专题04 利用导数证明函数不等式一高考数学尖子生辅导专题Word文档格式.docx

1、ln x 1 x-1+ln n，其中 x 0，n 0，等 n n 号当且仅当 x=n 时成立特别地，当 n=1 时，有 ln x x-1；当 n=e 时，有 ln x 1 x e 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数 生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩 x-1 1 2（x-1）由图 1可得 ln x ；由图 2 可得 ln x -；由图 3 可得，ln x （0 x 1），x ex x+1 ln x 2（x-1）（x 1）；由图 4 可得，ln x 1 x-1（0 0）；x（2）-1 ex ln x 1 x（x 0）；e 2（x-1）2（x-1）（3）ln x x+1（0 x

2、 1），ln x x+1（x 1）；（4）ln x 1 x-1 （0 1 e ln x+1 x 由于 f（x）混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为 ln x+2 ex 1 ex 令 g（x）=ln x+2，则 g（x）=1-2=ex-2，ex x ex2 ex2 由 g（x）0 可得 x 2，由 g（x）0 可得 0 x 0 可得 x 1，由 k（x）0 可得 0 x 0 可得 x 1，由 s（x）0 可得 0 x 1 ex x 2ex-1 法 2：（寻找公切线隔离）由（1）知，f（x）=e ln x+，于是 x x 2ex-1 2 x

3、f（x）1 e ln x+1，将不等式改造为 x ln x+x x e e 令 m（x）=x ln x+2，则 m（x）=1+ln x 由 m（x）0 可得 x 1，由 m（x）0 可得 e e 0 x 1，所以 m（x）在 0,1 上递减，在 1,+e e e e e 上递增，所以 m（x）=m 1 =1 令 n（x）=x，min ex 则 n（x）=1-x 由 n（x）1，由 n（x）0 ex 可得 0 x x e ex 例 2 【解析】（1）f（x）=-ax2+（2a-1）x+2 ex，因为（0,-1）在曲线 y=f（x）上，且 f（0）=2，所以切线方程为 y-（-1）=2（x-0），

4、即 2x-y-1=0 ax2+x-1 2 x+1【证明】（2）法 1：f（x）+e 0 +e 0 ax ex+x-1+e 0 当 a 1 时，ax2+x-1+ex+1 x2+x-1+ex+1，令 g（x）=x2+x-1+ex+1，则 g（x）=2x+1+e x+1，g（x）=2+ex+1 0，于是 g（x）在 R 上递增又因为 g（-1）=0，由 g（x）0 可得 x 0 可得 x -1，所以 g（x）在（-,-1）上递减，在（-1,+）上递增，所以 g（x）g（-1）=0 法 2：f（x）+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 当 a 1 时，ax2+x-1

5、+ex+1 x2+x-1+ex+1，由常见不等式 ex 1+x（x R），可得 ex+1 2+x，所以 x2+x-1+ex+1 x2+x-1+（2+x）=（x+1）2 0 5 原创精品资源学科网独家享有版权，XX！法 3：令 F（x）=f（x）+e=ax2+x-1 ex+e，则 F（x）=-ax2+（2a-1）x+2 ex-（x-2）（ax+1），由 F（x）0 可得-1 x 2，由 F（x）0 可得 x 2，所以 F（x）ex a a 在-,-1 上递减，在-1,2 上递增，在（2,+）上递减 a a 1 1 F（x）的极小值为 F -=-ea+e 0 x+e x+e x+e 法 4：f（x

6、）+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 令 G（x）=ax2+x-1+ex+1，则 G（x）=2ax-1+e x+1，G（x）=2a+ex+1 0，所以 G（x）在 R 上递增，又因为 G（0）=0，由 G（x）0 可得 x 0 可得 x 0，所以 G（x）在（-,0）上递减，在（0,+）上递增，所以 G（x）G（0）=0 法 5：f（x）+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1+e x+1 0 当 x=0 时，不等式成立，当 x 0 时，ax2+x-1+e x+1 0 a -ex+1-x+1 x2=k（x）k（x）=（-ex+1 -1）x2

