高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案.docx

1、高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案高三理科数学一轮直线和圆的方程总复习教学案第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关

2、系.能用直线和圆的方程解决简单的问题.0.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；

3、5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络1直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcosy30，6，3的倾斜角的变化范围是A.6，3B.4，3c.4，2D.4，23【解析】直线2xcosy30的斜率2cos，由于6，3，所以12cos32，2cos1，

4、3.设直线的倾斜角为，则有tan1，3，由于0，)，所以4，3，即倾斜角的变化范围是4，3，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知，N，当时，直线N的倾斜角为锐角；当时，直线N的倾斜角为直角；当时，直线N的倾斜角为钝角.【解析】直线N的倾斜角为锐角时，12321505或1；直线N的倾斜角为直角时，2325；直线N的倾斜角为钝角时，123215051.题型二直线的斜率【例2】已知A，B，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A，B，所以AB253134，设直线AB的倾斜角为，则tan34，l的倾斜角为2，tan22tan1tan2

5、23412247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设是直线l的倾斜角，且有sincos15，则直线l的斜率为A.34B.43c.43D.34或43【解析】选c.sincos15sincos12250sin45，cos35或cos45，sin35，故直线l的斜率tansincos43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.直线过点，且在两坐标轴上截距相等；直线过点，且原点到直线的距离为2.【解析】当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x3y0；

6、当截距不为0时，设方程为xaya1，把代入，得a5，直线方程为xy50.故所求直线方程为2x3y0或xy50.当斜率不存在时，直线方程x20合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y1，即xy120，所以|12|212，解得34，方程为3x4y100.故所求直线方程为x20或3x4y100.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为yx.因为直线过点P，所以43，得43.此时直线方程为y43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xaya1，因为直线过点P，所以a347.此时方

7、程为xy70.综上，所求直线方程为4x3y0或xy70.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点o为坐标原点，当ABo的面积最小时，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线方程为xayb1，由于点P在直线上，所以2a1b1.a1b214，当2a1b12时，即a4，b2时，1a1b取最大值18，即SAoB12ab取最小值4，所求的直线方程为x4y21，即x2y40.方法二：设直线方程为y1，直线与x轴的交点为A，直线与y轴的交点为B，由题意知210，0,120.SAoB122112412244.当14，即12时，SAoB有最小值，所求的直线方程为y112

8、，即x2y40.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：xy4.求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率21.若0，则0；若0，则1112112，所以012；若0，则11111212，所以120.综上，1212.总结提高求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据y2y1x2x1求斜率；其二，已知倾斜角或的三角函数值，根据tan求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是0，).求直线方程时，

9、应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.2两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2xy30，l2：3xy20和l3：axy0不能构成三角形，求a的值.【解析】l3l1时，a2a2；l3l2时，a3a3；由将代入axy0a1.综上，a1或a2或a3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1xb1y10和l2：a2xb2y10的交点为P，则过A，

10、B的直线方程是【解析】由P为l1和l2的交点得故A，B的坐标满足方程2x3y10，即直线2x3y10必过A，B两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：axby40和l2：xyb0，求满足下列条件的a，b的值.l1l2，且l1过点；l1l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】由已知可得l2的斜率存在，所以21a，若20，则1a0，即a1.因为l1l2，直线l1的斜率1必不存在，即b0，又l1过点，所以3ab40，而a1，b0代入上式不成立，所以20.因为20，即1，2都存在，因为21a，1ab，l1l2，所以121，即ab1，又l1过点，所以3ab40，联立上述两个方程可

11、解得a2，b2.因为l2的斜率存在，又l1l2，所以12，即ab，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4bb，联立上述方程解得a2，b2或a23，b2，所以a，b的值分别为2和2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式yxb时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABc的顶点分别为A，B，c.点P是线段Ao上的一点，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，cP分别与边Ac，AB交于点

12、E，F，某同学已正确求得直线oE的方程为xy0，则直线oF的方程为【解析】由截距式可得直线AB：xbya1，直线cP：xcyp1，两式相减得xy0，显然直线AB与cP的交点F满足此方程，又原点o也满足此方程，故所求直线oF的方程为xy0.题型三点到直线的距离【例3】已知ABc中，A，B，c，当ABc的面积S最大时，求的值.【解析】因为A，B，所以|AB|2210，又因为直线AB的方程为x3y20，则点c到直线AB的距离即为ABc的高，设高为h，则h|32|122，S12|AB|h12|32|，令t，则1t2，所以S12|32|12|t23t2|12|214|，由图象可知，当t32时，S有最大值

13、18，此时32，所以94.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1与P2分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以2，得x1x22y1y22100，所以P1P2的中点P在直线xy100上，点P到原点的最小距离就是原点到直线xy100的距离d10252.所以，点P到原点的最小距离为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：xyc0，则5c15，且|c5|2|c15|2

14、，解得c10.所以l的方程为xy100.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小距离就是原点到直线l的距离d10252，所以点P到原点的最小距离为52.总结提高求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以避免漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.运用公式d|c1c2|A2B2求两平行直线之间的距离时，要

15、注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.3圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A，B且圆心在y轴上的圆的方程.【解析】方法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，由已知得即解得D0，E2，F9，所求圆的方程为x2y22y90.方法二：经过A，B的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y32，即y2x1.令x0，y1，圆心为，r2210，圆的方程为x2210.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】已知一圆过P、Q两点，且在y轴上截得的线段长为43

