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1、Lagrange算子可以描述如下： 其中：T ：系统的动能V ：系统的势能q ：系统的广义坐标则系统的动力学方程可用Lagrange算子描述如下： Lagrange方程可以简单的理解为系统的能量的变化随着系统外加作用力的变化而变化。一.1 一级倒立摆系统一.1.1 拉格朗日方法建立一级倒立摆系统的数学模型可以将一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.1所示。图2.1 一级倒立摆示意图各参数的物理意义及取值如表2.1：表 2.1 倒立摆物理参数符号意义及取值符号物理意义取值及单位M小车质量1.096 kgm摆杆质量0

2、.109 kgc0小车摩擦系数0.1 Nm-1sec-1c1摆杆摩擦系数0.0022 Nm-1sec-1l摆杆转动轴心到质心的长度0.25 mJ摆杆惯量0.0034 kgm2u控制力Nx小车位移小车速度m sec-1摆杆角度rad摆杆角速度rad sec-1首先计算小车的动能（）、摆杆的动能（）和系统的总动能（T）： 不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在一级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，系统的总势能为：小车与导轨之间的摩擦力和摆杆与小车之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为： 则系统总共损失的能量为：取系统的广义坐标系为：，则拉格朗日算子为：则系统的拉格朗日方程可以表示为：借助Mat

3、hemetica软件，由以上方程组可以得到一级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录一。一.1.2 一级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理现行的许多一级倒立摆稳摆控制39需要将倒立摆在倒立点附近做近似线性化处理。首先由式（2.9）可得：在倒立点附近，摆杆角度接近为零，角速度也较小，可以认为：将式（2.11）代入式（2.10），可得令 ：将2.12写成矩阵形式，可以得到一级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程，如下：一.2 二级倒立摆系统 一.2.1 拉格朗日方法建立二级倒立摆系统的数学模型将二级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的内、外摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自

4、然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.2所示。各参数的物理意义及取值如表2.2所示。图2.2 二级倒立摆示意图表 2.2 倒立摆物理参数符号意义及取值1.32 kgm1内杆质量0.04 kgm2外杆质量0.132 kgm3质量块质量0.208 kg0.1 N/m/sec内杆-小车摩擦系数0 N/m/secc2内-外杆摩擦系数l1内杆转动轴心到质心的长度0.09 mL1内杆长度0.18 ml2外杆转动轴心到质心的长度0.27 mJ1内杆惯量0.000108 kg*m2J2外杆惯量0.0034 kg*m2m/sec内杆角度内杆角速度rad/sec外杆角度外杆角速度）和内、外摆杆的动能（、）以及质量

5、块的动能则总动能为：不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在二级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，可以计算内外杆、质量块势能分别为：则总势能为：小车-导轨、内杆-小车、外杆-内杆之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：故系统总共损失的能量为：，则则拉格朗日算子为：系统的拉格朗日方程可以表示为：借助mathemetica软件，由以上方程组可以得到二级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录二。一.2.2 二级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理实现二级倒立摆稳摆控制的LQR40方法，需要对系统模型做线性化处理，在倒立点附近近似为线性时不变系统。在本文所规定的符号与方向的情况下，线性化结果

6、如下：在倒立点附近存在：将式（2.23）代入式（2.22），二级倒立摆系统动力学方程可以近似为：可以发现式（2.24）是二级倒立摆在倒立点附近线性化处理后的系统方程，若令：则可以得到二级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程：一.3 倒立摆微分方程数值解法对倒立摆系统的仿真分析，实质上是对系统数学模型求数值解的过程。对于这样的常微分方程数值解法按照求解步数可以分为单步法和多步法，单步法的代表是Runge-Kutta法，多步法的代表是Adms法；按照求解步长可以分为固定步和变步长的求解方式；按照求解精度可以将求解方法归为2阶、3阶、4阶等。下面不加推导的给出4阶经典Runge-Kutta法的

