弹性力学主要内容Word文档格式.docx

1、x y xy Y=0 yz zx z w 应力 ax、b y、Jy J、口 y、Jy Jzzx=0 兀=WxFy）外力 体力、面力的作用面平行于xOy平面；外力沿板厚均匀分布 体力、面力的作用面平行于 xOy平面；外力沿 z 轴无变化 形状 z 向尺寸远小于板面尺寸（等厚度薄板）z 向尺寸远大于 xOy平面内的尺寸（等截面长柱体）5、平面问题的基本方程 平面问题的基本方程包括：（1）平衡方程；（2）几何方程；（3）物理方程 平面问题的基本量有 8个，分别是：3个应力分量：二 x、匚 y、xy；3个形变分量：x、；y、xy；2个位移分量：u、v（1）平衡方程 平衡方程描述的是体力分量与应力分量之

2、间的关系 上述平衡方程对于平面应力问题和平面应变问题均适用（2）几何方程 几何方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系（3）物理方程 物理方程描述的是形变分量与位移分量之间的关系 6、平面问题的边界条件 弹性力学问题的边界条件，简单的说就是用来描述弹性体边界上所受的外 部作用。这个外部作用可以是面力的作用，也可以是对位移的约束，也可以是 两者的综合作用。因此对于弹性体的每一条边而言，其边界条件为如下三种类（1）位移边界条件 若在弹性体的全部边界 s 上给定了位移分量 u和 v，则位移边界条件为：u=u；v=V（2）应力边界条件 若在弹性体的全部边界 S 上给定了面力分布 fx、fy，则应力边界

3、条件为：I 二 x s m xy s=fx I xy s 5$二 fy（3）混合边界条件 若在弹性体的部分边界上 s,给定了位移分量 U和 V,另外一部分边界気上给 定了面力分量、fy，则混合边界条件为：在 s 上:u=U；v=V 在 S2 上：I Wx L+m 心 xy）s=fx；I By）s+mgy）广 fy（4）圣维南原理及其对边界条件的简化 对于弹性体的边界而言，如果能在所有的边界上都可以找到精确满足以上三 种类型之一的边界条件是最好不过的情况了。因为这个时候我们就可以通过求 解基本方程来了解弹性体中任意位置处的应力、应变和位移。但是对于具体的 问题来说，要想使得每条边上的边界条件得到

4、完全满足是非常困难的。边界条件得不到完全的满足，就意味着我们得不到弹性体内任意位置处的 精确解。既然得不到任意位置处的精确解，那么就要考虑是否能在弹性体内部 的大部分区域获得精确的结果。为实现这一目的，人们需要找到一种方法去处理不能完全满足边界条件的 弹性体边界。而法国学者圣维南，就是成功找到了处理方法之一的牛人。圣维南所提出的处理方法，是针对应力边界条件的。他于 1855 年提出了这 样一种说法：如果将分布在物体的某个小部分边界上的面力，替换为与原来的 面力分布方式不同但是静力等效的另外一种面力，那么，由于进行了这种替换 而在弹性体内部所产生的影响，只局限于这一小部分边界附近的局部区域，对

5、于远离这一小部分边界的区域，替换所产生的影响可以忽略不计。7、平面问题中的应力分析（1）过弹性体中某点的任一斜截面（该斜截面的法线方向与 x 轴夹角的余弦为 I;与 y轴夹角的余弦为 m）上的正应力二 N、剪应力 N的计算公式：2 2-N 二 I-x m 二 y 2 I m xy 2 2 N=I m，y I-m xy（2）弹性体中任一点处的主应力 1和二 2可由下式求得:（3）（；1 的方向与匚 2的方向互相垂直）、平面问题的直角坐标解答 前面我们主要建立了平面问题的基本方程。对于平面问题而言，基本方程 包括 2个平衡方程、3 个几何方程和 3 个物理方程。这 8个方程对应着 8个未 知量（3

6、 个应力分量：二 X、匚 y、羽；3个应变分量：；2 个位移分 量：u、v）。弹性力学要解决的平面问题，简单说就是研究在不同的边界条件 下如何求解这 8 个未知量。本部分就是研究在平面直角坐标系下，求解这 8个 未知量的方法。【通常的求解方法】（体力是坐标的函数）1、按位移求解平面问题（位移法）详见书 P33图 2-19 位移法的解题思想：以位移分量 u,v作为基本未知量，由一些只包含位移 分量的微分方程和边界条件求解出位移分量。位移分量求出来之后，利用几何 方程求出形变分量，进而将形变分量代入物理方程求出应力分量。按位移法求解平面问题（平面应力问题），位移分量 u,v 必须满足下列全部 条件

