二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方Word下载.docx

1、l lXnCn2y2Cnnyn的一个（1.4）称为由X1,X2丄,Xn到y1, y2丄,yn线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式0,那么线性替换（1.4）就称为非退化的.在研究二次型时，矩阵是一个有力工具，因此我们先把二次型用矩阵来表示令 aij aji,则有 2ajXiXj aXjajjXjXj,于是（1.3）式可以改写为f（X1,X2丄,Xn） *11X1 42为X2 L2 1821X2X1 822X2 la1nX1Xna2nX2XnI I 2L an1XnX1 an2XnX2 L a.nX.X1（a11X1 a12X2 L amXn）X2 （*21X1 822X2 LL Xn（an1

2、X, an2X2 La2nXn）annXn）（X,X2,L ,Xn）（Xi,X2,L，Xn）anX1 a12X2a1nXna21X1a22X2a2nXnamX,n2X2annXna11a12La1na21a22a2nMan1an2annXi记a 21则二次型可记为xt Ax,X（1.5）其中A是对称矩阵.称（1.5）式为二次型的矩阵形式例 8.1.4 二次型 f （x, y,z） 2x2 2xy 3xz y2 4yz J3z2 的矩阵形式为f （x, y, z） （x,y,z） 132 X2 y品z任给一个二次型就唯一地确定一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确定一个二次型.因此，二次

3、型与对称矩阵之间有着一一对应的关系 .把对称矩阵 A称为二次型f的矩阵，也把f称为对称矩阵A的二次型.称对称矩阵A的秩为二次型的秩.例8.1.5给定对称矩阵则其对应的二次型为：f （X1,X2, X3, X4） X,24x1x22X36x1X46X2X32x2x4 3x| 4x42作线性替换XCy，其中c11CI2C1ny021C22C2ny2C,yCn1Cn2Cnnyn对于二次型f xtAx ,f xT Ax （Cy）T A（Cy） yTCT ACyyT（CTAC）yB CTAC，则有 BT （CTAC ）T CTAT（CT）T CTAC B ,即 B 是对称矩阵.这对称矩阵B同样定义了一个

4、二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型定义8.1.6设A,B是数域P上的n阶方阵，如果有数域P上的n阶可逆矩阵C，使得CtAC B则称矩阵A与B合同，记作A ; B.合同是矩阵之间的一个关系 .易知，合同关系具有：（1）反身性：即A与A合同，因为A EtAE ；（C 1）tbc 1；B c/ AC 1 和.这样，我们就对称性：即若A与B合同，则B与A合同，因为由B CtAC ,即得传递性：即若A与B合同，B与C合同，则A与C合同，C C2TBC2,即得 C C2TBC2 （C1C2）T A（C1C2）.经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 把二次型的变换通过矩阵表示出

5、来 ，为以后的讨论提供了有力的工具 .另外，在二次型变换时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的 ， 因为这样我们可以把所得的二次型还原 定理 8.1.7 若 A 与 B 合同,则 rankA rankB .证明：因为A与B合同，所以存在n阶可逆矩阵C ,使得C T AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩 ，故rankA rankB .这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证 这样，若B是对角矩阵，则非退化的线性替换X Cy就把二次型化为了标准形 因此，把二次型化为标准形的问题其实质是 ：对于对称矩阵A ,寻找可逆矩阵C，使得CtAC B为对角矩阵8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非

6、退化的线性替换化简二次型的问题，即只含有平1 配方法 定理 8.2.1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形 方项 .证明 ： 对变量的个数 n 作数学归纳法 .对于 n 1，二次型就是 f （X1） a11X12 ， 显然已经是平方项了 现假定对 n 1元的二次型 ，定理的结论成立 .再设 f （x1，x2，L ，xn ）i1naij XiXj （aij aji ）j1分三种情形来讨论 ：aii（i 1,2丄，n）中至少有一个不为零，例如 a110 ， 这时f（X1，X2，L ，Xn） a11X12a11X12a11（x12 a1j X1Xjj212a11 a1 j

7、 Xj ）a111a1jXj）2a1j X1Xjnnaij Xi Xj2j2a111（ a1jXj ）bij XiXji2j2ai1 xi x1aijXiXjaij XiXj这里i2a11 （ a1j Xj ）是一个关于X2, X3丄,Xn的二次型令这是一个非退化线性替换 ,它使由归纳法假定 ， 对能使它变成平方和于是非退化线性替换y1x11 a11 a1j xjLLx2xna111a1 j yjf （x1,x2,L ,xn）2 a11y1bij yi yj2 j 2bijyiyj 有非退化的线性替换 j2z2c22 y2c23y3c2nynz3c32 y2c33y3c3nynzncn2 y2