7、计算格式和Adms可变步长的4阶预测校正法的计算流程。已知微分方程初值条件，若x在区间 a，b 取（N+1）个等距节点，求对应的y的近似值。对于这样一个常微分方程的数值解问题，取步长h=（b-a）/N，4阶经典Runge-Kutta法求解格式如下41：Adams变步长的4阶预测校正算法的思路是：先用给定的初始步长，采用4阶Runge-Kutta法求出最初的三个节点，接着依据采用Adams-Bashforth 4步显式方法（式3.10）预测下一个节点的值，用Adams-Bashforth 3步隐式方法（式3.11）校正下一个节点的值。采用两种不同的方式计算的同一个节点的值，两个计算结果之差若在合

8、理的范围内，则认为计算精度满足要求，无需改变步长；若过大则认为计算精度不够，需减小步长以提高计算的准确性；若过小则认为计算精度超标，需增大步长以提高计算效率。若步长合适则保存结果，并采取当前步长继续预测、校正下一个节点。否则，改变步长重新采用Runge-Kutta法计算前面三个节点，然后对新步长做评价，不断的重复这一过程直到找到合适的步长为止。在计算快要结束时应当注意选取合适的步长以包含最后一个节点。Adams-Bashforth 4步显式方法：Adams-Bashforth 3步隐式方法：通常高阶方法可能拥有更好的计算精度41，比如二、三、四阶方法对应的局部截断误差是分别是O（h2）、O（h

9、3）、O（h4）。但并不是说高阶的方法拥有更好的效果。这是由于插值多项式并不是次数越高逼近精度越好。另外，高阶的方法将花费更多的求解次数42，如表2.3。因此，常微分方程的数值解通常采用小于5阶的求解方法。表2.3 求解次数与截断误差每步求解次数2345n78n910n最佳可能的截断误差O（h2）O（h3）O（h4）O（hn-1）O（hn-2）O（hn-3）在MATLAB当中能方便的实现微分方程的数值解，常用的求解器及说明如表2.4：表2.4 解常微分方程初值问题MATLAB的求解器求解器含义ode232、3阶Runge-Kutta法ode454、5阶Runge-Kutta法ode113多步A

10、dams法ode23t适度刚性问题梯形法ode15s刚性微分方程组多步法ode23s刚性微分方程组2阶Rosenbrock法ode23tb刚性微分方程组低精度算法odesetode命令选项设置对常微分方程初值问题，MATLAB的求解指令具有相同的格式，以最常用的ODE45为例说明如下：常用格式 t，y = ode45（odefun，tspan，y0）完整格式 t，y = ode45（odefun，tspan，y0，options，p1，p2，）详细的参数说明如表2.5：表2.5 ODE求解指令参数说明参数odefunf（t，y）的函数句柄或内嵌函数tspan自变量的初值和终值y0初值向量t标量

11、，返回节点列向量y标量或向量，返回数值解矩阵options设置的计算参数，默认可用空矩阵表示p1，p2，为附加传递参数，这时odefun 必须表示为f（t，y，p1，p2，）可以在MATLAB当中可以编写m文件求解一、二级倒立摆系统的微分方程组。求解器选取ODE45的详细程序清单见附录三。一.4 本章小结 本章介绍了建立一、二级倒立摆系统的数学模型的拉格朗日方法，借助mathemetica软件得到相应的微分方程组，并在倒立点附近做了近似线性化处理。在倒立摆的仿真过程当中，摆起过程采用微分方程组构建建立倒立摆的准确模型，稳摆过程可允许采用线性化处理后的模型。并简单介绍了几种微分方程数值解法的思想和在MATLAB中的数值求解命令。采用MATLAB（求解器为ODE45）分别编写了一、二级倒立摆微分方程的求解程序。XXXXX养羊 可行性报告XXXXXX养羊可行性报告一、地理位置 XXXXX村位于XXXXX市XXXX县XXXXX乡，距XXXXX市约95公里，距XXXXXX县约43公里，距XXXXX县约54公里，纬度XX到XX，省道贯穿XXXX两县。二、自然条件XXXXXXX村海拔在XXXXX米之间，年均降雨量350毫米，蒸发量1450毫米，年平均气温6.7，无霜期