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1、高等数学作业集9答案第九章 多元函数微分学及其应用(C) e-1 ； (D) e . 第一节 多元函数的基本概念1.选择题: （1）函数z=ln41x2+y2+arcsinx2+y2定义域( A ).（A）1x2+y24； （B）1x2+y24； （C）1x2+y24； （D）1x2+y20得:1-x2-y21定义域D=(x,y)0x2+y21,y24x(2) z=arcsin（x2+2y2-1） 解: 由-1x2+2y2-11得:定义域D=(x,y)x2+2y224设f(x-y,yx)=x2-y2，求f(x,y) x-y=tt解:令y,得：x=1-s x=sy=ts1-st2代入得f(t,s

2、)=(1+s)1-s故f(x,y)=x2(1+y)1-y5.求下列极限：(1) lim1-(xy)2+ex；xy01x2+y3解: 原式=1-0+10+1=2 (2) lim1-cos(xy)；x2y00xy+1-1(xy)2(22+1+1)解:原式=limxyxy00x2y2=11(3)limsin(xy)x(1+xy)y； y20ysin(xy)1解:原式= limxx(1+xy)xyx=2e2 y20xy6判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1) limx2-yx；y00y解:当x0时，令y=kx2，则limx2-y=limx2-kx2=1-k，其值与k有关，故极限不存在x2y00

3、yx0y=kx2kxk(2) lim5x-6yxyx2+y； 解:当x,y时，有05x-6y5xx2+y2x2+y2+6yx2+y25xx2+6yy20， 故lim5x-6yx=0yx2+y21,x2+y207研究函数f(x,y)=的连续性（在哪些点220,x+y=0连续，哪些点不连续）解:limf(x,y)=10=f(0,0)，故函数在(0,0)处不连续，其它处均x0y0（B）limf(x0+x,y0)-f(x0,y0)xx0f(x0+x,y)-f(x0,y0)xx0f(x0+x,y0)xx0（C）lim（D）lim连续第二节 偏导数选择题：1sinx2y,xy0,(3) 设f(x,y)=x

4、y则fx(0,1)=（ ）0,xy=0,(A) 0 ； (B) 1 ； (C) ； (D) 不存在 .（1）fx,fy在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在该点连续的 条件是 （ D ）；（A）充分条件但不是必要条件；（B）必要条件但不是充分条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件； （2）设z=f(x,y)，则填空题z=+x2+y2(1)曲线 在点(1,1,)处的切线与y轴正向x=1所成的角是z=（ B ）x(x,y)00； 6y1z1z=-，=； ，则xxxyy（A）limf(x0+x,y0+y)-f(x0,y0)xx0(2)设z=ln(3)设f(x,y,z)=zexy，

5、则fx(0,0,1)=0，fy(0,0,1)=0，4求下列函数的二阶偏导数：fz(0,0,1)=13求下列函数的一阶偏导数：(1)z=xyx+y； zy2zx2解: x=(x+y)2 ，y=(x+y)2(2) z=(1+xy)x解:zx=(1+xy)xln(1+xy)+xy1+xy(3) u=xyz；解:u=yzxyz-1x，u=yzlnyxyzzlnx，zy=x2(1+xy)x-1u=zyz-1zyxylnx，(1)z=xln(x+y)解:zxx=ln(x+y)+x+y ，zy=xx+y， 2zx+2yx2=(x+y)2，2zyxy=(x+y)2， 2zx2y2=-(x+y)2，zyx=y(

6、x+y)2(2)z=arcsinxy；解:z=1xy2-x2，z-y=x， yy2-x22z=x(y-x)-32，222z=-y(y2-x2)-32x2xy， 2z-1-3y2=xy2(y2-x2)2+x(y2-x2)22z11322-yx=-y(y-x)2+x2(y2-x2)2 4，1,x2+y20,ycos22f2f-x2y23-x2y2， 解：，=ye=-2xye5设函数f(x,y)=x+y判断其在点(0,0)0,x2+y2=0,处的连续性和偏导数是否存在 解: 1） lim1x0f(x,y)=limx0ycosx2+y2=0=f(0,0)y0y0故函数在点(0,0)处连续； 2）ff(