8、cn3y3cnnynd2z22 d3z32 L2 nzn就使 f （x1,x2,L ,xn） 变成z1c23 y3 Lc2nycn3y3 Lcnnyxn）2 a11z1d2z22d3z3f （x1,x2,L ,dnzn即变成平方和了 .根据归纳法原理 ,定理得证 . 所有aii（i 1,2,L , n）都等于零，但是至少有一个 的 0（ j 2,3丄，n）,不失普遍性，设a12 0.令z1 z2x3它是非退化线性变换 ,且使f （x1,x2,L ,xn） 2a12x1x22a12 （ z12a12 z1z2 ）（ z1 z2） L2a12z2 L这时，上式右端是Zi,Z2丄,Z的二次型，且Z1

9、的系数不为零，属于第一种情况，定理成立. aii ai2 L ain 0,由对称性知 a2i a3i L a.i 0根据归纳法假定 ,它能用非退化线这时 f （x1, x2,L ,Xn） SijXjXj 是 n 1 元的二次型,性替换变成平方和 . 证毕 .例 8.2.2 用配方法化二次型f（x1,x2,x3） x12 2x222x1x22x1x3 6x2x3为标准形 ,并写出所用的非退化线性替换解 : 由定理的证明过程 ,令x1 x2 x3y1 y2 y3y3得: f（x1,x2,x3） y12 y2上式右端除第一项外已不再含y1 , 继续配方 ,令y2 2y3 ,z2 2z3得：f （Xi

10、,X2,X3） Zi2 z2所有的非退化线性替换为例8.2.3 用配方法化二次型X3f （Xi,X2,X3,X4） 2X1X2为标准形，并写出所用的非退化性替换解：由定理的证明过程，令代入原二次型得：f （Xi,X2,X3, X4）这时yi2项不为零，于是f（Xi,X2,X3,X4）（2y122（y12y32y4）2（%11y31 2 尹4）2（ y11 “31 2 二 y4）2y22于是，f （Xi,X2,X3, X4）Z1 Z2 Z3Z2 2z3Z3X1X3X42yi22y1y3 2炖4）1 2 4y31 2741（y3yiy434丫3丫4y4）2x1x4 X2X3 X2X4 2x3x42

11、yiy3 2yiy4 2丫3丫42丫3丫42y22 2 y3y42Z122z22其中Z4的系数为零，故没有写出Z1尹3Z2Z42Z3为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中 ，得ZiiZZ3在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的.有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确.如若令则 f（Xi,X2,X3）f （Xi，X2，X3）X2）2（Xi2 2 22x1 2x2 2x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3X3）2（X22 yiy3 .然而，所以，此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的2初等变换法由于二次型与对称矩阵对应,

12、所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用矩阵的方法做到，由 8.i我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵 .于是，定理8.2.i可以用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P上任意一个对称矩阵 A都合同于一对角矩阵 D.即存在可逆矩阵C ,使dictac dd2（2.i）dn现在我们就根据定理 8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理 8.2.4中的可逆矩阵C及对角矩阵D.由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C可以表示为有限个初等矩阵 Pi, P2,L ,Pm将 （2.2） 式代入 （2.1）式, 得PmT L P2TP1TAP1P2L Pm D（2.3）（2.3）式表明,对对称矩阵 A施行m次

13、初等行变换及相同的 m次初等列变换,A就变为这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵了对角矩阵D.而（2.2）式表明对单位矩阵 E施行上述的初等列变换,E就变为可逆矩阵 C .C及对角矩阵 D,使得A与D合同的方法称为 初等变换法 . 具体做法 : 对以 n 阶对称矩阵A和n阶单位矩阵E做成的2nn 矩阵进行初等变换对A施行初等行变换对2n n矩阵施行相同的初等列变换则 C T AC D .例 8.2.5 已知对称矩阵A1用初等变换法求可逆矩阵C 及对角矩阵D, 使得 A 与 D 合同 .解:r2c2（ 1）r1（ 1）c1r3c3（ 2）r2（ 2）c2所求可逆矩阵D 为:且 C T AC D .例

14、 8.2.6 已知二次型f （x1,x2,x3）2x1x36x2x3用初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换二次型对应的矩阵为于是有，C2（尹（扣3C34”24）C2丄故非退化线性替换为这样，二次型化为2y1222y 6y3 8.3惯性定理我们知道，二次型与对称矩阵，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵 .又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的，就是矩阵的秩.因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的比如在例8.2.6中，我们还可以进一步，令

