等底等高的两个三角形Word文档下载推荐.docx

1、提示：过B作直线DF的垂线，垂足为M运用全等三角形同样可证另外运用三角函数也能进行证明如果D在BC或CB的延长线上，有下列结论：|DEDF|BH问题：这个问题的另外一个表达形式：将此结论推广到等边三角形：等边三角形中任意一点到三边的距离的和等于等边三角形的一条高。证明的方法与上面的方法类似。这是两条很有用的性质。如果点在三角形外部，结论形式有所不同，道理是一样的如图，已知等边三角形ABC和点P，设点P到三角形ABC三边ABACBC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，三角形ABC的高为h。解答提示：如图，过P作BC的平行线交AB、AC的延长线于G、H，作HQAG先证明PDPEHQ（见：）

2、而HQAN，FPMN所以PDPEPFANPFAMMNPFAM即h1h2h3h另外一个变式问题：已知：如图，在ABC中，C90，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PEBD，PFAD，垂足分别为点E、F。（1）当A30时，求证：PE+PFBC（2）当A30（AABC）时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明：如果不正确，请说明理由。腰长5厘米 底边长6厘米 p是底边任意一点 pd垂直于ab pe垂直于ac 垂足为d e pd+pe=解：作底边BC上的高AM，设腰上的高h，连接PA因为ABAC5，BC6所以BMCM3所以根据勾股定理得AM4因为SABCBC*AM/2AB*h/21

3、2所以h24/5因为SABCSABPSACPAB*PD/2AC*PE/2所以5*PD/25*PE/212所以PDPE24/5如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两天边长AB/BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和。 设AC、BD交于O，作AEBD，PMAC，PNBD，连接OP 因为AB8，BCAD15所以根据勾股定理得BD17因为SABCAB*AD/2AE*BD/2所以可得AE120/17因为四边形ABCD是矩形所以OAOD因为SOADSOPASOPDOA*PM/2OD*PN/2（PMPN）*OD/2SOADAE*OD/2所以PMPNAE120/17

4、例谈三角形同底等高等积法的妙用 利用三角形的同底等高将一个三角形转化成等面积的三角形，这是很有用的等积转化模型.如图，已知直线mn，点A，B在直线n上，点C，D在直线m上，SABC=SABD.通常借助平行线，构造同底等高的模型，灵活进行等积转化，巧妙解决实际问题.下面提供几例，以飨读者. 一、将五边形转化成等积四边形 例1 如图1，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点 M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积. 解析 如图2，连EC，将五边形ABCDE转化成一个四边形ABCE和一个ECD，过点D作DFEC交BC延长线于点F，连接EF，利用同底等高的模型

5、将ECD转化成等面积的ECF，则四边形ABFE即为所要求的等积四边形. 例2 如图3，折线EFG把四边形ABCD分成了两部分，请将折线EFG改成线段，并保持原四边形ABCD被分成的两部分面积不变. 解析 一道应用问题，本质与例1相似，将左边的五边形ABGFE转化成一个等积的四边形即可，方法同例1. 二、等分任意多边形的面积 例3 如图4，张大爷家有一块四边形菜地，在A处有一口井，张大爷想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，已知AD解析 这是一道将四边形面积等分实际应用题，利用同底等高等积法可以将任意多边形面积等分，现以五边

6、形ABCDE为例（如图5）. 1.连接对角线AC，过点B作BFAC交DC延长线于F，连接AF，将五边形 转化成四边形AFDE（如图6）. 2.连接四边形AFDE对角线AD，按照1的步骤，将四边形AFDE转化成AFG（如图7）. 3.作AFG的中线AH，则可等分五边形ABCDE面积. 三、作任意四边形黄金分割线 参考文献 1赵永苓.探索黄金分割线的教学设计.初中数学教与学，2009（2）. 2赵军.四两拨千斤.初中数学教与学，2012（12）. 三角形的底和高教学设计三角形的底和高教学设计鲁塘小学 苏宏富一、教学内容：苏教版小学数学四年级下册第三单元三角形P24-25例题及想想做做13题）二、教