7、0+x,0)-f(0,0)x(0,0)=xlim0x=xlim0-00x=0 f0,0+y)-f(0,0)y(0,0)=limf(y0yycos1=(y)2-0ylim0y=limcos1y0y2，极限不存在，故此点处关于y的偏导数不存在1.（1996.4）设f(x,y)=xy-x2f0et2dt，求yx2-22fxy+y2fxy2xx22fxy=(1-2x2y2)e-x2y2，由对称性，2f-y2x2y2=-2yx3e故x2f2fy2f-x2yyx2-2xy+xy2=-2e2第三节 全微分1）函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，且两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f

8、(x,y)可微的( B （A）充分条件,但不是必要条件； （B）必要条件,但不是充分条件； （C）充分必要条件；（D）既不是充分条件,也不是必要条件.).选择题：（12222zz(x+y)sin,x+y0dz=x+y=10.1+2(-0.2)=-0.3 x2+y2（2）设f(x,y)= xyx2+y2=00,求下列函数的全微分：则在原点(0,0)处f(x,y)( D ). (A)偏导数不存在； (B)不可微； (C)偏导数存在且连续； (D)可微 .(3) 在点(x,y)处df(x,y)存在的充分条件为（ C）（A）f的全部二阶偏导数均存在； （B）f连续；（C）f的全部一阶偏导数均连续； (

9、D)f连续且fx,fy均存在 2填空题：二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微的充分必要条件是limz-dz0=0，其中z=f(x+x,y+y)-f(x,y), dz为表达式fx(x,y)x+fy(x,y)x,=x2+y2求函数z=xy当x=2，y=1，x=0.1，y=-0.2时的全增量和全微分解:z=2.10.8-21=-0.32(1) z=x3y2解:zx=3x2y2 ，zy=2x3y dz=zxdx+zydy=3x2y2dx+2x3ydy (2) z=xy解: zx=12xy ，zxyy=-2y2 dz=zxdx+zydy=12xydx-xy2y2dy(3) u=ln(x2+y2+

10、z2)解:ux=2xx2+y2+z2 ，u2yy=x2+y2+z2，u2z=2zx+y2+z2du=讨论函数z=（2002.1）考虑二元函数f(x,y)的下列四条性质： （1）f(x,y)在点(x0,y0)连续；（2）fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)连续； （3）f(x,y)在点(x0,y0)可微分；2x2y2zdx+dy+dz 222222222x+y+zx+y+zx+y+zxy在点(0,0)处的可导性与可微性x0-0x（4）fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在.z=lim解:x(0,0)x0=0,若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ A ） A、（2）（3）（

11、1） B、（3）（2）（1） C、（2）（4）（1） D、（3）（1）（4）解：因为对于二元函数有如下蕴含关系：两个偏导数连续可推出函数可微，从而可推出函数连续且两个偏导数存在。故选A，其中=z=limy(0,0)x0故函数z=但lim00y-0y=0,xy在点(0,0)处的偏导数存在；xyz-dz=lim0x2+y2x2+y2)沿直线y=x趋于(0,0)时此极限不存在。故函数易知当(x,yz=xy在点(0,0)处不可微第四节 多元复合函数的求导法则1选择题：（1）设z=f(x,v),v=v(x,y)，则2zy2=( C ).(A)2fvyvy+fv2v； (B)fv2v； y2y2(C)2f

12、v2(vy)2+fv2v； (D)2fy2v2vy+fv2vy2. （2）设 z=ln x+y2x,则fy(1,0) = ( C ) (A) 1 (B) 2 (C) 12(D) 0 2求下列函数的偏导数或全导数：(1) z=x2-y2，x=3t,y=4t3解:dzdt=zxdxdt+zydydt=1x2-y2(3x-12yt3)=19t-48t5)9t2-16t6(2) z=y+f(v),v=y2-x2，其中f可导解:zx=f(v)vx=-2xf(v) zy=1+f(v)vy=1+2yf(v)(3) z=xey，y=(x)，其中可导解:dzdx=zx+zydydx=ey+xey(x) (4)设

