 (2002年烟台市中考题)10已知在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为ACD、BCD的内心，则OlO2= 11如图，在ABC中，C=90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于点E，若BC=2，AC=3，则AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都

9、被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的( ) A内心 B外心 C圆心 D重心13如图，AD是ABC的角平分线，O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为( ) A B C D14如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为ABC的内心，过O作OEAD于E，作OFCD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为( ) A B C D不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB在半圆上任取一点D，作DECD，交直线AB于点F，BFAB，交线段AD的延长线于点F (1)设AD是x

10、的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是 ；(2)不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明16如图，ABC的三边满足关系BC=(AB+AC)，O、I分别为ABC的外心、内心， BAC的外角平分线交O于E，AI的延长线交O于D，DE交BC于H求证：(1)AI=BD；(2)OI=AE 17如图，已知AB是O的直径，BC是O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DEAB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?证明你的结论 18如图，已知点P在半径为6，圆心角为90的扇形OAB的AB(不含端点)上运动，PHOA于H，O

11、PH的重心为G(1)当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求出其相应的长度； (2)设PH= x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围； (3)如果PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长 参考答案第二十二讲 园幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在： 1用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况； 2从定理的证明方法

12、看，都是由一对相似三角形得到的等积式熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】 如图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相

13、切，若AB=4，BE=5，则DE的长为( ) A3 B4 C D 思路点拨 连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键【例3】 如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B (1)求证：PA是O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：BE=2：3，求AB的长和ECB的正切值 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识(1)问的证明为切割线定理的

14、运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程【例4】 如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE 思路点拨 由切割线定理得EG2=EFEP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中 【例5】 如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF4 求：(1)cosF的值；(2)BE的长 思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从BE FEAF，RtAEB入手注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手： (1)多视点观察