四年级下册数学讲义培优专题讲练第4讲巧算与速算无答案人教版.docx

1、四年级下册数学讲义培优专题讲练第4讲 巧算与速算无答案人教版第4讲 巧算与速算（二）巧点晴方法和技巧数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后一项与前一项的差叫做这个数列的公差。如：1，357，是等差数列，公差为2；5，10，15，20是等差数列，公差为5。在等差数列中，有如下规律： 总和=（首项末项）项数2 项数=（末项首项）公差1 第n项=首项（n1）公差巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点晴例1求下面各数列有多少项。（1）2，5，8，65，68 （2）1，3，5，97，9

2、9分析与解 由观察可知（1）（2）都是等差数列。（1）首项=2，末项=68，公差=3，所以，项数=（682）31=6631=23（2）首项=1，末项=99，公差=2，所以，项数=（991）21=9821=50做一做1 已知等差数列7，11，15，195。问这个数列共有多少项？例2计算：（1）2586568（2）（2462008）（1352007）分析与解 由观察可知（1）（2）都是等差数列。1）项数=（682）31=23 总和=（首项末项）项数2 =（268）232=805（2）解法一 原式=（22008）10042（12007）10042 =1004 解法二 原式=（21）（43）（2008

3、2007） =11004=1004小结 在计算等差数列的总和时，要先用项数公式求出项数，然后再用总和公式求出总和。做一做2 计算：（1）24698100 （2）51525399100【例3】计算：120032200332003200120032002200320032003分析与解 如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，2001，2002，2003，所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的各，再求商。解 原式=（12320022003）2003 =（12003）200322003 =1002小结 此题解法巧在根据题目的特点，

4、运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合的简化运算，使整个解答显得简洁明快。做一做3计算：1549174919492149234925492749B级培优竞赛更上层楼【例4】求等差数列3，5，7的第10项和第100项。分析与解 在这个等差数列中已知首项=3，公差=2，项数=10，100，直接代入通项公式即可求得。第10项=3（101）2=21第100项=3（100）2=201做一做4 求等差数列5，8，11，的第21项和第35项。【例5】有20个朋友聚会，见面时如果每人都和其他人握手1次，这20个人一共握手多少次？分析与解 设20个人分别为A1，A2，A3，A20，我们从A1开始按顺序分析：

5、A1和A2，A3，A4，A20这19个人每人握手一次，共握手19次；由于A2已知A1握过手，所以A2只能和A3，A5，A6，A20这18个人每人握手一次，共握手18次；由于A3已知A1，A2握过手，所以A3只能和A4，A5，A6，A20这17个人每人握手一次，共握手17次；以此类推，A19只能和A20握手1次。这20个人总共握手的次数为：1231819=（119）192=190（次）答：这20个人一共握手190次。小结 握手次数等于从1开始的连续自然数的和，其中最大的自然数比人数少1，如果有n个人握手，且每个人和其他人都只握手一次，那么握手的总次数为123（n1）。做一做5 如果参加宴会的每一

6、个人都和其他人握手1次，宴会结束时，统计出一共握手28次。问参加宴会的一共有多少人？【例6】如下图所示，这是一个堆放钢管的V形架。如果V开架上一共放有465根钢管，问最上面一层有多少根钢管？ 分析与解 通过仔细观察可知，从最下面一层到最上面一层每一层堆放的钢管根数组成一个等差数列。此外还可发现钢管摆放的层数与最上面一层的根数相同，即第几层就有几根钢管，则（1n）n2=465(1n) n=930 观察到n和（n1）是相邻的两个自然数，所以只要把930分成两个相邻自然数的积即可。这样，930=3031。所以，最上面一层有30根钢管。答：最上面一层有30根钢管。做一做6 在一个七层高的书架上放了49

7、7本书，上面一层总比下面一层少7本书。问最上面一层放了多少本书？C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军【例7】若干同样的盒子排成一排。小明把50多个同样的棋子分装在盒里，其中只有一个盒子里没有装棋子，然后他出去了。小光从每个装有棋子的盒子里各拿出一个棋子放在空的盒子里，再把盒子重新排一下。小明回来仔细查看一番，没发现有人动过这些盒子里的棋子。你知道盒子有多少个吗？分析与解 先分析盒子里棋子个数的分配情况，因为原有的空盒不空，而小明没发现有人动过，所以，现必须有一个新的空盒，按题意，这个空盒原应有1个棋子。仿上推理，现装1个棋子的盒子里，原应有2个棋子；现装2个棋子的盒子里，原应有3个棋子所以，原盒子里

