1、ln x 1 x-1+ln n,其中 x 0,n 0,等 n n 号当且仅当 x=n 时成立特别地,当 n=1 时,有 ln x x-1;当 n=e 时,有 ln x 1 x e 利用切线进行放缩,能实现以直代曲,化超越函数为一次函数 生成二:利用曲线的相切曲线进行放缩 x-1 1 2(x-1)由图 1可得 ln x ;由图 2 可得 ln x -;由图 3 可得,ln x (0 x 1),x ex x+1 ln x 2(x-1)(x 1);由图 4 可得,ln x 1 x-1(0 0);x(2)-1 ex ln x 1 x(x 0);e 2(x-1)2(x-1)(3)ln x x+1(0 x
2、 1),ln x x+1(x 1);(4)ln x 1 x-1 (0 1 e ln x+1 x 由于 f(x)混合了指数函数、对数函数和幂函数,比较复杂,所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离,改造为 ln x+2 ex 1 ex 令 g(x)=ln x+2,则 g(x)=1-2=ex-2,ex x ex2 ex2 由 g(x)0 可得 x 2,由 g(x)0 可得 0 x 0 可得 x 1,由 k(x)0 可得 0 x 0 可得 x 1,由 s(x)0 可得 0 x 1 ex x 2ex-1 法 2:(寻找公切线隔离)由(1)知,f(x)=e ln x+,于是 x x 2ex-1 2 x
3、f(x)1 e ln x+1,将不等式改造为 x ln x+x x e e 令 m(x)=x ln x+2,则 m(x)=1+ln x 由 m(x)0 可得 x 1,由 m(x)0 可得 e e 0 x 1,所以 m(x)在 0,1 上递减,在 1,+e e e e e 上递增,所以 m(x)=m 1 =1 令 n(x)=x,min ex 则 n(x)=1-x 由 n(x)1,由 n(x)0 ex 可得 0 x x e ex 例 2 【解析】(1)f(x)=-ax2+(2a-1)x+2 ex,因为(0,-1)在曲线 y=f(x)上,且 f(0)=2,所以切线方程为 y-(-1)=2(x-0),
4、即 2x-y-1=0 ax2+x-1 2 x+1【证明】(2)法 1:f(x)+e 0 +e 0 ax ex+x-1+e 0 当 a 1 时,ax2+x-1+ex+1 x2+x-1+ex+1,令 g(x)=x2+x-1+ex+1,则 g(x)=2x+1+e x+1,g(x)=2+ex+1 0,于是 g(x)在 R 上递增又因为 g(-1)=0,由 g(x)0 可得 x 0 可得 x -1,所以 g(x)在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增,所以 g(x)g(-1)=0 法 2:f(x)+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 当 a 1 时,ax2+x-1
5、+ex+1 x2+x-1+ex+1,由常见不等式 ex 1+x(x R),可得 ex+1 2+x,所以 x2+x-1+ex+1 x2+x-1+(2+x)=(x+1)2 0 5 原创精品资源学科网独家享有版权,XX!法 3:令 F(x)=f(x)+e=ax2+x-1 ex+e,则 F(x)=-ax2+(2a-1)x+2 ex-(x-2)(ax+1),由 F(x)0 可得-1 x 2,由 F(x)0 可得 x 2,所以 F(x)ex a a 在-,-1 上递减,在-1,2 上递增,在(2,+)上递减 a a 1 1 F(x)的极小值为 F -=-ea+e 0 x+e x+e x+e 法 4:f(x
6、)+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 令 G(x)=ax2+x-1+ex+1,则 G(x)=2ax-1+e x+1,G(x)=2a+ex+1 0,所以 G(x)在 R 上递增,又因为 G(0)=0,由 G(x)0 可得 x 0 可得 x 0,所以 G(x)在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,所以 G(x)G(0)=0 法 5:f(x)+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 当 x=0 时,不等式成立,当 x 0 时,ax2+x-1+e x+1 0 a -ex+1-x+1 x2=k(x)k(x)=(-ex+1 -1)x2