7、：（1）用位移表示的平衡方程 E 1-j2 E 1-j2：2u 1-：2u 点 X2 2 cy2 2 cxcy 丿 总勺亠 1-4 珂亠 1+4 石 2u cy2 2 ex2 2 丿（2）用位移表示的应力边界条件 （3）位移边界条件 u$=u；v$=V 总结：按照位移法求解平面应力问题，就是要使得位移分量 u,v 满足（1）中的平衡方程，同时还要在边界上满足边界条件（视具体的边界而定需要满足 应力边界 or位移边界 or 两者兼有）。在求出位移分量以后，即可利用几何方程 求出形变分量，进而利用变换后的物理方程（应力用应变表示）求出应力分量。E 卩 当问题为平面应变问题时，注意应将上述方程中的

8、E一；1-V-2 1-位移法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程和边界条件的位 移分量u、V，然后利用求解出的位移分量去求解形变分量（几何方程）和应力 分量（物理方程）。2、按应力求解平面问题（应力法）详见书 p37图 2-21 应力法的解题思想：以应力分量 Wxfyxy）作为基本未知量，由一些只包含 应力分量的微分方程和边界条件求解出应力分量，再利用物理方程求出形变分 量，进而利用几何方程求出位移分量。按应力求解平面问题（平面应力问题），应力分量 2 XFyEXy）必须满足下列 全部条件：（1）平衡方程 （2）相容方程（3）应力边界条件 fx -X m yx s（4）对于多连体问题，

9、还要考虑位移的单值条件 应力法求解平面问题的实质，就是求解满足上述平衡方程、相容方程及边 界条件的应力分量，然后利用求解出来的应力分量去求解形变分量（物理方程）和位移分量（几何方程）。【特殊的应力法】对于单连体问题而言（在常体力情况下，利用应力法求解平面问题时可以使求解方法得到简化）之前我们讨论的体力是坐标的函数，即构成弹性体的若干个微小单元体所 受到的体力不是相同的。非常体力情况下体力分量是分别关于 x、y的函数（fx、fy）。1、常体力情况：构成弹性体的若干个微小单元体所受到的体力均相同 常体力情况下，体力分量是两个常数 X,Y 2、在常体力情况下可以对问题进行简化的依据 即:常体力情况下

10、，应力的相容方程为:f-2-2、G G （cX 点 Y、+2 2 2x+by）=-（1+卩）+cx cy y ex cy y 二 x 二 y 2 0 口 2 r2 C C +2 2 ex 诃）二 0 那么现在对于问题的求解就转化为求解下列方程的解:1平衡方程：三二 fx=0 釵 cy:xy:-y y y fy=0 x:y 2-2 C C 相容方程:+2 2 lX2 列 3应力边界条件：（I 8 x+m 応 yx 2=X；（m 灯 y十 I弋 xy =Y 上述方程中均不含有弹性参数（E、卩），对于平面应力问题和平面应变问 题均适用。3、常体力情况下可以做哪些简化 1、针对任一弹性体所求解出来的应

11、力分量，适用于具有同样边界并且受同样 外力的其他材料的物体。（因为结果与材料的弹性参数无关）2、针对平面应力问题所求出的应力分量，也同样适用于边界相同、外力相同 的平面应变问题。（因为结果与弹性参数无关，所以无需进行 E和的替换）3、对于应力边值问题，可以将弹性体所受体力的作用改换为面力的作用，以 便于解答问题或试验量测，从而为试验应力分析提供方便。4、可将原来所要求解的三个未知的应力分量的问题转化只求解一个 应力函数 即可。5 4、常体力情况下利用应力函数求解平面问题 在按应力求解平面应力边值问题时，只需求出一个满足应力函数相容方程 的应力函数即可【见下】。在求出应力函数，x,y后，即可利用

12、应力函数与应 力分量之间的关系求解出应力分量【见下】，注意求解出的应力分量要在边界 应力函数 x,y与应力分量之间的关系为:由上述关系式求出的应力分量要在边界上满足应力边界条件为:I 二 x m yx s 二 X Py+1 吓 xy=Y 引入应力函数后，就可以将应力法中所要求解的三个方程转化为求解一个关于 应力函数的相容方程即可，即使得问题得到了简化。5、求解应力函数的方法一一逆解法与半逆解法 既然使用应力函数可以使得问题得到较大程度的简化，那么如何求解这个 应力函数呢？我们说有两种求解应力函数的方法：逆解法与版逆解法（1）逆解法的求解步骤：1首先找出满足相容方程的应力函数；2由应力函数求解出

