初中数学竞赛讲座之一有理数的巧算Word下载.docx

1、789+555789+211445分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算解 原式=（211555+211445）+（445789） =211（555+445）+（445+555）7891000+1000 =1000（211+789） =1 000 000说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧例3 计算：S=1-2+3-4+（-1）n+1n分析 不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”如果按照将第一、第二项，第三、第四项，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1

2、”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法解 S=（1-2）+（3-4）+（-1）n+1下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n2个（-1）的和，所以有当n为奇数时，上式是（n-1）2个（-1）的和，再加上最后一项（-1）n+1n=n，所以有例4 在数1，2，3，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性在1，2，3，1998中有19982个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇

3、数，故最小非负数不小于1现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0这启发我们将1，2，3，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+（1993-1994-1995+1996）-1997+1998=1所以，所求最小非负数是1说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化2用字母表示数我们先来计算（100+2）（100-2）的值：（100+2）（100-2）=100100-2100+2100-4=1002-22这是一个对具体数的运算，若用字母a代换10

4、0，用字母b代换2，上述运算过程变为（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式（a+b）（a-b）=a2-b2， 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算例5 计算 30012999的值解 30012999=（3000+1）（3000-1）=30002-12=8 999 999例6 计算 1039710 009的值解 原式=（100+3）（100-3）（10000+9）=（1002-9）（1002+9）=1004-92=99 999 919例7 计算：分析与解 直接计算繁仔细观察，发现分母中涉及到三

5、个连续整数：12 345，12 346，12 347可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-（n-1）（n+1）应用平方差公式化简得n2-（n2-12）=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690例8 计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）分析 式子中2，22，24，每一个数都是前一个数的平方，若在（2+1）前面有一个（2-1），就可以连续递进地运用（a+b）（a-b）=a2-b2了解 原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） =（

6、22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） =（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）= =（232-1）（232+1） =264-1例9 计算：分析 在前面的例题中，应用过公式（a+b）（a-b）=a2-b2这个公式也可以反着使用，即a2-b2=（a+b）（a-b）本题就是一个例子通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化例10 计算：我们用一个字母表示它以简化计算 3观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分87

7、，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算所以总分为9020+（-3）+1+4+（-2）+3+1+（-1）+（-3）+2+（-4）+0+2+（-2）+0+1+（-4）+（-1）+2+5+（-2）=1800-1=1799，平均分为 90+（-1）20=89.95例12 计算1+3+5+7+1997+1999的值 分析 观察发现：首先

8、算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法解 用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+1997+1999 再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+3+1 将，两式左右分别相加，得2S=（1+1999）+（3+1997）+（1997+3）+（1999+1）=2000+2000+2000+2000（500个2000）=2000500从而有 S=500 000说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等（本题3-1=5-3=7-5=1999-1997，都等于2），那么，这列数的求和问题

9、，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决例13 计算 1+5+52+53+599+5100的值分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算解 设S=1+5+52+599+5100， 所以5S=5+52+53+5100+5101 得4S=5101-1，说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决例14 计算：分析 一般情况下，分数计算是先通分本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来

10、把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法 解 由于说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用练习一1计算下列各式的值：（1）-1+3-5+7-9+11-1997+1999；（2）11+12-13-14+15+16-17-18+99+100；（3）19911999-19902000；（4）4726342+472 6352-472 633472 635-472 634472 636； （6）1+4+7+244；2某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85