7、学目标知识与技能：让学生在操作中体会高的概念，理解高和底的关系，会用三角板作三角形内部的高；过程与方法：通过动手操作，让学生在探索中掌握新知识，提高观察能力和动手操作能力。情感、态度价值观：联系生活中的实例，让学生感受数学的实用性，进一步培养学生的空间观念。感受数学来源于生活，也应用于生活。三、教学重点、难点认识三角形的底和高，正确画出三角形内部的高。四、教学、学具准备1、含三角形的图片若干张2、直尺、一副三角板、白纸若干张3、木条钉成的四边形和三角形五、教学安排：一课时六、教学过程（一）复习导入 11、这是什么？（幻灯片出示）2、日常生活中，仅知道三角形具有这些特征是不够的，还需要懂得它的底

8、和高。那么，什么是三角形的底和高呢？它的底和高又有什么关系呢？就让我们在这节课中找到问题的答案。3、板书课题：三角形的底和高（二）新授课1 2 七、板书设计3若等腰三角形的顶角与一个底角之和为1103、若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110，则顶角的度数为_2如右图：ABC中，AB=AC，A=36，D是AC上一点，若BDC=72，则图形中共有（ ）个等腰三角形。A1 B2 C3 D41以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是 （ ）A2，3，4 B4，5，6 C1，2， D2，42、在下列定理中假命题是（ ）A一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B一个直角三角形必能分成两

9、个等腰三角形C两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形3、如图，RtABC中，B=90，ACB=60，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（ ）A1：1 B3：1 C4：1 D2：34如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A、1处 B、2处 C、3处 D、4处l1l2l3 第4题7.不等式2x 1 3x 3的正整数解的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5.如果直角三角形的边长分别是3,4，x,则x的值是1、已知一次函数y 2x 6.（1）当x 时，y 0;

10、（2）当x 时，y 0; （3）当x 时，y 0;y的取值范围是5、已知一次函数y kx b的图象如图所示，当x 0时，（ ）.A. y 0 B. y 0 C. 2 y 0 D. y 2 （第5题图）8、一次函数y1 kx b与y2 x a的图象如图，则下列结论k 0；a 0；当x 3时，y1 y2中，正确的个数是（ ）.A.0 B.1 C.2 D.3 （第8题图） 4如图所示，一次函数ykxb（k、b为常数，且k 0）与正比例函数yax（a为常数，且a 0）相交于点P，则不等式kx+bax的解集是（ ）Ax1 Bx2 Dx以 用 过 已 当 可 顶 点 的一 条 直 线 将 它 分 割 成

11、两 个 等 腰 三 角 形 ？ 如 何 分 ？ 探 索 结 论 可 以按 三 角 形 三 个 角 的 关 系 ， 类 讨 论 如 下 ： 分 （ ） 等 边 三 角 形 时 ， 然 不 能 分 为 两 个 等 腰 一 当 是 显 三角形 。 （ ） 顶 角 小 于 底 角 的 等 腰 三 角 形 时 ， 妨 设 二 当 是 不 ， 图 （ ） 如 。此 时 ， 能 从 只 或 分 出 一 个 角 ， 之 等 于 ， 中 使 不 妨 设 ， 样 等 腰 三 角 形 。使 是 这 是 要 也 等 腰 三 角 形 ， 可能 是 只 ： 或 。 若 ， 设 ， 则 。 ， 。由三 角 形 的 内 角

12、和 ， 得 ， 的三 个 内角 分 另 是 ， 。 。 。若 设 则 ， ， ， 一 ） 从 中 分 出 这样 ， 是 等 腰 三 角 形 ， 如 图 （ ） 要 使 是 等 腰 三 角 形 ， 。 也 只可 能 ， 或 。、 若 ， 设 ， ， 。 。则 ， 。 ， 。由三 角 形 的 内 角 和 ， 只需 得 ： ， 即 是直角三角形 。 若 ， 设 ， 则 ， 。 。 。即只 需 最 大 角 是 次 大 角 的 。 ， 。 倍 从 中 分 出 ， 这样 ， 是 等 腰 三 角 形 。 如图 （） 。要 使 也 是 等腰 三 角 形 ， 三 种 可 能 ： 有 若 ， 设 ， 。则 即 只