13、z=u2v3,u=x+2y,v=x-y，求zzx,y 解:z=zu+zv=2uv3+3u2v2xuxvxzy=zuuy+zvvy=4uv3-3u2v2 (5) z=u2v3w，u=2t+1,v=t3,w=3t-1解:dz322223dt=4uvw+9uvwt+3uv 3求下列函数的偏导数：(1) z=f(x2+y3,sin(xy)，其中f可导，求zx，zy 解:zx=2xf1+ycos(xy)f2 zy=3y2f1+xcos(xy)f2 8uuu(2) u=f(x-ey+xsin(yz)，其中f可导，求，x2z+5x2y2f+2x3yf =2yf+2xf+2xy3fxyz解:u=(1-exxy

14、+sin(yz)f， uy=(-ex+xzcos(yz)f ，uz=xycos(yz)f(3) 设z=f(u,x,y),u=xey，其中f二阶可导，求z2zx，xy解:zx=eyf1+f2， 2z=eyfyxy1+xe2f11+eyf13+xeyf21+f23 22f具有二阶连续偏导数，求2(4) 设z=f(xy,xy),z2zx2，xy，2zy2 解: zx=y2fxyfz1+22，y=2xyf1+x2f2 2zx2=2yf2+y4f11+4xy3f12+4x2y2f22xy121112222zy=2xf221+4xy2f11+4x3yf12+x4f22 4已知函数f，g可导，验证u=f(x

15、+at)+g(x-at)满足2u2t2=a2ux2 证明：u=af-ag，2u22tt2=af+ag， u2x=f+g，2u2u2ux2=f+g，故t2=ax21.（2000.1）设z=f(xy,xy)+g(yx)，其中f具有二阶连续偏导数，92z求 xy解：（2）设 x+z=yfx2-z2则 z(A)x (B)y()zyz= ( A ) + xy(C)z (D)yfx2-z2()zx=yf1+1yf2+g(-yx2)=yf1+1yf2-gyx2，2zxy=f1+yf11x+f12(-x1y2)-x2f2+1x1yf21x+f22(-y2)-x2(g+yg1x) =f1-1y2f2+xyf11

16、-xy2f22-1x2g-yx2g 第五节 隐函数的求导公式1选择题：（1）设(x-az,y-bz)=0则azx+bzy= ( D ) (A)a (B)b(C)-1 (D)1（3）设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（ D ） （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y);(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,y)和z=z(x,y); （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).2设方程xy+x2+

17、y2=2确定了隐函数y=y(x)，求dydx 解:（公式法）令F(x,y)=xy+x2+y2-2，Fx=y+2xFy=x+2y，则dyFdx=-xF=-y+2x， yx+2y 提示：另还可用两边直接对自变量求偏导或两边求全微分的方法，过程略。下同。3设方程sin(x+y-z)=z+x确定了隐函数z=z(x,y)，求z，x则Fz=-x=-ye-xy(e-z+2)， xFzz，dz y解:（公式法）令F(x,y,z)=sin(x+y-z)-z-x，2zy2e-xy(e-z+2)2+e-(z+xy)=-3x2(e+2)5设隐函数z=z(x,y)由方程F(x+zz,y+)=0所确定，证明yxFx=co

18、s(x+y-z)-1xFy=cos(x+y-z)，Fz=-cos(x+y-z)-1则zz+y=z-xy xyzF2 2xFyFzcos(x+y-z)-1zcos(x+y-z)=-x=- xFzcos(x+y-z)+1yFzcos(x+y-z)+1cos(x+y-z)-1cos(x+y-z)dx+dycos(x+y-z)+1cos(x+y-z)+1-xy证明：Fx=F1-Fy=-11zF+F2, ，F=F+F112z2yxydz=4设方程e+e-zz2z求 =2z确定了隐函数z=z(x,y)，xx2zzF-F1F1-2F222FFxzyzy=-=-=-,=-,1111xFzFzF1+F2yF1+

19、F2yxyx故x解:令F(x,y,z)=e，Fz=-e-2z-xy+e-z-2z，Fx=-yexyzz+y=z-xy xy6求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数：x2+y2+z2-50=0dydz(1)设，求， dxdxx+2y+3z=4解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： 均有一阶连续的偏导数，求dydxy=f(x,t)解:联立方程组两边直接对自变量x求偏导，得： F(x,y,t)=0tdy=f+fxtdxx dytF+F+Ft=0xydxx故dydz2x+2y+2z=0dxdx 1+2dy+3dz=0dxdx故dy-3x+zdz2x-y=， dx3y-2zdx3y-2zfF-ft