7、 -2 x(-ex+1 -x+1)4-xex+1+x+2ex+1-2 3-(x-2)(ex+1 -1)3,由 x x x k(x)0 可得 x -1或 0 x 2,由 k(x)0 可得-1 x 2,所以 k(x)在(-,-1)上递增,在(-1,0)上递减,在(0,2)上递增,在(2,+)上递减 e3+1 因为 k(-1)=1,k(2)=-4 f(x)+e 0 ,所以 k(x)max=1,而 a 1,所以 a k(x),即 法 6:f(x)+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1 -e x+1 令 m(x)=ax2+x-1,则 m(x)是以 x=-1 2a 为对称 轴,开口方向向
8、上的抛物线令 n(x)=-ex+1,则 n(x)递减由于两个函数的凸性相反,因此我们可以通过寻找两 个曲线的公切线将两个函数进行隔离,但由于公切线不容 有版权,XX!6 原创精品资源学科网独家享 易寻找,又因为两个函数处于相离的状态,因此我们可以 选择在 n(x)=-ex+1 上找切线,通过该切线将两个函数隔离,从而实现证明 由常见不等式 ex x+1 可得 ex+1 x+2,容易想到隔离切线 y=-x-2,下面进行证明 ax2+x-1 -x-2 ax2+2x+1 0 (a-1)x2+(x+1)2 0,而-x-2 -ex+1,命题获证 例 3 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+)法 1:
9、(分离参数法)当 x=1 时,有 f(1)=0,成立 当 x 1 时,x-1-a ln x 0 a x-1,令 h(x)=x-1,则 h(x)=ln x-1+1 x,令 ln x ln x ln2 x k(x)=ln x-1+1,则 k(x)=x-1 0,所以 k(x)在(1,+)上递增,于是 k(x)k(1)=0,x x2 所以 h(x)0,所以 h(x)在(1,+)上递增由洛必达法则可得 lim x-1=lim 1=1,所以 a 1 x1+ln x x1+1 x 当 0 x 0 时,由 f(x)0 可得 x a,由 f(x)0 可得 0 x 0 可得 x a,由 f(x)0 可得 0 x
10、a,所以 f(x)在(0,a)上递减,在(a,+)上递增,而 f(1)=0,所以 a=1(2)当 a=1时 f(x)=x-1-ln x 0,即 ln x x-1,则有 ln(x+1)x,当且仅当 x=0 时等号成立,所以 ln 1+1 2k 1,k N*,于是 2k ln 1+1 +2 ln 1+1 22 +ln 1+1 2 n 1+1+L +1=1-1 1,所以1+1 1+1 L 1+1 2,于是 m 的最小值为 3 2 22 23 2 4 8 64 模块 2 练习巩固 整合提升 练习 1:已知函数 f(x)=a ln x+b,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+1 x
11、x+2 y-3=0 (1)求 a、b 的值;(2)证明:当 x 0,且 x 1 时,f(x)ln x x-1 a x+1-ln x x b 1 【解析】(1)f(x)=f(1)=1 -(x+1)2 x2 b=1 由于直线 x+2 y-3=0 的斜率为-,且过 2 点(1,1),所以 f(1)=-a-b=-1,解得 a=1,b=1 2 2 2【证明】(2)由(1)知 f(x)=ln x+1,所以 f(x)ln x ln x+1 ln x x+1 x x-1 x+1 x x-1 2 ln x+1 0 H x =2 -1 x-1 0 h x 1 1 1-x2 x()1-x2 ln x 2 x 构造函
12、数()=ln x-2 x-x 1 1 1 (x-1)2(x 0),则 h(x)=x-2 1+x2 =-2x2 0,于是 h(x)在(0,+)上递减 当 0 x h(1)=0,于是 H(x)=1 1-x2 h(x)0;当 x 1 时,h(x)递减,所以 h(x)0 综上所述,当 x 0,且 x 1 时,f(x)ln x x-1 练习 2:已知函数 f(x)=(ax+1)ln x-1 ax 2-bx+b(a、b R)2 e x(1)若 a=b=1,求函数 F(x)=f(x)-ax ln x-b 2 ex 的单调区间;(2)若 a=1,b=-1,求证:f(x)+1 ax 2+bx ln x-1-2e