13、需 次 大 ，角是最小角的 。倍 （ 若 ， 设 。则 。 。， ， ， 三 角 形 的 内 角 和 ， ， 即 只 。由 得 ， 需 是 直 角 三 角形 。 若 ，设 ，则 ， 。 。 。即只 需 最 大 角 是 最 小 角 的 。 ， ， 倍 综上所述 ， 能分 割 成 两 个 等 腰 三 角 形 的情 形 如 下 表 满足 的条 件 情形 有一 个角是 。分割方法 作 斜边上 的中线 。 从 中分 出一个 与 相等 的角 ， 并 情形 有一个 角是另一 个角的 倍 ， 如 以这个 角和 为 两个 内 角构 成 一 且 。个 等腰三角形。 由三角形 的 内角 和 ， ， 得 ） ， 一

14、三个 内角分别 是 （ ） ， ） 。 二 。 。 （ 。 图（ ）图（ ）（ ） 顶 角 大 于 底 角 的 等 腰 三 角 形 时 ， 妨 设 三 当 是 不 ， 图 （ ） 如 。从最 大角 中分 出一个角 等于最 小角 ， 并 有一个最 小角 ， 其余 两个角 中至 少有 一 以这个角 和最 小 角为两 个 内角 构 成 且 情形 个是这个 最小角 的 倍 一个 等腰三 角形 ， 或从 次大角 中分 出一 。 个角 等于最小 角 ， 并且 以这个 角和最 小 角 为两个 内角构成一个 等腰三 角形。 注 如果三 角形的三 个内角满足 上述几种 情形 ， 比如 ， 既有 倍关 系， 又有

15、符 合要 求 的 倍关 系 ， ， 等等 那么分割 方法不惟 一。此时 ， 只能 从 中分 出 一 个 角 ， 之 等 于 使 或 ， 不妨 设 ， 样 ， 这 是 等 腰 三 角 形 。要 使 也 是等腰三角形 ， 只可 能 ， 或 。 若 ： ， 设 ： 。 。贝 。由 三 角 形 的 内 角 和 得 ， ， 三 个 内 角 分 别 是 。 。 的 。 若 设 。， ， 则 ： 。 ， 。由 角 形 的 内角 和 ， ， 得 ， 三 个 内角 分 别 是 。 的 。 （ ） 不 等 边 三 角 形 时 ， 妨 设 四 当 是 不 。二 、 用 举 例 应 问题 （ 浙 江 宁 波 中 考题

16、 ） 年 （ ） 图 ， 。请 用 直 尺 和 圆 规 作 一 条 直 如 ， 中 ， 线 ， 割 成 两 个 等 腰 三 角 形 （ 写 作 法 ， 须 保 留作 把 分 不 但 图 痕 迹 ） 。（） 已知 内角 度 数 的 两 个 三 角 形 如 图 图 示 。请 你 判 、 所 断 ，能 否 分 别 画 一 条 直 线 把 它们 分 割 成 两 个 等 腰 三 角 形 ？ 若 能 ， 写 出分 割 成 的两 个 等 腰 三 角 形 顶 角 的度 数 。请 此时 ， 只能 从 分 出 一 个 角 ， 之 等 于 ， 从 中 使 或 中分 出 一 个 角 之 等 于 使 或 从 分 出 样

17、 ， 中 这 是 等 腰 三 角 形 。 如 图 （ ） 要 使 是 等 腰 三 角 形 ， 可 能 ， 。也 只 或 。 ： 图 图 图 解 ： 只 需 作 斜 边 上 的 中线 即可 ， 略 。（） 图 （ ） 图 ， ， 以从 中分 出一 个 在 中 ， 所 。（ 角 与 相 等 ） 并 且 以 这 个 角 和 为 两 个 内 角构 成 一 个 ， 等 腰 三 角 形 即可 。分 割 成 的 两 个 等 腰 三 角 形 的 顶 角 分 别 是 和 。图 （） 最 大 角 是 最 小 角 的 。倍 图（ ）图（ ） 若 设 ， ， ， 。则 。即只需 若 ，设 ，则 ， 。 。 ， 。即只

