数学建模a题Word格式.docx

1、把机械惯量设定为 40 kg m2，然后 在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比 例系数取为 1.5 A/N m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可 观测的离散量。?由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如 10 ms 为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制 动。评价

2、控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误 差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消 耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。问题重述 A题制动器试验台的控制方法分析?1.设车辆单个前轮的滚动半径为 0.286 m，制动时承受的载荷为 6230 N，求等效的转动惯量。2.飞轮组由 3 个外直径 1 m、内直径 0.2 m 的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为 7810 kg/m3，基础惯量为 10 kg m2，问可以组成哪些机 械惯量？设电动机能补偿的能量相应

3、的惯量的范围为-30,30 kg m2，对于问题 1中得到的等 效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题 1和问题 2 的条件下，假设制动减速 度为常数，初始速度为 50 km/h，制动 5.0秒后车速为零，计算驱动电流。4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为 48 kg m2，机械惯量为 35 kg m2，主轴初转速为 514转/分钟，末转速为 257转/分钟，时间步长为 10 ms 的情况，用某种控制方法试验得到的数 据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。5.按照第 3 问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬

4、时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。6.第 5 问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。问题一 A题制动器试验台的控制方法分析?设车辆单个前轮的滚动半径为 0.286 m，制动时承 受的载荷为 6230 N，求等效的转动惯量。问题一关键是对载 荷概念的理解，通 过载荷在车辆平动 时具有的能量，找 到载荷与等价惯量 的纽带，从而建立 数学公式求解。问题一模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析 G?m?g?M 1?m r2?所以当 G?6230 Ng?9.8 m s2r?0.286 mM 1?52kg?m 2

5、问题二 A题制动器试验台的控制方法分析 问题二模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析 问题二模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析 问题三 A题制动器试验台的控制方法分析?建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题 1和问题 2 的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为 50 km/h，制动 5.0秒后车速为零，计算驱 动电流。问题三模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析记需要模拟的单轮等效惯量为 J，机械惯量为 J1，显然在整个制动过程中（0?t?t0）主轴转速记为（t）是减函数，把制动扭矩记为 M（t）。由转动方式的牛顿定律 d?M（t）?J dt（

6、1）主轴是机械惯量为 J1 的转动机构，有制动扭矩 M（t）与电流产生的扭矩 Me（t）相联，于是对合力矩用转动方式的牛顿定律：问题三模型建立与求解 d?M e（t）?J1 dtA 题 制动器试验台的控制方法分析（2）（3）（1）代入（2），有 d?（J1?J）dtd?或 I（t）?k0（J1?J）dt。控制时可由（t）的测量值差分后得到 I（t）。或者由（3）除以（1），得到 M e（t）J1?J?M（t）JJ1?J M（t），即 M e（t）?J 问题三模型建立与求解则有 J1?J I（t）?k0 M（t）JA 题 制动器试验台的控制方法分析控制时可由 M（t）的测量值得到 I（t）。这就

7、是驱动电 流依赖于可观测量的数学模型。记初速度为 V0，末速度为 V1，车轮的滚动半径为 R，制动时间为 T，则 d?V1?V0?50?10/3600?9.71（rad/s 2）dt RT 0.286?53 问题三模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析 J1?J d?d?I e?k0?k 0（J1?J）J dt dt 电机的电流分别为 174.78 A（电机惯量 12）或-262.17 A（电机惯量-18）。问题四 A题制动器试验台的控制方法分析 问题四模型建立与求解?将表格绘制成曲线图：A题 制动器试验台的控制方法分析图一：制动扭矩随时间变化曲线图二：转速随时间变化曲线 问题四模型

8、建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?从图中可以看出，制动扭矩在 01秒内呈现递增特性，而在 1秒之后在一个恒定值附近小范围的波动。可以看 出，这是控制系统的调节作用。与之对应的，转速曲线在刚开始一段时间内变动并不 规律，在 1 秒附近有一次突然地减小，而 1秒之后则基 本符合线性规律。在理想的路试情况下，从初始转速达到末转速的变化 过程中车轮角速度应该匀速递减。下图是实验测得的 单个车轮的转速数据与理想路试情况下其转速数据的 对比。问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析（图中虚线表示理想路试情况下转速随时间变 化情况，实线表示实验测得的车轮转速数据）从图中可见，除去开

9、始的一段车轮转速的 不规律变化情况外（01秒内），其余时间 实际数据和理想结果之间吻合程度还是比 较好的。图三：试验转速数据与理想路试情况转速数据的对比图 问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?将时间离散化，记 tk=k t，t为时间步 长，第 k个时间段为tk-1,tk，tk 时的角速度为 k，制动扭矩为 Mk，等效的惯量为 J，机械惯量为 J1，初始角速度为 0，则到 tk 时，理论上能量应该减少1 2 2 E?J（?0?k）2*k 问题四模型建立与求解实际上能量减少为 kA题 制动器试验台的控制方法分析 Ek?M i?i?ti?1 从开始到第 k步能量的误差 k 1*2