13、-2 2【解析】(1)当 a=b=1,F(x)=ln x-1 x 2-1 x,F(x)=1-1 x-1=-(x+2)(x-1)2 4 2 x 2 2 2x 由 F(x)0 可得 0 x 1,由 F(x)1,所以 F(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+)【证明】(2)若 a=1,b=-1,f(x)+1 ax2+bx ln x-1-2e-2 x ln x-1 2 e x -1-2 令 e 2 1 1 1 1 e x-x x G(x)=x ln x-,则 G(x)=ln x+1+e ex,G(x)=-x ex xex 设 h(x)=e-x,则 h(x)=ex-1 0,所以 h(x)在(0
14、,+)上递增,所以 h(x)h(0)=1,所以 G(x)0,所以 1 -1 1 -1 G(x)在(0,+)上递增又因为 G =e e 0,G =e e2-1 0,所以G(x)恰有一 e e2 个零点 x 1,1 ,即 G(x )=ln x+1+1=0,且当 0 x x 时,G(x)x 时,0 e2 e 0 0 ex0 0 0 G(x)0,所以 G(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+)上递增,所以 G(x)G(x)=x ln x-1=x ln x+ln x+1 0 0 0 ex0 0 0 0 设(x)=x ln x+ln x+1,x 1,1 ,则(x)=1+ln x+1 1-1+e 0,所以
15、(x)在 e2 e x 1,1 上递增,所以(x)1 =1 ln 1+ln 1+1=-2-1命题获证 e2 e 0 e2 e2 e2 e2 e2 练习 3:已知函数 f(x)=ex+ex ln x (1)求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)求证:f(x)ex2 【解析】(1)f(x)=ex+e(1+ln x),所以 f(1)=2e,又 f(1)=e,所以 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为 y-e=2e(x-1),即 y=2ex-e 【证明】f(x)ex2 e x+ex ln x ex2 e x-1+x ln x-x2 0,构造函数 g(x)=ex-1+x ln x
16、-x2,则 g(x)=ex-1+1+ln x-2x,g(x)=ex-1+1-2,x g(x)=ex-1-1 x2 因为 g(x)在(0,+)上递增,且 g(1)=0,所以当 0 x 1 时,g(x)1 时,g(x)0,所以 g(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,所以 g(x)g (1)=0,于是 g(x)在(0,+)上递增,又因为 g(1)=0,所以当 0 x 1 时,g(x)1 时,g(x)0,g(x)递增,所以 g(x)g(1)=0,命题获证 2 x 2 ex-1 ex-1 法 2:f(x)ex e +ex ln x ex +ln x-x 0,构造函数 G(x)=+ln x-x,
17、ex-1(x-1)1 x ex-1(x-1)+x-x2 x(x-1)(ex-1 -x)则 G(x)=+-1=令 H(x)=ex-1-x,则 x2 x x2 x2 H(x)=ex-1-1,由 H(x)0 可得 x 1,由 H(x)0 可得 0 x 1,于是 H(x)在(0,1)上递 减,在(1,+)上递增,于是 H(x)H(1)=0 于是当 0 x 1 时,G(x)1 时,G(x)0,所以 G(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,于是 G(x)G(1)=0,命题获证 练习 4:设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),x 0,其中 f(x)是 f(x)的导函数(1)若 f(
18、x)ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围;(2)设 n N*,比较 g(1)+g(2)+L+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明【解析】(1)f(x)=1 1+x,所以 g(x)=x 1+x 法 1:(分离参数法)当 x=0 时,f(x)ag(x)恒成立 f(x)(1+x)ln(1+x)当 x 0 时,f(x)ag(x)在(0,+)上恒成立 a =F(x)在 g(x)x(0,+)上恒成立 F(x)=x-ln(1+x),令 G(x)=x-ln(1+x),则 G(x)=x 0,所以 x2 1+x G(x)在(0,+)上递增,于是 G(x)G(0)=0,即 F(x)0,所以 F(x)在(0