8、的棋子从少到多应依次是0，1，2，3，再计算棋子总数，确定盒子个数。依题意，0123=50多 而，01239=45 012310=55 012311=66故共有55个棋子，11个盒子。做一做7 有10只盒子，能不能把44只乒乓球放到盒子里去，使各盒子里的乒乓球数不相等？巧练习温故知新（四）A级 冲刺名校基础点晴1.123200220032.263124185246303.等差数列4，8，12，16，中第99项是多少？4.12345200220035.等差数列0，6，12，18，中第31项是多少？在这个数列中，2400是第几项？B级培优竞赛更上层楼6.（2000199842）（199919971

9、99531）7.求1100这100个数中所有3的倍数以外的数的和。8.小红从五月一日开始写大字。她第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同的数量的字。结果全月一共写了589个大字，小红每天比前一天多写几个大字？9.兄弟分钱问题：兄弟共十人，来分十万元。十人十个等，差数却均匀。长多幼弟少，老八六千元。每级差多少，谁能说得清？10.计算所有三位自然数之和。C级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军11.求所有被4除余2的两位数之和。12.把从1开始的所有奇数进行分组，其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数，如（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，7

10、9），（81，），那么第5组中所有数的和是多少？13.有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根。若最下面一层有94根，问：这堆圆木共有多少根？14.一个正三角形ABC，每边长1米。在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，然后从这些点出发作两条直线，分别和其他两平行（如右下图），这些平行张相交在三角形ABC中得到许多边长为2厘米的三形。（1）求边长为2厘米的三角形的个数；（2）求所作平行线段的总长度。 A B C15.右下图是一个五边形点阵，中心一个点算第一层，第二层每边两个点（正五边形顶点处有一点为相邻两边公用），第三层每边三个点，第四层每边四个点，其余类推。若

11、该五边形点阵共有100层，则点阵中的点的总数有多少？巧总结 本节我的收获是: 。 不足之处有: 。 智慧泉数学回文清代，北京有个酒楼叫“天然居”。一次，乾隆皇帝触景生情，以酒楼为题写对联，上联是：客上天然居，居然天上客。但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联，直到很久以后，才有位读书人给出了下联：僧游云隐寺，寺隐云游僧。与此类似，数学里也有“回文式”。我们借用上面的对联组成这样一个式子：僧游云隐寺=寺隐云游僧现在要问：不同的汉字用不同的数字（09）代替，这个算式能成立吗？能，而且不止一个：12231=13221，12462=26421，13341=14331，13682=28631我们

12、看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧妙：每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积，正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中的三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字和和。例如，在12231=13212中，12=21，且3=21；在12693=39621中，16=23，且9=63等。掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且能够容易地看出，关键是找出满足第一个特点的四个数字，从而三位数的十位数字也就确定了。例如，36=92，这时三位数的十位数字是62=8，可得等式 39682=28693当然，也可以由92=36，又26=8，得 93286=68239

13、这两种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看做是一个等式的两种形式。那么这类等式共有多少个呢？我们可从1开始，依次取2，3，9进行组合，然后再从2开始，依次取3，4，9，进行组合，看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积，并且第2个、第4个数字的和不大于9，就能有多少个不同的等式。12=21，又21=3，于是有12231=13221；13=31，又31=4，于是有13341=14331；14=41，又41=5，于是有14451=15441；依此类推，共可得出33个不同等式。数学里还有“回文数”，其特征是：从左到右读与从右到左读完全一样，例如，101，32123，9999等。两个相同位数的回文数

14、，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。同样，当两个回文数相减时（规定要用大数减小数），如果不需要从上一位“借”，则其差也是一个回文数。例如： 5 6 3 6 5 5 7 7 5 1 2 6 2 1 2 2 2 2 6 8 9 8 6 3 5 5 3有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，其和数却依然是个回文数。例如： 3 3 3 3 7 7 7 7 8 8 8 8 4 4 4 41 2 2 2 1 1 2 2 2 1我们的回文数的模式是（共n个）与bbb（共n个b），而且与b应满足关系式b=11，以及1，b10。 假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎

15、样才能使它“变”成回文数呢？办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”（或“变换”），把这种“操作”反复进行下去，到头来你就可以得出一个回文数。 这就是有名的“回文数猜想”，它至今仍然是个谜：说它正确，却无法证明；说它不正确又找不出一个反例。 可能成为说明“回文数猜想”不成立的是196，因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍然没有出现回文数，但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。 数学家还对“回文质数“进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。 101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫做“回文质数“。第一个谜是：回文质数是无穷多个吗？数学家猜想它有无穷多个，但也仅仅是猜想。181和191，373和383，30303和30203等等，它们都叫回文质数，并且每一对中间的数字是连续的，而其他数字都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对“。第二个谜是：回文质数都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对“。数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，121=112，12321=1112，1234321=11112，12345678987654321=1111111112。立方数也有类似情况，例如，1331=113，1367631=1113。想想练练1.试找出10个回文算式。2.任取三个自然数，验证“回文数猜想”。