10、|Ek?Ek|?k2）?t 2 i?1累计的能量误差为 k 1*2 Err?|Ek?t k?1 k?1 2 i?1 N N 问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析其中 N为整个刹车过程所对应的时间分段数，相对误差为 k 1 1 2 2?k 2 J（?k）?t i?1 RE?k?1 1 2 2 J（?N）2 N 以 RE的大小作为评价控制方法优劣的依据。问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析 J=48 kg 2，0=514转/分钟，N=257转/分 m 钟，t=10 ms，计算得到总能量的相对误差为 RE=5.30%。问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制

11、方法分析于是可以看出此处的能量误差较大。现在我们分析能量误差产生的主要原因。根据问题三中的微分方程模型（*），可解得：考虑到实际情况是离散的，问题四模型建立与求解本实验中 出 的理论值，A题 制动器试验台的控制方法分析，可直接读出，利用上述方程可以计算 的理论值与观测值的对比见下图：图四：（虚线为的理论值与测量值的对比图 的理论值，实线为 的测量值）问题四模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?从图中可以看出，01s内理论值不测量值吻合很好，但在 1s 时，测量值突然减小，而后理论值不测量值以相同的速率线性递减，如果以 1s 时的测量值作为初始值计算 1s 后的理论值，则不测量情 况

12、完全吻合。微分方程模型没有考虑摩擦力及丌确定因素造成的 转速的随机变化，这说明而在1 秒的时刻，试验中系统受到突然 阻力，比如碰到某阻碍物，使得转速突然减小，而其余时间模型 不实际情况吻合很好，这说明摩擦力可以忽略丌计，试验中的能 量误差主要来源于 1s 时刻的突发阻力，使得转速在其余时间均小 于理论值，进而导致制动扭矩做功小于理论数值。综合分析，我们得出的结论是这种控制方法对于转速的模拟情况 较好，而应对丌确定因素导致的突变时容易产生较大的能量误差，因此需要进行改进。问题五模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?5.按照第 3 问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测 到的瞬时转

13、速不/戒瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算 机控制方法，并对该方法进行评价。根据微分方程，得：所以，得到控制电流为：于是，可以根据某时刻测得的制动扭矩 驱动电流 I（t）。控制下一个时间段的 问题五模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?优点：通过扭矩来对驱动电流进行预测，比较直 观方便?缺陷：利用第 n 个时间段的驱动扭矩理论数值去控 制下一个时间段，这样就产生了滞后误差。问题六 A题制动器试验台的控制方法分析?6.第 5问给出的控制方法是否有丌足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机 控制方法，并作评价。问题六模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析电流策略设计也有

14、多种方法，不过是应该注意设计出来后还要做误差分析的，好的方法就是总误差最小的。为便于应用，用 A（t）表示 t 时刻电动机 的扭矩，用 B（t）表示 t 时刻的飞轮的扭矩，用 C（t）表示 t 时刻总扭矩，同时用 A1,A2,An表示 n个时间 片段的电动机的扭矩，用 B1,B2,Bn 表示 n 个时间片段的飞轮的扭矩，引入，则公式（4）变为 A（t）?（A（t）?B（t），解得 A（t）?B（t）1?J1?J 问题六模型建立与求解用它构造递推方法：A题 制动器试验台的控制方法分析 A1?0,Ak?1?Bk,k?1,2,?n.问题六模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析但这种递推方法

15、每一步都会产生能量误差，为减少能量误差采用下面逐步能量补差法进行处理。在不同的 k时，计算前 K时间段所产生的能量 累积误差，令第 k+1 时间段能量误差等于零解出的 Ak+1，通式不好写，但控制时容易实现。用?k,Ak,Ck 分别记第 k 时间段的角速度、电动机的扭矩、制动扭矩。为表述方便，引入符号 ak,使 A?a.设前 k 时间段产生的累积能量误差为 问题六模型建立与求解?WkA题 制动器试验台的控制方法分析，希望在下一时间段中通过 Ak+1的确定补充上相应能量，从而总误差逐步减小。又为了表述方便引入符号?Fk，使?Wk?Fk?t。则：tCk?tAk?Ck?ak?其中，?（1）为第 k时

16、间段所产生的能量截断误差。因此（1）变为 问题六模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析（2）显然，只要累积能量误差?Wk 随着 k的增加逐步趋近 中 Ck和 k 可观察得到，又设计 ak?Fk/?k，?k 于零，则问题就可以比较圆满地解决。而上式（2）于是 Ak?，就得出递推算法。其中的?Ck 为前面的递推公式 Ak?Ck，也就 是电动机原本第 k+1时间段应该输入的能量所等效 的扭矩，问题六模型建立与求解 A题 制动器试验台的控制方法分析?k 是为补充前面缺失能量而增加的扭矩。刹车前系统做匀速运动扭矩为零，无法确定 a1 戒 A，只能取 a1?0,A1?0.1 累积误差?W1?tC1?tA1?C1?a1?1 在第一时间段结束时可观察得到 C1 和?1。其中，第一时间段能量得出?F1?1，再由递推公式得出?Fk.。