7、 -2 x（-ex+1 -x+1）4-xex+1+x+2ex+1-2 3-（x-2）（ex+1 -1）3，由 x x x k（x）0 可得 x -1或 0 x 2，由 k（x）0 可得-1 x 2，所以 k（x）在（-,-1）上递增，在（-1,0）上递减，在（0,2）上递增，在（2,+）上递减 e3+1 因为 k（-1）=1，k（2）=-4 f（x）+e 0 ，所以 k（x）max=1，而 a 1，所以 a k（x），即 法 6：f（x）+e 0 ax2+x-1 ex+e 0 ax 2+x-1 -e x+1 令 m（x）=ax2+x-1，则 m（x）是以 x=-1 2a 为对称 轴，开口方向向

8、上的抛物线令 n（x）=-ex+1，则 n（x）递减由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两 个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容 有版权，XX！6 原创精品资源学科网独家享 易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以 选择在 n（x）=-ex+1 上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明 由常见不等式 ex x+1 可得 ex+1 x+2，容易想到隔离切线 y=-x-2，下面进行证明 ax2+x-1 -x-2 ax2+2x+1 0 （a-1）x2+（x+1）2 0，而-x-2 -ex+1，命题获证 例 3 【解析】（1）f（x）的定义域为（0,+）法 1：

9、（分离参数法）当 x=1 时，有 f（1）=0，成立 当 x 1 时，x-1-a ln x 0 a x-1，令 h（x）=x-1，则 h（x）=ln x-1+1 x，令 ln x ln x ln2 x k（x）=ln x-1+1，则 k（x）=x-1 0，所以 k（x）在（1,+）上递增，于是 k（x）k（1）=0，x x2 所以 h（x）0，所以 h（x）在（1,+）上递增由洛必达法则可得 lim x-1=lim 1=1，所以 a 1 x1+ln x x1+1 x 当 0 x 0 时，由 f（x）0 可得 x a，由 f（x）0 可得 0 x 0 可得 x a，由 f（x）0 可得 0 x

10、a，所以 f（x）在（0,a）上递减，在（a,+）上递增，而 f（1）=0，所以 a=1（2）当 a=1时 f（x）=x-1-ln x 0，即 ln x x-1，则有 ln（x+1）x，当且仅当 x=0 时等号成立，所以 ln 1+1 2k 1，k N*，于是 2k ln 1+1 +2 ln 1+1 22 +ln 1+1 2 n 1+1+L +1=1-1 1，所以1+1 1+1 L 1+1 2，于是 m 的最小值为 3 2 22 23 2 4 8 64 模块 2 练习巩固 整合提升 练习 1：已知函数 f（x）=a ln x+b，曲线 y=f（x）在点（1,f（1）处的切线方程为 x+1 x

11、x+2 y-3=0 （1）求 a、b 的值；（2）证明：当 x 0，且 x 1 时，f（x）ln x x-1 a x+1-ln x x b 1 【解析】（1）f（x）=f（1）=1 -（x+1）2 x2 b=1 由于直线 x+2 y-3=0 的斜率为-，且过 2 点（1,1），所以 f（1）=-a-b=-1，解得 a=1，b=1 2 2 2【证明】（2）由（1）知 f（x）=ln x+1，所以 f（x）ln x ln x+1 ln x x+1 x x-1 x+1 x x-1 2 ln x+1 0 H x =2 -1 x-1 0 h x 1 1 1-x2 x（）1-x2 ln x 2 x 构造函

12、数（）=ln x-2 x-x 1 1 1 （x-1）2（x 0），则 h（x）=x-2 1+x2 =-2x2 0，于是 h（x）在（0,+）上递减 当 0 x h（1）=0，于是 H（x）=1 1-x2 h（x）0；当 x 1 时，h（x）递减，所以 h（x）0 综上所述，当 x 0，且 x 1 时，f（x）ln x x-1 练习 2：已知函数 f（x）=（ax+1）ln x-1 ax 2-bx+b（a、b R）2 e x（1）若 a=b=1，求函数 F（x）=f（x）-ax ln x-b 2 ex 的单调区间；（2）若 a=1，b=-1，求证：f（x）+1 ax 2+bx ln x-1-2e

