中考数学一元二次方程应用题经典题型汇总Word文档格式.docx

1、解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m.那么根据题意，得（x+0.1+x+1.4+0.1）x1.8，整理，得 x2+0.8x1.80.解这个方程，得 x11.8舍去，x21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明 求解此题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题 例 5 读诗词解题：通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华

2、属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，那么十位数字为 x3.那么根据题意，得 x210（x3）+x，即 x2-11x+300，解这个方程，得 x5 或 x6.当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为 36岁.说明 此题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛 例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分.如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，19

3、80，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有 n个选手参加比赛，每个选手都要与（n1）个选手比赛一局，共计 n（n1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n（n1）局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n（n1）分.显然（n1）与 n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是 1979，1984，1985，因此总分只能是 1980，于是由 n（n1）1980，得 n2n19800，解得 n145，n244舍去.答 参加比赛的选手共有 45人.说明

4、 类似于此题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话 例 7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000 252500027000，所以员工人数一定超过 25人.那么根据题意，得100020（x25）x27000.整理，得 x275x+13500，解这个方程，得 x145，x230.当 x45 时，100020（x25）600700，

5、故舍去 x1；当 x230 时，100020（x25）900700，符合题意.答：该单位这次共有 30名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解此题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形 例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园阴影局部所占的面积为原来荒地面积的三分之二.精确到 0.1m 1设计方案 1如图 2花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.2设计方案 2如图 3花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?假设能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3中扇形的半径；假设不能符合条件，请说明理由.解 都能.1

6、设小路宽为 x，那么 18x+16xx2 18 15，即 x234x+1800，解这个方程，得 x，即 x6.6.2设扇形半径为 r，那么 3.14r2 18 15，即 r257.32，所以 r7.6.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原那么是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题 例 9 如图 4所示，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从 C 点出发沿 CB边向点 B以 2cm/s的速度移动.1如果 P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ 的面积为 8平方厘米？

7、2点 P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC的面积的一半.假设存在，求出运动的时间；假设不存在，说明理由.解 因为C90，所以 AB 10cm.1设 xs 后，可使PCQ的面积为 8cm2，所以 APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm.那么根据题意，得 （6x）2x8.整理，得 x26x+80，解这个方程，得 x12，x24.所以 P、Q同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2.2设点 P 出发 x 秒后，PCQ的面积等于ABC 面积的一半.那么根据题意，得（6x）2x 6 8.整理，得 x26x+120.由于此方程没有实数根，所以不存在使PC

8、Q的面积等于 ABC 面积一半的时刻.说明 此题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度 时间.十、梯子问题 例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.1假设梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？2假设梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？3如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 8m.1假设梯子顶端下滑 1m，那么顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm.那么根据勾股定理，列方程 72+（6+x）2102，整理，得 x2+12x150，解这个方程

9、，得 x11.14，x213.14舍去，所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.2当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.那么根据勾股定理，列方程（8x）2+（6+1）2100.整理，得 x216x+130.解这个方程，得 x10.86，x215.14舍去.所以假设梯子底端水平向外滑动 1m，那么顶端下滑约 0.86m.3设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.那么根据勾股定理，列方程（8x）2+（6+x）2102，整理，得 2x24x0，解这个方程，得 x10舍去，x22.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论

10、梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题 例 11 如图 5所示，我海军基地位于 A处，在其正南方向 200海里处有一重要目标 B，在 B的正东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F位于 BC 上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从 A出发，经 B到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.1小岛 D和小岛 F 相距多少海里？2军舰的速度是补给船的 2倍，军舰在由 B到 C 的途中与补给船相遇于 E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？精确到 0.1 海里

11、解1F位于 D的正南方向，那么 DFBC.因为 ABBC，D为 AC 的中点，所以 DF AB100海里，所以，小岛 D与小岛 F相距 100 海里.2设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里，AB+BE2x 海里，EFAB+BC（AB+BE）CF（3002x）海里.在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程 x21002+（3002x）2，整理，得 3x21200 x+1000000.解这个方程，得 x1200 118.4，x2200+不合题意，舍去.所以，相遇时补给船大约航行了 118.4海里.说明 求解此题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角

12、形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息 例 12 如图 6所示，正方形 ABCD的边长为 12，划分成 12 12个小正方形格，将边长为 nn为整数，且 2n11的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 n n的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 n n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的局部恰好为（n1）（n1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后答复以下问题：1由于正方形纸片边长 n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6 使用的纸片张数 2

13、设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积重合局部只计一次为 S1，未被盖住的面积为 S2.当 n2时，求 S1S2 的值；是否存在使得 S1S2的 n值？假设存在，请求出来；假设不存在，请说明理由.解1依题意可依次填表为：11、10、9、8、7.2S1n2+（12n）n2（n1）2n2+25n12.当 n2时，S122+25 21234，S212 1234110.所以 S1S2341101755.假设 S1S2，那么有n2+25n12 122，即 n225n+840，解这个方程，得 n14，n221舍去.所以当 n4时，S1S2.所以这样的 n值是存在的.说明 求解此题时要通过阅读题设条件及提供的

14、图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第3小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题 例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.1要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?2两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗?假设能，求出两段铁丝的长度；假设不能，请说明理由.解1设剪成两段后其中一段为 xcm，那么另一段为20 xcm.2存在.由1得 x2+x14，解这个方程，得 x17，x25不合题意，舍去，所以存在线段 EF将等腰梯形 A

15、BCD的周长与面积同时平分，此时 BE7.3不存在.假设存在，显然有 SBEFS 多边形 AFECD 12，即（BE+BF）（AF+AD+DC）12.那么有 x2+x，整理，得 3x224x+700，此时的求根公式中的 b24ac5768400，所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF将等腰梯形 ABCD的周长和面积同时分成 12的两局部.说明 求解此题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x25时，并不属于 7x10，应及时地舍去；三是处理第3个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律 例 15 在如图 8中，每个正方形有边长为 1 的小

16、正方形组成：图 8 1观察图形，请填写以下表格：正方形边长 1 3 5 7 n奇数 黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n偶数 黑色小正方形个数 2在边长为 nn1的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P1？假设存在，请写出 n 的值；假设不存在，请说明理由.解1观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、13、2n1奇数；正方形的边长为 2、4、6、8、n 时，黑色正方形的个数为 4、8、12、16、2n偶数.2由1可知 n为偶数时 P12n，所以 P2n22n.根据题意，得 n22n5 2n，即 n212n0，解得 n112，n20不合题意，舍去.所以存在偶数 n12，使得 P25P1.说明 此题的第2小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.