16、，求圆的方程.【解析】设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入得令x0，由得y2EyF0，由已知|y1y2|43，其中y1、y2是方程的两根.所以224y1y2E24F48，解、组成的方程组，得D2，E0，F12或D10，E8，F4，故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.题型二与圆有关的最值问题【例2】若实数x，y满足2y23.求：yx的最大值和最小值；yx的最小值；2的最大值和最小值.【解析】yxy0x0，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx，yx，xy0.由|2|213，得3，所以yx的最

17、大值为3，yx的最小值为3.令x23cos，y3sin，0,2).所以yx3sin3cos26sin2，当sin1时，yx的最小值为62.2是圆上点与点的距离的平方，因为圆心为A，B，连接AB交圆于c，延长BA交圆于D.|AB|2213，则|Bc|133，|BD|133，所以22的最大值为2，最小值为2.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：形如Uybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如22形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】已知实数x，y满足x2y23.试求y1x3及b2xy的取值范围.【解析】如图，可看作

18、半圆x2y23上的点与定点A连线的斜率，b可以看作过半圆x2y23上的点且斜率为2的直线的纵截距.由图易得3363216，23b15.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xoy中，二次函数fx22xb与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为c.求实数b的取值范围；求圆c的方程；问圆c是否经过定点？请证明你的结论.【解析】令x0，得抛物线与y轴交点是，由题意b0，且0，解得b1且b0.设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0，令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb.令x0，得y2EyF0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1.所以圆c的方程为x2y22xyb0

19、.圆c必过定点，证明如下：假设圆c过定点，将该点的坐标代入圆c的方程，并变形为x20y202x0y0b0，为使式对所有满足b1的b都成立，必须有1y00，结合式得x20y202x0y00，解得或经检验知，点，均在圆c上，因此圆c过定点.【点拨】本题的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，体现了设而不求的思想.的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题体现了较强的探究性.【变式训练3】动点A在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间t0时，点A的坐标是，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间是A.0,1B.1,7c.7,12D.0,1和7,12【解析

20、】选D.由题意知角速度为2126，故可得ysin,0t12，36t32或326t352，所以0t1或7t12.所以单调递增区间为0,1和7,12.总结提高确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程；条件涉及圆心和半径，可选圆的标准方程.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2y22，直线yxb，当b为何值

21、时，直线与圆有两个公共点；直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：设圆心o到直线yxb的距离为d，d|b|1212|b|2，半径r2.当dr时，直线与圆相交，|b|22，2b2，所以当2b2时，直线与圆有两个公共点.当dr时，直线与圆相切，|b|22，b2，所以当b2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：联立两个方程得方程组消去y得2x22bxb220，164b2.当0，即2b2时，有两个公共点；当0，即b2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练

22、1】圆2x22y21与直线xsiny10的位置关系是A.相离B.相切c.相交D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r22，设圆心到直线的距离为d，则d1sin21.因为2，Z.所以0sin21，所以22d1，即dr，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆c：224上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆o：x2y21上.当圆c与圆o有两个公共点时，符合题意，故应满足21|oc|21，所以1a2a23，即22|a|322，所以322a22或22a322为所求a的范围.【变式训练2】两圆22r2和22R2相交于P，Q两点，若点

23、P的坐标为，则点Q的坐标为【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为，则过它们圆心的直线方程为x2y121，即yx.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P可得它关于直线yx的对称点，即点Q的坐标为.题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P及圆c：x2y24x12y240.若直线l过点P且被圆c截得的线段长为43，求l的方程；求圆c内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】如图，AB43，D是AB的中点，则AD23，Ac4，在RtADc中，可得cD2.设所求直线的斜率为，则直线的方程为y5x，即xy50.由点c到直线的距离公式|265|212，得34，此时直线l的方程

24、为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x0.所以所求直线为x0或3x4y200.设圆c上过点P的弦的中点为D，因为cDPD，所以0，即0，化简得轨迹方程x2y22x11y300.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A，B，中点为，由得y1y2x1x2x1x2y1y2x0y0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为Ac和BD，则四边形ABcD的面积为A.106B.206c.306D.406【解析】选B.圆的方程化成标准方程2225

25、，过点的最长弦为Ac10，最短弦为BD2521246，S12AcBD206.总结提高解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l2R2d2求弦长比代数法要简便.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.5直线与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】已知圆c：2225及直

26、线l：xy74.求证：不论为何值，直线l恒过定点；判断直线l与圆c的位置关系；求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】证明：直线方程可写作xy40，由方程组可得所以不论取何值，直线l恒过定点.由2255，故点在圆内，即不论取何值，直线l总与圆c相交.由平面几何知识可知，当直线与过点的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB|2r2|c|22252245，此时1c，即2111122，解得34，代入原直线方程，得l的方程为2xy50.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】若函数f1beax的图象在x0处的切线l与圆c：x2y21相离，则P与圆c的位置关系是A.在圆外B.在圆内c.在圆上D.不能确定【解析】选B.f1beaxfabeaxfab.又f1b，所以切线l的方程为y1bab，即axby10，由l与圆c：x2y21相离得1a2b21a2