18、 需 次 大 角 是 最 小 角 的 。倍 在 图 ， 。不 能 分 割 成 两 个 等 腰 三 角 形 。中 问题 （ 山 西 太 原 中考 题 ） 年 数学课上 ， 同学 们 探 究 下 面 命 题 的正 确 性 ： 角 为 的等 腰 顶 三 角 形 具 有 一 种 特 性 ， 即经 过 它 某 一 顶 点 的 一 条 直 线 可 把 它 分 成 两 个 小 等 腰 三 角 形 。为 此 ， 你 解 答 问题 （ ） 请 。（ ） 知 ： 图 （ ） 在 已 如 ， 中 ， 直 线 ， 。， 平 分 于 点。 交 求 证 ： 与 是 等 腰 三角 形 。 都 （ ） 证 明 了该 命 题

19、后 ， 颖 发 现 ： 列 两 个 等 腰 三 角 形 在 小 下 如 图 （） （ ） 具 有这 种 特性 。请 你 在 图 （ ）图 （ ） 、 也 、 中分 别 画 出一 条 直线 ， 它 们 分 成 两 个 小 等 腰 三 角形 ， 在 图 中 标 出所 把 并 画 等腰 三角 形 两 个底 角 的度 数 。 （ ） 着 ， 颖 又 发 现 ： 角 三 角 形 和 一 些 非 等 腰 三 角形 接 小 直 也 具有 这 样 的特 性 ， ： 角 三 角 形 斜 边 上 的 巾 线 可把 它 分 成 如 直 两 个小 等 腰 三角 形 。请 你 画 出两 个 具 有 这 种 特 性 的

20、三角 形 的示 意 图 ， 在 图 中标 出 三角 形 各 内 角 的度 数 。（ 明 ： 并 说 要求 画 出 （ 一 ， 。 。） 厶 二 此只能 ， 。 。 ） ， 有 即 （ ， 。 ， 。即 一二 。 若 是底 角， 则有 两种情况。第 一 种情 况 ： 图 当 ， ， 如 ， 时 则 ， 中 。， 的两 个 三 角形 不 相 似 而 且 既 不 是 等 腰 三 角形 也不 是 直 角 三 角形 。） 由 ， ， 得 此时 有 ， 。即 由 ， ， 时 ， 得 此 。即 。 。 、八、 一由 ， ， 时 。即 。 得 此 ， ， 为小 于 。 的任 意 锐 角 。 第 二 种 情 况

21、 ， 图 当 ， ， 如 ， 时 。 。此 时 只 能有 ， 而 ， ， 从 这 图（） 解 ：略 。（） （ ） 下图 ： 如 图 （） 图（） 与 题设 是最 小 角 矛 盾 。 当 是 底 角 时 ， 不 成 立 。 或图（ ） 图 ） （） ： 如 。其 中 ， ； ， 。 。图（ ）图 图 图 题 （ 问 年广 东 中考 题 ） 在 中 ， ，若 过 其 中 一个 顶 点 的一 条 直 线 。将 成 两 个 等 腰 三 角 形 。 内 角 的 度 数 （ 要 求 分 求 各 只一或： 出三 个 不 同的 解 ） 。解 ： 如 图 （ ） 若 中底 角 是 顶 角 的 ， （） ， 倍 设 。 。 ，则 。 ， ，三 内角 分别 为 ， ， 。 。 。其 中仅 。仅一 ， ， ， 。问题 （ 江 苏 无锡 中考 题 ） 年 （） 已知 中 ， ， 。请 画 一 条 直 线 ， 。 ， 把 这 个 三 角形 分 割 成 两个 等腰 三 角 形 。请 你 选 用 下 面绐 出的 （备 用 图 ， 所 有不 同 的分 割 方 法 都 画 出来 。只 需 画 图 ， 必 说 把 不 明理 由 ， 要 在 图 中标 出相 等 两角 的度 数 。