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1、工作效率 =6（天） 两人合作需要6天. 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是 30（3+ 2）= 6（天） 数计算，就方便些. 2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也 需时间是 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏

2、重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些. 一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？解一：甲每天完成1/9，乙每天完成1/6。甲先做了3天，即做了整个工作的3/9，还剩下6/9，则乙完成剩余工作的天数为：6/91/64答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 （18- 2 3） 3= 4（天）. 解三：

3、甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后， 原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 如果甲独做，所需时间是 甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需

4、48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 （天）. 乙还需要做 56天. 例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的，

5、需要的天数是 2+8+ 1= 11（天）. 从开始到完工共用了11天. 设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 （30- 3 8- 1 2）（3+1）= 1（天）. 甲队做1天相当于乙队做3天. 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做23=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.

6、从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 乙队休息了5天半. 设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两队休息期间未做的工作量是 （3+2）16- 60= 20（份）. 因此乙休息天数是 （20- 3 2= （天）. 甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息天. 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 =（天）. 例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独

7、完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-48）份.由张、李合作需要 （60-48）（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）. 这两项工作都完成最少需要12天. 例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他们要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？设这项工程的工作量为3

8、0份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 两人合作，共完成 3 + 2 = （份）. 因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 （30-3（）=5（天）. 很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时 ，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时，甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 甲单独完成这件工作需要33小时. 这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整

9、数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 二、多人的工程问题 我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多. 例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 甲一人独做需要90天完成. 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.

10、请试一试，计算是否会方便些？例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天）. 说明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12（天），三人一共做了 2+6+12=20（天）. 完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 例11 一项工程，甲、

11、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 甲独做需要26天. 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. 例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.

12、问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 合作3天能完成这项工作. 甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成. 现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制

13、作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 丙车间制作了4200个零件. 10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成82=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87. 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128. 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400（12- 8） 7= 4200（个）. 例14 搬运

14、一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运 （60- 6 8）

15、4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运 （60- 54= 5（小时）. 三、水管问题 从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是 乙每分钟注入水量是 因此水池容积是 水池容积是27立方米. 例16 有一些水管，它

16、们每分钟注水量都相等.现在按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？开始时打开6根水管.例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 、乙、的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 以后（20小时），池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上

17、爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口. 因此，答案是28小时，而不是30小时. 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 60= 240（立方米）. 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 8 90， 其中 90分钟内流入水量是 4 90，因此

18、原来水池中存有水 8 90-4 90= 5400（立方米）. 打开13个水龙头每分钟可以放出水813，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要 5400 （8 13- 4）=54（分钟）. 打开13个龙头，放空水池要54分钟. 水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？设满水池的水量为1

19、. A管每小时排出 A管4小时排出 因此，B，C两管齐开，每小时排水量是 B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本普遍算术一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗

20、入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头数星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 原有草+4星期新长的草=124. 原有草+9星期新长的草=79. 由此可得出，每星期新长的草是 （79-124）（9-4）=3. 那么原有草是 79-39=36（或者124-34）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让 9018=36（头） 牛吃18个星期. 36头牛18个星期能吃完第三片牧

21、场的草. 例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子. 例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8

22、点几分？设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 从9点至9点9分进入观众是39， 从9点至9点5分进入观众是55. 因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是 （39-55）（9-5）=. 9点前来的观众是 55=. 这些观众来到需要 =45（分钟）. 第一个观众到达时间是8点15分. 例1、 挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？例2、 分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 例3、 2（3/10-1/6） 例4、 =24/30 例5、 =15（天） 例6、 1（1/6-1

23、/15）=10（天） 例7、 答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .例2.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？解设:规定时间为X天.（甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天） 1/（X-2）2 + X/（X+3）=1 X=12 规定要12天完成 11/（12-2）+1/（12+3） =1（1/6） =6天 答:两人合作完成要6天. 例3：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42

24、天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112 乙还要做（1-42/84）/（1/112）=56（天）【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作

25、量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：（1/101/15）11/66（天）两队合做需要6天完成。例2、一批零件，甲独做6小时完

26、成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（个）（2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）168（个）这批零件共有168个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7所以，这批零件共有 241/7168（个）例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做