13、应力分量 3在给定边界的形状（边界方程）下，根据应力边界条件，由应力反推出 面力。从而得出在此组面力下，其解答就是上述应力函数和应力。（2）半逆解法的求解步骤：1根据边界形状和受力情况，假设出部分（或全部）应力分量的形式；2根据应力分量和应力函数之间的关系，由给出的部分的应力分量推求出 应力函数；3验证推求出的应力函数是否满足相容方程；如不满足，则重新回到；4如满足，则根据应力函数求出其余的应力分量；5验证全部应力分量是否满足应力边界条件（对于多连体问题，还需要满 足位移的单值条件），如果不满足，则重新回到；如满足，则得到问题的解答。三、平面问题的极坐标解答三、平面问题的极坐标解答 平面极坐标

14、问题的研究思路与平面直角坐标系一样，也是研究如何求解 8 个基本未知量的求解方法。但是由于坐标系的变化（由（x、y）（r、）,因此在平面问题中的 8 个基本未知量在极坐标系中表示为：二 r、；、门；3 个形变分量：:r、上、心；Ur、丐。平面极坐标问题也有平面应力问题和平面应变问题两种类型。平面应力：如圆环、圆盘等；平面应变：如圆筒（半平面体视具体情况分析而定）求解这 8个基本未知量的方程（即基本方程）为：（1）平衡方程:J r 仁 T 二 r r r fr=0 r 2 r 亠0 _：Ur.r cr 求解上述 8个方程的方法我们仅介绍了应力函数方法（体力为零的条件下）。与平面直角坐标系中的应力

15、函数法一样，在极坐标系中，我们需要找出一 个应力函数r户，然后根据极坐标下应力函数与应力分量之间的关系得到应 力分量及相应的位移。当然，这里的应力函数也不是随便取一个就可以，它仍然要满足相容方程。（&2 1&1 +一+a 2 a 2 aa 2 l r r cr r 廿 在极坐标下，应力函数所要满足的相容方程为：申（r,日）=0 应力函数与应力分量之间的关系为:1 八 1:cr=+r 2-2-r-r-r:2 2 cr 1：2 1:T=+r-r cr cj 求解出来的应力分量，同样需要在边界上满足应力边界条件（对于多连体,比如说圆筒，还要满足位移的单值条件）。在极坐标系中，常见的应力边界有：;r=

16、已知的（径向）面力分量；.=已知的剪切面力分量 或;=已知的（环向）面力分量；*=已知的剪切面力分量 对于具体的问题，要根据所建立的坐标系来写出应力边界条件。特殊的情况：轴对称问题 在轴对称问题中，应力分量是轴对称的，形变分量是轴对称的；但是位移 分量不一定是轴对称的。在弹性体不存在刚体位移或存在轴对称约束的情况下，位移分量也是轴对 称的。轴对称问题的应力函数：，二 Al nr Br2l nr Cr D 轴对称问题的应力分量：A-r 2 B 1 21 nr 2C r A B 3 2lnr 2C r r 厂：r=0 轴对称问题相应的位移（平面应力问题）：4Br J u Hr-I sin J K

17、cos E 1 A ur“1 2 1Br I nr-1 1-3Br 2 1Cr I cos Ksi n EL r 如果是多连体问题，由于位移需要满足单值条件，故 B=0;如果位移也是轴对称的，则有 B=H=I二 K=0。接触问题：接触类型：4种（参见书 P103）对于两个弹性体相互接触的问题，要注意对于不同的弹性体有不同的弹性参数 E和，以及不同的待定常数 A、B、C、H、I、K。对于接触问题，要注意在接触面上还有连续条件，即力和位移都是连续的 四、空间问题的基本理论 平衡方程:几何方程:物理方程（平面应力问题）：（1）位移边界条件:=v；（2）应力边界条件:3、圣维南原理对次要边界的简化:（

18、1）列出静力等效条件（6 个等式）应力所形成的主矢量、主矩二面力的主矢量、主矩 主矢量 Fx,Fy,Fz 相等；主矩相等 Mx,MyM。（2）在边界附近切取一个单元体，列出该单元体的力的平衡条件（6 个等式）Fx=0；Fy=0；Fz=0；Mx=0；My=0；Mz=0 4、几个概念（1）体积应变二（弹性体单位体积在变形前后的改变量）八；x；y；z（2）体积应力 心_匚 x 匚 y匚 z（3）体积应变与体积应力之间的关系：1 一 2卩 比例系数丄厶 为体积模量 E（4）应力张量 xy _ xz yx cr y T yz zxl zy cr z i,j=x,y,z（5）应力不变量 应力第一不变量:应力第二不变量:a x T yx+T x T zx+cr y T zy T xy y T xz a z T yz a z z zx CT x I2+cr+cr y T yx a y 应力第三不变量:xy zy a （6）空间中任意一点处主应力的求出：解出方程：匚 3一岸 2|2 匚 13=0 的三个根即可