数值计算二分法简单迭代法Newton迭代法弦截法Word文档格式.docx

1、2.2 简单迭代法 思想：迭代法是一种逐次逼近的方法，它是固定公式反复校正跟的近似值，使之逐步精确，最后得到精度要求的结果。1.构造迭代公式 f（x），迭代公式必须是收敛的。2.计算 x1,x1=f（x0）.3.判断|x1-x0|是否满足精度要求，如不满足则重复上述步骤。4输出 x1,即为方程的近似解。2.3 Newton迭代法 思想：设 r是 的根，选取 作为 r的初始近似值，过点 做曲线 的切线 L，L的方程为，求出 L与 x 轴交点的横坐标，称 x1 为 r的一次近似值。过点 做曲线 的切线，并求该切线与 x 轴交点的横坐标，称 为 r的二次近似值。重复以上过程，得 r的近似值序列，其中

2、，称为 r的 次近似值 步骤：1.计算原函数的导数 f（x）;构造牛顿迭代公式 2.计算 ,若 f（x0）=0,退出计算，否则继续向下迭代。3.若|x1-x0|满足精度要求，x1 即为方程的近似解。2.4弦截法 思想:为加速收敛，改用两个端点都在变动的弦，用差商替代牛顿迭代公式的导数f（x）。1.构造双点弦法的公式 2.计算 x2=x1-f（x1）（x1-x0）/f（x1）-f（x0）;3.判断 f（x2）是否满足精度要求，若没有则按照上述步骤继续迭代，否则输出 x2.x2即为方程的近似解。第第 3 章章 测试结果及分析测试结果及分析 测试结果 函数图像函数图像 函数 Y=x5-3x3+x-1

3、 二分法二分法（表表 1-1，1-2，1-3）-1.6,-1.3 k xk k xk k xk 0-1.45 5-1.50156 10-1.50493 1-1.525 6-1.50391 11-1.505 2-1.4875 7-1.50508 12-1.50504 3-1.50625 8-1.50449 13-1.50506 4-1.49688 9-1.50479 14-1.50507 表 1-1 区间-1.2,-0.9 k xk k xk k xk 0-1.05 5-0.998437 10-1.00005 1-0.975 6-1.00078 11-0.999976 2-1.0125 7-0.

4、999609 12-1.00001 3-0.99375 8-1.0002 13-0.999994 4-1.00312 9-0.999902 14-1 表 1-2 区间1.5,1.8 k xk k xk k xk 0 1.65 7 1.69102 14 1.69029 1 1.725 8 1.69043 15 1.69029 2 1.6875 9 1.69014 16 1.69029 3 1.70625 10 1.69028 17 1.69028 4 1.69687 11 1.69036 18 1.69028 5 1.69219 12 1.69032 6 1.68984 13 1.6903 表

5、1-3 简单迭代法（表简单迭代法（表 2-1.2-2.2-3）初值-1.5 k xk k xk k xk 1-1.5 7-1.50435 13-1.50493 2-1.50217 8-1.50453 14-1.50497 3-1.50287 9-1.50466 15 1.50499 4-1.50341 10-1.50476 16-1.50501 5-1.50381 11-1.50483 17-1.50504 6-1.50412 12-1.50489 18-1.50505 表 2-1 初值-1 k x 1-1 2-1 表 2-2 初值 1.6 结果 x=1.69028 k xk k xk k x

6、k 1 1.6 8 1.68862 15 1.69023 2 1.65669 9 1.68927 16 1.69025 3 1.66987 10 1.68967 17 1.69027 4 1.6779 11 1.68991 18 1.69027 5 1.68278 12 1.69006 19 1.69028 6 1.68573 13 1.69015 20 1.69028 7 1.68753 14 1.6902 表 2-3 牛顿迭代法（表牛顿迭代法（表 3-1.3-2，3-3）初值-1.5 结果 x=-1.50507 k xk k xk 1-1.5 4-1.50504 2-1.50471 5-1

7、.50506 3-1.50497 6-1.50507 表 3-1 初值-1 结果 x=-1.50507 k x 1-1 2-1 表 3-2 初值 1.6 结果 x=1.69028 k xk k xk 1 1.6 5 1.69024 2 1.68602 6 1.69027 3 1.68893 7 1.69028 4 1.68985 8 1.69028 表 3-3 双点弦法（表双点弦法（表 4-1.4-2，4-3）区间-1.6,-1.3 结果 x=-1.50507 k xk f（xk）k xk f（xk）1-1.5 0.03125 5-1.50667 0.0784566 2-1.66149 0.3

