高中数学竞赛教案讲义11圆锥曲线Word格式.docx

1、对于椭圆1（a0）, F1（-c, 0）, F2（c, 0）是它的两焦点。若P（x, y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5几个常用结论：1）过椭圆上一点P（x0, y0）的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2（c, 0）倾斜角为的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a（2a0）的点P的轨迹；到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（1）的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为焦点在y轴上的双曲线的标准方程为8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（a, b0）,a称半实轴长，

2、b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a, 0）, （a, 0）. 左、右焦点为F1（-c,0）, F2（c, 0），对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2（c, 0）是它的两个焦点。设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2） 过焦点的倾斜角为的弦长是。10抛物线：

3、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px（p0），离心率e=1.11抛物线常用结论：若P（x0, y0）为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；3）过焦点倾斜角为的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=,xOP=，则由

4、（，）唯一确定点P的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1与定义有关的问题。例1 已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。例2 已知P，为双曲线C：右支上两点，延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：F1K=KF1Q. 2求轨迹问题。例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。例4 长为a,

5、b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。例5 在坐标平面内，AOB=，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。3定值问题。例6 过双曲线（a0, b0）的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。H的横坐标为定值。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例7 设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC/x轴。证明：直线AC经过定点。例8 椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。

6、4最值问题。例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。5直线与二次曲线。例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。例12 若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。三、基础训练题1A为半径是R的定圆O上一定点，B为O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是_.2一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（0），则动点的轨迹是_.3椭

7、圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是_.4双曲线方程，则k的取值范围是_.5椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足F1PF2=600，则F1PF2的面积是_.6直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为_.7ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为_.8已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为_.9已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，

8、那么a=_.10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是_.11已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求F1PF2和PF1F2的面积。12已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a（2a1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_个.11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。12设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13已知双曲线C1：（a0），抛物线C2的顶点在

9、原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SAOB的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_.2设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ面积为_.3给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_.4设F1，F2分别是双曲线（a0）的左、右焦点，P为双曲

10、线上的动点，过F1作F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_.5ABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为（t,0）（tR+）,则|AT|的最小值为_.6长为l（l1）的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_.7已知抛物线y2=2px及定点A（a,b）,B（-a,0）,ab0,b22pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_.8已知点P（1，2）既在椭圆内部（含边界），又在圆x2+y2=外部（含边界），若a,bR+,则a

11、+b的最小值为_.9已知椭圆的内接ABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。10设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a0）,P（x,y）为轨迹上任一点，则化简为2k2x2+2y2=m2（1+k2）.当k1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。312由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。4-2k2或k5

12、.由（|k|-2）（5-k）5或-22.5.设两条焦半径分别为m,n，则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即（m+n） 2-3mn=144.所以，63x+4y-5=0.设M（x1,y1）,N（x2,y2），则两式相减得-（y1+y2）（y1-y2）=0.由，得。故方程y+1=（x-3）.7.-4.设B（x1,y1）,C（x2,y2），则=0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为8=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组得中心为（2,1），又准线为，知其实轴平行于y轴，设其方程为=1。其渐近线方程为=0。所以y-1=（x-1）.由题设，

13、将双曲线沿向量m=（-2,-1）平移后中心在原点，其标准方程为=1。由平移公式平移后准线为，再结合，解得a2=9，b2=16，故双曲线为=1。92曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为（2-y）2=a（2-x）,由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而=1，所以a=2.10（2，。设P（x1,y1）及，由|PF1|=ex1+a,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以，即。因，所以，所以即20,设x1,x2是方程的两根，由韦达定理 由，得 y1+y2=kx1+（1-2k）+kx2+（1-2k）=k（x1+x2）+2（1-2k）= 设P1P2的中点P坐标（x

14、,y），由中点公式及，得消去k得点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。高考水平测试题1由椭圆方程得焦点为，设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2. 所以b2=12, a2=36.2. 900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有1=BFB1，2=AFA1，又1=3，2=4，所以3+4=BFB1+AFA1=900。3相切，若P（x,y）在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，M为PF1中点，则|MO|=|PF2|=（a-ex），又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和（-a-ex）+a=（a-ex）=|MO|，所以两圆外切。当P

15、（x,y）在右支上时，同理得两圆内切。4与F1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=5充要。将y=2x+1代入椭圆方程得（b2+4a2）x2+4a2x+a2 （1-b2）=0. 若=（4a2） 2-4（b2+4a2）a2 （1-b2）=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。6y=2（x-1）。消去参数得（y-2m） 2=4（x-m），焦点为它在直线y=2（x-1）上。71mm,所以1m0），CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为（a2

16、k2+1）x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=由题设，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得（k-1）k2-（a2-1）k+1=0,解得 k=1或k2-（a2-1）k+1=0。对于，当1时，有两个不等实根，故最多有3个。11解 设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P（x0,y0）,F1PF2=,根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos,又|PF1|+|PF2|=2a，则4c2=（2a）2-2|PF1|PF2|（1+cos）,再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2（a2-e2）（1+co

17、s）.于是有由0，得，所以。因0，所以cos为减函数，故0当2b2a2即时，arccos，sin为增函数，sin取最大值当2b2a2时，arccos,0,，则sin最大值为1。12解 设A（x1,y1）,B（x2,y2），若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k（x+c），代入椭圆方程并化简得（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2 （k2c2-b2）=0. 则x1,x2为方程的两根，由韦达定理得因为y1y2=k2（x1+c）（x2+c），再由，得所以=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内，等价0，即k2（a2c2-b4）-a2b20对任意kR成立，等价于a2c2-b20,

18、即ac-b20,即e2+e-10.所以00，所以方程必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a20，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以（y1-y2）2=48a2（m2+1）.所以SAOB=|y1-y2|OF1|=aa，当且仅当m=0时，SAOB的面积取最小值；当m+时，SAOB+，无最大值。所以存在过F的直线x=使AOB面积有最小值6a2.联赛一试水平训练题1m5.由已知得，说明（x,y）到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数，由椭圆定义5.2.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SOPQ=absin

19、=.3.。设点P坐标为（r1cos,r1sin）,点Q坐标为（-r2sin,r2cos），因为P，Q在椭圆上，可得，RtOPQ斜边上的高为|OF|=c. 所以a2b2c2（a2+b2），解得e1时|AT|min=|t-2|.由题设kABkAC=-,设A（x,y），则（x0），整理得=1（x0），所以|AT|2=（x-t）2+y2=（x-t）2+（x-2t）2+2-t2.因为|x|2,所以当t（0,1时取x=2t,|AT|取最小值。当t1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.6.设点M（x0,y0） ，直线AB倾斜角为，并设A（x0-）, B（x0+）,因为A，B在抛物线上，所以由，得 2x0cos=sin. 因为l21，所以函数f（x）=.在（0，1在递减，所以。当cos=1即l平行于x轴时，距离取最小值7设，由A，M，M1共线得y1=，同理B，M，M2共线得，设（x,y）是直线M1M2上的点，则y1y2=y（y1+y2）-2px，将以上三式中消去y1,y2得y02（2px-by）+y02pb（a-x）+2pa（by-2pa）=0.当x=a,y=时上式恒成立，即定点为8。由题设且a2+2b215，解