1、第十四层 6个第十五层 5个第十六层 4个第十七层 3个第十八层 2个第十九层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(9+8+7+6+5+4+3+2+1)=55+45=100(利用已学过的知识计算).(2)方法2:如图33所示:从上往下,沿折线数第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个第十层 19个总数:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100(利用已学过的知识计算).(3)方法3:把点群的整体转个角度,成为如图34所示
2、的样子,变成为10行10列的点阵.显然点的总数为1010=100(个).想一想:数数与计数,有时有不同的方法,需要多动脑筋.由方法1和方法3得出下式:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=1010即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想:1=111+2+1=221+2+3+2+1=331+2+3+4+3+2+1=441+2+3+4+5+4+3+2+1=551+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=661+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=771+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=881+2+3+4+
3、5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=99这样的等式还可以一直写下去,能写出很多很多.同学们可以自己检验一下,看是否正确,如果正确我们就发现了一条规律.由方法2和方法3也可以得出下式:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:1+3=21+3+5=31+3+5+7=41+3+5+7+9=51+3+5+7+9+11=61+3+5+7+9+11+13=71+3+5+7+9+11+13+15=81+3+5+7+9+11+13+15+17=9还可往下一直写下去,同学们自己检验一下,看是否正确,如果正确,我们就又
4、发现了一条规律.例2 数一数,图35中有多少条线段?(1)我们已知,两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有:AB AC AD AE AF 5条.以B点为共同左端点的线段有:BC BD BE BF 4条.以C点为共同左端点的线段有:CD CE CF 3条.以D点为共同左端点的线段有:DE DF 2条.以E点为共同左端点的线段有:EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.(2)用图示法更为直观明了.见图36.总数5+4+3+2+1=15(条).由例2可知,一条大线段上有六个点,就有:总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律(见图37):还可以一直做下去.总之,线段总条线是从1
5、开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.上面的事实也可以这样说:如果把相邻两点间的线段叫做基本线段,那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是:线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本线段的条数(见图38).基本线段数 线段总条数还可以一直写下去,同学们可以自己试试看.例3 数一数,图39中共有多少个锐角?(1)我们知道,图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.所以,以OA边为公共边的锐角有:LAOB,AOC,AOD,AOE,AOF共5个.以OB边为公共边的锐角有:BOC,BOD,BO
6、E,BOF共4个.以OC边为公共边的锐角有:COD,COE,COF共3个.以OD边为公共边的锐角有:DOE,DOF共2个.以OE边为一边的锐角有:EOF只1个.锐角总数5+4+3+2+115(个).用图示法更为直观明了:如图310所示,锐角总数为:5+4+3+2+1=15(个).由例3可知:由一点发出的六条射线,组成的锐角的总数=5+4+3+2+1(个),由此猜想出如下规律:(见图31115)两条射线1个角(见图311)三条射线2+1个角(见图312)四条射线3+2+1个角(见图313)五条射线4+3+2+1个角(见图314)六条射线5+4+3+2+1个角(见图315)总之,角的总数是从1开始
7、的一串连续自然数之和,其中最大的自然数比射线数小1.同样,也可以这样想:如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角,那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是:角的总数是从1开始的一串连续自然数之和,其中最大的自然数等于基本角个数.注意,例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的,例3是关于角的,但求总数时,它们有同样的数学表达式.同学们可以看出,一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系,这就是数学的魔力.习题三1.书库里把书如图316所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本?2.图317所示是一个跳棋盘,请你数一数,这个跳棋盘上共有多少个棋孔?3.数一数,图318中有多
8、少条线段?4.数一数,图319中有多少锐角?5.数一数,图320中有多少个三角形?6.数一数,图321中有多少正方形?习题三解答1.解:方法1:从左往右一摞一摞地数,再相加求和:10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135(本).方法2:把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书 1011=110三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25110+25=135(本).2.解:因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是(从上往下数):1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
9、11,12,13,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,4,所以棋孔总数是:(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+(1+2+3+4)3=91+103=121(个).3.解:按图322所示方法数(图中只画出了一部分)线段总数:7+6+5+4+3+2+1=28(条).基本线段共7条,所以线段总数是:7+6+5+4+3+2+1=28(条).4.解:按图323的方法数:角的总数:7+6+5+4+3+2+1=28(个).5.解:(1)三角形是由三条边构成的图形.以OA边为左公共边构成的三角形有:OAB,OAC,OAD,OAE,OAF,OAG,OAH,共7个;以OB
10、边为左公共边构成的三角形有:OBC,OBD,OBE,OBF,OBG,OBH,共6个;以OC边为左公共边构成的三角形有:OCD,OCE,OCF,OCG,OCH,共5个;以OD边为左公共边构成的三角形有:ODE,ODF,ODG,ODH,共4个;以OE边为左公共边构成的三角形有:OEF,OEG,OEH,共3个;以OF边为左公共边构成的三角形有:OFG,OFH,共2个;以OG边和OH,GH两边构成的三角形仅有:OGH1个;三角形总数:显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形,而基本线段是7条,所以三角形总数为:6.解:最小的正方形有25个,由4个小正方形组成的正方形 16个;由9个小正方形组成的正方形 9个;由16个小正方形组成的正方形 4个;由25个小正方形组成的正方形 1个;正方形总数:25+16+9+4+1=55个.
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