8、76502 6-1.505-0.010079 3-1.47175-1.56322 7-1.50507 0.000440988 4-1.492 0.186801 8-1.50507 2.30387e-006 表 4-1 区间-1.2,-0.9 结果 x=-1 k xk f（xk）1-1.01393 0.0415678 2-1.0002 0.000607777 3-0.999999-3.11969e-006 4-1 2.11001e-010 表 4-2 区间1.5,1.8 结果 x=1.69028 k xk f（xk）1 1.64403-0.676455 2 1.68071-0.151106 3

9、1.69126 0.0157988 4 1.69027-0.000313515 5 1.69028-6.3006e-007 表 4-3 从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦截法的收敛速度。二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算，牛顿迭代法虽然收敛高，但要求导数，计算的复杂度高！双点弦法随稍慢于牛顿跌代法，可以用差商代替牛顿迭代法中的导数，降低了计算的复杂度！附录：源程序清单附录：源程序清单#include#include using namespace std;double foot=0.3;/定义寻根步长 int a=-8,b=8;double*rn=new do

10、uble5;/解的区间 double*r=new double5;/方程近似解 int m=0;/根的个数 int x_count;double precision=0.000001;/精度要求 /函数的表达式（x5-3x3+x-1）double f（double x）return（pow（x,5）-3*pow（x,3）+x-1）;void init（）/根据函数图像确定根的区间和迭代初值 r0=-1.5;r1=-1;r2=1.6;rn0=-1.6;rn1=-1.2;rn2=1.5;/寻找根的区间 void search（）/若没有给出区间和初值，进行逐步搜索有根区间 for（int i=0;

11、i*foot-88;i+）if（f（i*foot-8）*f（i+1）*foot-8）precision）mid=（a+b）/2;if（f（a）*f（mid）=0）b=mid;/判断与端点函数值得符号 else a=mid;coutmidendl;rx_count+=mid;return mid;/返回最终结果 /=简单迭代法=/构造迭代公式 double fitera（double x）double result=0;double xx=3*pow（x,3）-x+1;if（xx=0）xx=-xx;return pow（xx,1.0/5.0）*（-1）;else return pow（xx,1.

12、0/5.0）;/简单迭代 double itera（double x0）coutx0precision）x0=x1;x1=fitera（x0）;/没有到达精度要求继续迭代 coutx1precision）x0=x1;if（newtonitera（x0）=-1）break;x1=newtonitera（x0）;/继续迭代 coutx1endl;return x1;/返回最终结果 /=双点弦法迭代=/构造弦截法的迭代公式 double twopointchord_f（double x0,double x1）return x1-（f（x1）/（f（x1）-f（x0）*（x1-x0）;/双点弦法迭代

13、double twopointchord（double x0,double x1）double x3=twopointchord_f（x0,x1）;coutx3precision）coutf（x3）f（x3）endl;/输出 x3的函数值 x0=x1;x1=x3;x3=twopointchord_f（x0,x1）;/没有到达精度要求继续迭代 /coutx3endl;coutf（x3）endl;return x3;/返回最终结果 /测试 void main（）init（）;/初始化区间和迭代初值/*测试代码 输出每次的迭代结果和最终结果 cout-二分法-endl;for（int i=0;i3;

14、i+）double result=0;cout有根区间为rni rni+footendl;result=Dichotomy（rni,rni+foot）;/将区间端点带入公式 cout求得近似解为resultendl;cout-迭代法-endl;for（i=0;double x0=ri;/取得初值 result=itera（x0）;/带入公式 cout求得近似解为resultendl;cout-牛顿迭代-endl;/取得初值 result=newton（x0）;cout-弦截法-endl;result=twopointchord（rni,rni+foot）;/*学生实验 心得 在这次实验中，通过编程将二分法、简单迭代法、Newton 迭代法、弦截法（割线法、双点弦法）以代码的方式实现，这不仅是一次实践过程，更是对这些求解方程的方法的深入理解，体会们各自的算法思想。也提高的我对数值计算中的经典方法其中蕴藏的算法思想的兴趣，这些思想方法对以后的问题的解决以及编程思想都是很有帮助的。虽然在实验过程中遇到了一些问题，但是通过查询资料以及不断的调试程序都得以解决。这也让我认识到只要深入理解，坚持不懈，就一定能够成功的。我会将这次的实验的宝贵经验实践到以后的学习中，希望能在不断的锻炼中提升自己！学生（签名）：年 月 日 指导 教师 评语 成绩评定：指导教师（签名）：年 月 日