20、Fxdy=xt dxftFy+Ftu3+xu=yuuvv(2)设3，求， xyxyv+yu=x解: 方程组两边直接对自变量x求偏导，得： 1（1995.1）设u=f(x,y,z),(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,均有一阶连续的偏导数，且v2u3u+v+x=0u-3v3-xv3u2+yvxx故=22，=22 x9uv-xyx9uv-xy3v2v+yu=1xxu3v2+xuv-3u3-y同理可得到：=，= y9u2v2-xyy9u2v2-xy(x,t),而t是由F(x,y,t)=0所确定的x,y的函数，7设y=f其中f,F12 du0,求 dxz第六节 多元函数微分学的几何应用 t1

21、1求曲线x=,y=sint,z=cost在对应t=的点处的切线方224程和法平面方程 122,-) 解:切向量T=(x,y,z)t=(,2244曲线在对应t=4的点处的切线方程为：x-1y-1z-2=，法平面方程为：x-y=0 1-1022x-y-z-=，法平面方程为：122-2243求曲面z=x2+y2在点(1,1,2)处的切平面方程和法线方程 解: 法向量n=(zx,zy,-1)(1,1,2)=(2,2,-1)12222(x-)+(y-)-(z-)=0，即2822442x+22y-2z=故所求切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0即4+3 22x+2y-z-2=0法线方程为

22、：4求椭球面x-1y-1z-2= 22-1x2+y2+z2=62求曲线在点M0(1,1,2)处的切线方程及法平面22z=x+y方程解:用隐函数组求导的方法得到x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面的方程，使平面过已知直线L:dydz2xz+x0=， dx-y-2yzdx-y-2yzx-6y-32z-1= 21-2解:设点M的坐标为(x0y0,z0) ，则切平面的法向量dydz点M0(1,1,2)处的切向量T=(1,)=(1,-1,0)dxdxM0曲线在对应点M0(1,1,2)处的切线方程为：1n=(2x0,4y0,6z0)，直线L过点(6,3,)，且方向向量为2l=(2,1,-1)，4x

23、0+4y0-6z0=01故有2x0(x0-6)+4y0(y0-3)+6z0(z0-)=0，2222x0+2y0+3z0=21s就是过点M(x,y,z)的某直线的方向向量（常向量），该直线就是所求平行于切平面的定直线x=t21（1992.1）在曲线y=-t的所有切线中，与平面x+2y+z=4z=t3平行的切线(A)只有一条 (B)只有两条(C)至少三条 (D)不存在x0=3x0=1解得y0=0或y0=2z=2z=200所求切平面方程为x+2z=7或x+4y+6z=21注：上题中在直线L上任取两点的坐标代入平面的方程，同样可求得点(x0y0,z0)，过程略5设F(u,v)是可微函数，证明：曲面（2

24、001.1）设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且(0,0)=3,fy(0,0)=1，则fx(A)dz(0,0)=3dx+dy;(B)曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)的法向量为3,1,1;F(ax-bz,ay-cz)=0(abc0)的切平面平行于某定直线证明：曲面在任意点M(x,y,z)处切平面的法向量n=(aF1,aF2,-bF1-cF2)，设向量s=z=f(x,y)1,0,3; (C)曲线在点(0,0,f(0,0)的切向量为y=0z=f(x,y)(D) 曲线在点(0,0,f(0,0)的切向量为3,0,1.y=0bc,1，有ns=0，即ns， aa3求函数u=xyz在点(3,4,5)处沿着锥面z=向的方向导数 解:x2+y2的外法线方第七节 方向导数与梯度1填空题：z=xxx2+y2=3z，=5yyx2+y2352=4，锥面的外法线方5,fy在点(x0,y0)(1) fx不充分也不必要条件（3，4，-5）向为，其方向余弦为cos=，cos=452，(2) 函数z=xexy在点(1,0)沿i+j方向的方向导数最大，其最大值是222求函数z=ln(x+y)在点(1,2)处沿着抛物线y=4x