15、Z1 V2y1，z2则二次型化为 f zj z22 z32.这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关F面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题设对称矩阵A的秩为r,则由定理824知，存在可逆矩阵C，使得矩阵A合同于对角矩阵D,即dr,di 0,i 1,2,L ,r即此时原二次型化为f （X1,X2,L , Xn） d1X1在这些不为零的 dj中,假设d1 0, d2（1）在实数域内，我们令yp 1d2X2 d3X3何X1,y2J dp 1Xp 1, yp 2drXr2（3.1）0,L ,dp 0;d p10,dp 2 0,L ,dr0 ,这样d

16、2 X2 ,L,ypJ庙Xp,dp 2Xp 2,L,yr厂d?Xr则（3.1）式变为：f（x,x2,L ,Xn） yj 鸟2yp yp 1yp2L yr2这就是说对称矩阵A合同于下列对角矩阵：,其中有P个1, rP 个 1,n r个0.（2）在复数域内，我们令f （XhX2丄,xn）斬X, y2辰X2,L ,yr 7d?L yr2这就是说对称矩阵 A合同于下列对角矩阵：定义 8.3.1实二次型的规范形 .定理 8.3.2 （则必有,其中有r个1.在实数域内 , 称 f（x1,x2,L ,xn）y12y22规范形 ; 在复数域内 , 称 f （x1,x2,L ,xn）惯性定理 ） 设f （x1,

17、x2,L y22 L z22 L,xn）yp2zq2是一个y2p 1q.证明 : 用反证法 . 设 p q, 由前面知识知 ,L yp2zqzq 1又设By,x其中于是，z C 1By.令1B因为 p q ,齐次线性方程组y2p22y2p 2 L yr2 为yr 为复二次型的n 元实二次型 ,且 f 可化为两个规范形 :y2p 2Ly2p 2Cz,z2Lyr2 ,zryr2（3.2）c12c1nc21c22c2ncn1cn2cnnc11y1c12y2c1n ync21y1LLLcn1y1cn2y2cnn ync1nyncq1y1cq2y2cqn ynyP 1yn 0必有非零解（n个未知数,n

18、（P q）个方程式）. 令其中一个非零解为y1 a1，y2 a2，L ，yPaP,yP 10,L , yn把这组解代入 （3.2）式中的上式 ， 得到:2 2 2 2y12 y22 L yP2 y2P 1 Lz2 L zq 0，故（3.2）式中的下式为2 2 2 2 2z1 z2 L zq zq 1 L zr但这时 z1aP2zq2 1这样就得出了矛盾 .同理可证 P q 也不可能 .于是 P q.证毕.说明 : 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的定义 8.3.3 在实二次型的规范形 f（x1，x2，L ，xn）yP2yP 1 yP 2L yr中，则称r是该二次型的秩，P是它的正惯性指数,

19、q r P 是 负惯性指数 , sP q 称为f 的 符号差 .推论 8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数 定理835设f（x1,X2丄,xn）是一个n元复二次型，则f经过适当的非退化线性替换可以 化为规范形 ，且规范形是唯一的 .推论 8.3.6 两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩8.4 正定二次型在实二次型中 ，正定二次型占有特殊的地位 . 所以本节主要介绍实二次型 ，并讨论它们的正定性 .定义8.4.1设f （Xi,X2,L ,Xn） xTAx是一个n元实二次型,如果对任意n维列向量x 0都有 :（1）f 0，则称 f 为正定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为

20、正定矩阵 ;（2）f 0，则称 f 为负定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为负定矩阵 ;（3）f 0，则称 f 为半正定二次型 ，并称实对称矩阵 A 为半正定矩阵 ;（4）f 0,则称 f 为半负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为半负定矩阵 ;（5）f 既不满足 （3） ,又不满足 （4） ,则称 f 为不定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为不定矩阵 .例 8.4.2 已知 A 和 B 都是 n 阶正定矩阵 , 证明 A B 也是正定矩阵 .因为a和B都是n阶正定矩阵，所以AA，BTB , 于是（A B）T AT BT A BB 也是对称矩阵 .又任意x 0，有 xTAx 0，xTBx 0，从而xT（A B）x xTAx xTBx 0即xT（A B）x是正定二次型，故a B是正定矩阵.定理843 n元实二次型f（Xi,X2丄，Xn） xtAx正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 n.设n元实二次型f（Xi,X2丄,xn） xtAx经过非退化线性替换 x Cy化为标准形di yi2充分性已知 di 0（i 1,2,L , n） ,对于任意 x 0有 y C 1x 0,故