算法设计技巧与分析习题参考答案Word格式.docx

1、数组的所有元素之和Ai i=1nSUM（low, high）1.if high = low then2. return Alow3.else4. mid（low+high）/25. s1SUM（low,mid）6. s2SUM（mid+1, high）7. return s1+s28.end if工作空间：mid（logn）, s1&s2（1）（后序遍历树，不断释放空间，故为常数（1），总的工作空间为（logn）.6.6 用分治法求元素x在数组A中出现的频次。freq（Alow, high, x）1.if high=low then2. if Alow=x then3. return 14.

2、else5. return 06. end if7.else8. mid （low+high）/29. f1 freq（Alow, mid）10. f2 freq（Amid+1, high）11. return f1+f212.end if复杂度:T（n）=T（n/2）+ T（n/2）2T（n/2） （设2kn2k+1）=2kT（n/2k） =2kT（1） = n6.16修改后的MERGESORT算法最大比较次数最小比较次数令n/2k=m2，展开可知：T（n）= 2kT（n/2k） + kn - （2k-1）= n/mm（m-1）/2 + nlog（n/m）- n/m+1= n（m-1）/2

3、+ nlog（n/m） -n/m+1 若T（n）=（nlogn）, 其中表达式有nm, nlogn, nlogm, n/m等.有n/m nlogm nm 且须有nm=O（nlogn）, i.e., nm cnlogn,则须有mclogn. 可令c=1,则mlogn. 另一方面，C（n） = 2kC（n/2k）+kn/2 = n/m（m-1） + （n/2）log（n/m）= （nlogn）6.35 split（Alow,.high）1. xAlow /备份为x2. while （lowhigh）3. while （low0） -high;4. Alow Ahigh5. while （low A

4、low0） +low;6. Ahigh Alow7.8.Alow x /这时, low=high7.3 动态规划法计算二项式系数，并分析其时间复杂度。1. for i1 to n2. Ci,0 1; Ci, i 13. end for4. for i2 to n5. for j1 to i-1 / min（k, i-1） /例如计算C6,26. Ci,j Ci-1,j-1 + Ci-1,j7. end8. end for9. return Cn.k复杂度分析： 或8.5硬币的面值为1, 2, 4, 8, ., 2k, 要兑换的值n2k+1，用贪心算法解这个问题，要求算法复杂度为O（logn）k

5、+1个不同硬币的面值，其中包括单位币（面值为1）若要兑换的值n，给出各个面值硬币的数目num0k1.将k+1个不同的面值按递增顺序排列，记为Value0.k2.num0k03.for j k downto 04. numj n/Valuej 5. nn - numjValuej6.end for7.return num0k8.16 修改Dijkstra算法，使它找出最短路径和它的长度。1. X=1; YV-1; 10; pre10;2. for y2 to n3. if y 相邻于1 then ylength1,y 4. else y 5. end if6. end for7. for j1

6、to n-18. 令yY, 使得y为最小的 9. XXy 10. YY - y 11. for 每条边（y,w） 12. if wY and y+lengthy,w w then13. w y+lengthy,w 14. prew y14. end if15. end for16.end for输出最短路径void PrintPath（int node） /输出格式为1node if （node=1） print（“1”）; else PrintPath（ prenode ）; /先递归再输出 print（“”, node）; 13.2 考虑3着色问题，给出一个算法判断一张图G=（V,E）的3

7、着色向量c1n是否是合法的。图G=（V,E），向量c1nflag=true 若合法着色；否则flag=false2. for i1 to n3. if ci04. for （i,j）E5. if cj0 and cj=ci6. return false;7. end if9. end if10. end for11. return true13.3 考虑3着色问题，给出一个算法判断一张图G=（V,E）的3着色向量c1k是否是部分的。图G=（V,E），向量c1ktrue 若着色是部分的；否则输出false2. for i1 to k5. if jk and cj0 and cj=ci13.10

8、设计一个回溯算法来生成数字1,2,n的所有排列。数字1,2,n数字1,2,n的所有排列c1,n向量1. for k 1 to n2. ck 05. k 1 6.while k17. while ckn-1 8. ck ck+19. if c为合法的then output c （and goto 12）10. else if c为部分解 then k k+111. end while 12. ck 0 13. k k-1 14. end while 14.7 对二分查找算法进行随机化，即每次迭代时，随机选择剩下的位置代替搜索空间减半，假设在low与high之间每个位置被选中的概率都是相同的。比较

9、这种随机化算法与二分查找的表现。n个元素的升序数组A1n和元素x若x=Aj, 1jn, 则输出j, 否则输出01. low1; high n; j02. while（low high） and （j=0）3. mid （ low+high）/2 / midrandom（low,high）4. if x=Amid then j mid 5. else if xm2.算法设计如下:1. k12. while km3. rrandom（1,n）4. ik-15. while i1 and rAi6. ii-17. end while8. if i=09. Akr10. kk+111. end if1

10、2. end while复杂度分析如下:每次随机生成一个新元素r，要查找r是否已经出现在已经选定的数字中。设生成第i个有效随机数时，平均要产生E（Xi）次, 则复杂度容易证明，且有因为m2n, 则，于是14.16 另解：算法设计思路如下: 生成一个1,n之间的随机数r，互换Xn和Xr；再生成一个1,n-1之间的随机数r，互换Xn-1和Xr；再生成一个1,n-m+1之间的随机数r，互换Xn-m+1和Xr；返回Xn-m+1n，即为随机选择的m个数。好处：不需要重复产生随机数；不需要额外空间。1.for in downto n-m+12. r random（1,i）3. XrXi4.end for5.return Xn-m+1n时间复杂度：（m）. 空间复杂度：（1）.