13、-2 2【解析】（1）当 a=b=1，F（x）=ln x-1 x 2-1 x，F（x）=1-1 x-1=-（x+2）（x-1）2 4 2 x 2 2 2x 由 F（x）0 可得 0 x 1，由 F（x）1，所以 F（x）的递增区间为（0,1），递减区间为（1,+）【证明】（2）若 a=1，b=-1，f（x）+1 ax2+bx ln x-1-2e-2 x ln x-1 2 e x -1-2 令 e 2 1 1 1 1 e x-x x G（x）=x ln x-，则 G（x）=ln x+1+e ex，G（x）=-x ex xex 设 h（x）=e-x，则 h（x）=ex-1 0，所以 h（x）在（0

14、,+）上递增，所以 h（x）h（0）=1，所以 G（x）0，所以 1 -1 1 -1 G（x）在（0,+）上递增又因为 G =e e 0，G =e e2-1 0，所以G（x）恰有一 e e2 个零点 x 1,1 ，即 G（x ）=ln x+1+1=0，且当 0 x x 时，G（x）x 时，0 e2 e 0 0 ex0 0 0 G（x）0，所以 G（x）在（0,x0）上递减，在（x0,+）上递增，所以 G（x）G（x）=x ln x-1=x ln x+ln x+1 0 0 0 ex0 0 0 0 设（x）=x ln x+ln x+1，x 1,1 ，则（x）=1+ln x+1 1-1+e 0，所以

15、（x）在 e2 e x 1,1 上递增，所以（x）1 =1 ln 1+ln 1+1=-2-1命题获证 e2 e 0 e2 e2 e2 e2 e2 练习 3：已知函数 f（x）=ex+ex ln x （1）求曲线 y=f（x）在（1,f（1）处的切线方程；（2）求证：f（x）ex2 【解析】（1）f（x）=ex+e（1+ln x），所以 f（1）=2e，又 f（1）=e，所以 y=f（x）在（1,f（1）处的切线方程为 y-e=2e（x-1），即 y=2ex-e 【证明】f（x）ex2 e x+ex ln x ex2 e x-1+x ln x-x2 0，构造函数 g（x）=ex-1+x ln x

16、-x2，则 g（x）=ex-1+1+ln x-2x，g（x）=ex-1+1-2，x g（x）=ex-1-1 x2 因为 g（x）在（0,+）上递增，且 g（1）=0，所以当 0 x 1 时，g（x）1 时，g（x）0，所以 g（x）在（0,1）上递减，在（1,+）上递增，所以 g（x）g （1）=0，于是 g（x）在（0,+）上递增，又因为 g（1）=0，所以当 0 x 1 时，g（x）1 时，g（x）0，g（x）递增，所以 g（x）g（1）=0，命题获证 2 x 2 ex-1 ex-1 法 2：f（x）ex e +ex ln x ex +ln x-x 0，构造函数 G（x）=+ln x-x，

17、ex-1（x-1）1 x ex-1（x-1）+x-x2 x（x-1）（ex-1 -x）则 G（x）=+-1=令 H（x）=ex-1-x，则 x2 x x2 x2 H（x）=ex-1-1，由 H（x）0 可得 x 1，由 H（x）0 可得 0 x 1，于是 H（x）在（0,1）上递 减，在（1,+）上递增，于是 H（x）H（1）=0 于是当 0 x 1 时，G（x）1 时，G（x）0，所以 G（x）在（0,1）上递减，在（1,+）上递增，于是 G（x）G（1）=0，命题获证 练习 4：设函数 f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x 0，其中 f（x）是 f（x）的导函数（1）若 f（

18、x）ag（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）设 n N*，比较 g（1）+g（2）+L+g（n）与 n-f（n）的大小，并加以证明【解析】（1）f（x）=1 1+x，所以 g（x）=x 1+x 法 1：（分离参数法）当 x=0 时，f（x）ag（x）恒成立 f（x）（1+x）ln（1+x）当 x 0 时，f（x）ag（x）在（0,+）上恒成立 a =F（x）在 g（x）x（0,+）上恒成立 F（x）=x-ln（1+x），令 G（x）=x-ln（1+x），则 G（x）=x 0，所以 x2 1+x G（x）在（0,+）上递增，于是 G（x）G（0）=0，即 F（x）0，所以 F（x）在（0