19、,+)上递增 由洛必达法则,可得 lim x0+(1+x)ln(1+x)x=lim x0+1+ln(1+x)1=1,所以 a 1,于是实数 a 的 取值范围为(-,1 法 2:(不猜想直接用最值法)令 h(x)=f(x)-ag(x)=ln(1+x)-h(x)=1-a(1+x)-ax=x-a+1,令 h(x)=0,得 x=a-1 ax,则 1+x 1+x(1+x)2(1+x)2 当 a-1 0,即 a 1 时,h(x)0 在0,+)上恒成立,所以 h(x)在0,+)上递增,所以 h(x)h(0)=0,所以当 a 1 时,h(x)0 在0,+)上恒成立 当 a-1 0,即 a 1 时,h(x)在(
20、0,a-1)上递减,在(a-1,+)上递增,所以当 x=a-1 时 h(x)取到最小值,于是 h(x)h(a-1)=ln a-a+1设(a)=ln a-a+1,a 1,则(a)=1-1 0,所以函数(a)在(1,+)上递减,所以(a)(1)=0,即 h(a-1)n-f(n)证明如下 上述不等式等价于 ln(n+1)1+1+L 2 3+1 n+1 为证明该式子,我们首先证明 ln i+1 1 i i+1 法 1:在(1)中取 a=1,可得 ln(1+x)x 1 i+1 1 ,令 x=,可得 ln 令 i=1,2,n 2 1 3 1 n+1 1 1+x i i i+1 1 1 1 可得 ln 证
21、,ln 1 2 ,ln 2 3 n n+1,相加可得 ln(n+1)+L 2 3+n+1,命题获 法 2:令 t=1,则 ln i+1 1 ln(1+t)t,构造函数 F(t)=ln(1+t)-t,i i i+1 1+t 1+t 0 t 0,于是 F(t)在(0,1)上递增,所以 F(t)F(0)=0,于是 ln i+1 1 下同法 1 i i+1 练习 5:已知函数 f(x)=(x-a)ln x+1 x(其中 a R)2(1)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为 y=1 x,求 a 的值;2(2)若 1 2e a 0 y=1 x 0 【解析】(1)f(x)=ln x-a+
22、3,依题意,有 y 2=(x 0-a)ln x+1 x x0=1 ,解得 或 x 2 0 0 0 2 0 a=1 ln x-a+3=1 x0=a a=1 ,所以 a=1 x0 2 2 (2)法 1:令 g(x)=f(x),则 g(x)=1+a,因为 1 a 0,即 x x2 2e g(x)在(0,+)上递增因为 g a =ln a-a+3=ln a-1 ln 1+1=0,所以 g(x)在 a,a 上有唯一零点 x 当 a 2 2 2e 2 2 0 0 x x0 时,g(x)x0 时,g(x)0,所以 f(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+)上 递增,所以当 x=x 时,f(x)取到最小值
23、f(x)=(x-a)ln x+1 x 因为 0 0 0 0 2 0 a 3 a 3 a 3 1 g(x0)=ln x0 -+=0,所以 ln x0 =-,所以 f(x0)=(x0 -a)-+x0=x0 2 x0 2 x0 2 2-a2 0 5 a=-1 2 2x0 (2x 2-5ax+2a 2)=-1 2x0(2x-a)(x-2a),因为 x a ,a ,所以 f(x0)0,所以当 1 2e a 0 法 2:当 x=a 时,f(a)=a 0 2 当 x a 时,f(x)=(x-a)ln x+1 x 0 (x-a)ln x+x 0 令 2 2(x-a)x 1 a 2 x2-5ax+2a 2=(2x-a)(x-2a)F(x)=ln x+2(x-a),则 F(x)=-x 2(x-a)2=2x(x-a)2,由 2x(x-a)2 F(x)0 可得 0 x 2a,由 F(x)0 可得 a x a 或 a x 2a,所以 F(x)在 2 2 0,a 上递增,在 a,a 上递减,在(a,2a)上递减,在(2a,+)上递增 2 2 a 因为 F a =ln a+2=ln a-1 ln 1+1=0,所以当 0 x a 时,F(x)0,当 x a 时,F(x)0,所以 f(x)=(x-a)F(x)0
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