19、,+）上递增 由洛必达法则，可得 lim x0+（1+x）ln（1+x）x=lim x0+1+ln（1+x）1=1，所以 a 1，于是实数 a 的 取值范围为（-,1 法 2：（不猜想直接用最值法）令 h（x）=f（x）-ag（x）=ln（1+x）-h（x）=1-a（1+x）-ax=x-a+1，令 h（x）=0，得 x=a-1 ax，则 1+x 1+x（1+x）2（1+x）2 当 a-1 0，即 a 1 时，h（x）0 在0,+）上恒成立，所以 h（x）在0,+）上递增，所以 h（x）h（0）=0，所以当 a 1 时，h（x）0 在0,+）上恒成立 当 a-1 0，即 a 1 时，h（x）在（

20、0,a-1）上递减，在（a-1,+）上递增，所以当 x=a-1 时 h（x）取到最小值，于是 h（x）h（a-1）=ln a-a+1设（a）=ln a-a+1，a 1，则（a）=1-1 0，所以函数（a）在（1,+）上递减，所以（a）（1）=0，即 h（a-1）n-f（n）证明如下 上述不等式等价于 ln（n+1）1+1+L 2 3+1 n+1 为证明该式子，我们首先证明 ln i+1 1 i i+1 法 1：在（1）中取 a=1，可得 ln（1+x）x 1 i+1 1 ，令 x=，可得 ln 令 i=1,2,n 2 1 3 1 n+1 1 1+x i i i+1 1 1 1 可得 ln 证

21、，ln 1 2 ，ln 2 3 n n+1，相加可得 ln（n+1）+L 2 3+n+1，命题获 法 2：令 t=1，则 ln i+1 1 ln（1+t）t，构造函数 F（t）=ln（1+t）-t，i i i+1 1+t 1+t 0 t 0，于是 F（t）在（0,1）上递增，所以 F（t）F（0）=0，于是 ln i+1 1 下同法 1 i i+1 练习 5：已知函数 f（x）=（x-a）ln x+1 x（其中 a R）2（1）若曲线 y=f（x）在点（x0,f（x0）处的切线方程为 y=1 x，求 a 的值；2（2）若 1 2e a 0 y=1 x 0 【解析】（1）f（x）=ln x-a+

22、3，依题意，有 y 2=（x 0-a）ln x+1 x x0=1 ，解得 或 x 2 0 0 0 2 0 a=1 ln x-a+3=1 x0=a a=1 ，所以 a=1 x0 2 2 （2）法 1：令 g（x）=f（x），则 g（x）=1+a，因为 1 a 0，即 x x2 2e g（x）在（0,+）上递增因为 g a =ln a-a+3=ln a-1 ln 1+1=0，所以 g（x）在 a,a 上有唯一零点 x 当 a 2 2 2e 2 2 0 0 x x0 时，g（x）x0 时，g（x）0，所以 f（x）在（0,x0）上递减，在（x0,+）上 递增，所以当 x=x 时，f（x）取到最小值

23、f（x）=（x-a）ln x+1 x 因为 0 0 0 0 2 0 a 3 a 3 a 3 1 g（x0）=ln x0 -+=0，所以 ln x0 =-，所以 f（x0）=（x0 -a）-+x0=x0 2 x0 2 x0 2 2-a2 0 5 a=-1 2 2x0 （2x 2-5ax+2a 2）=-1 2x0（2x-a）（x-2a），因为 x a ,a ，所以 f（x0）0，所以当 1 2e a 0 法 2：当 x=a 时，f（a）=a 0 2 当 x a 时，f（x）=（x-a）ln x+1 x 0 （x-a）ln x+x 0 令 2 2（x-a）x 1 a 2 x2-5ax+2a 2=（2x-a）（x-2a）F（x）=ln x+2（x-a），则 F（x）=-x 2（x-a）2=2x（x-a）2，由 2x（x-a）2 F（x）0 可得 0 x 2a，由 F（x）0 可得 a x a 或 a x 2a，所以 F（x）在 2 2 0,a 上递增，在 a,a 上递减，在（a,2a）上递减，在（2a,+）上递增 2 2 a 因为 F a =ln a+2=ln a-1 ln 1+1=0，所以当 0 x a 时，F（x）0，当 x a 时，F（x）0，所以 f（x）=（x-a）F（x）0