高中课件高三数学立体几何复习Word文档下载推荐.docx

1、一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.举一反三1观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要结构特征.解析 1是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶点,16条棱.2是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.题型二柱、锥、台中的计算问题【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.

2、分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.B C解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O, 和BC的中点分别O 1 11EO E E O是 和E,连接O O、 EE 、 OB、OB、 OE、OE,则四边形O B B O和 1 11 1 1 1 1 1 1 1都是直角梯形.A B 4 cm,AB16 cm,O E2 2 2 cm,OE8 cm, 2 cm,OB8 cm, O B2B BO OO BO B?1 1 1 119 cm,E EO OO EO E5 13?棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.5 13学后反思 （1）把空间问题转化为平面问

3、题去解是解决立体几何问题的常用方法.（2）找出相关的直角梯形,构造直角三角形是解题的关键,正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.2. （2009?上海）若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_.解析 如图,等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.1 1 82RV S?h ?h 2.33 3 38答案3题型三三视图与直观图【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的,按照画三视图的三大原则“长对正,高平齐,宽相等”画出.解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和

4、圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆中心重合.它的三视图如下图:学后反思 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.3. 2008?广东将正三棱柱截去三个角如图1所示,A、B、C分别是GHI三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案 A题型四几何体的直观图【

5、例4】12分用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析 画水平放置的直观图应遵循以下原则:1坐标系中xOy45;2横线相等,即ABAB,CDCD;3竖线是原来的 ,即OE OE.2 2画法 1如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3画对应的坐标系xOy,使xOy45.52以O为中点在x轴上取ABAB,在y轴上取OE OE,以E为中点画CDx轴,并使CDCD103连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2.12 图1 图2 学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系,一般取图形中的某一横线为x轴,对称轴为y轴,或取两垂直的直

6、线为坐标轴,原点可建在图形的某一顶点或对称中心、 中点等.坐标系建得不同,但画法规则不变,关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三4. 如图所示,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中OA6 cm,OC2 cm,则原图形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形解析 在直观图中,平行于x轴的边的长度不变,平行于y轴的边的长度变为原来的 ,原图中,OA6 cm,OD4 cm,OC6 cm,BCAB6 cm,原图形为菱形.答案 C易错警示【例】画出如图1所示零件的三视图.错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图2 图1 图2错解分

7、析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线,画图时应画出其交线.正解考点演练A B C D10. （2010?潍坊模拟）如图,已知正四棱台ABCD- 的上底面边长为1,下底面边长为2,高为1,则线段的长是_.OB D解析 连接上底面对角线 的中点 和下底面O O B O OBD的中点O,得棱台的高,过点 作的平1 1 1行线交BD于点E,连接CE.在BCE中,由BC2,BE,CBE45,利用余弦定理可得10?10 14B C1?CE ,故在Rt 中易得?B E C 1?2 2?14答案211. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且

8、上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,EF, ,OA,则为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,O E F OO D在直角梯形中,2E FO OO FO E73 （cm）,?在Rt 中,D EO DO E4（cm）,O E D同理, A FO AO F8（cm）,S? 2487312 73 c m梯 形 A B C D212. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于c m392 ,母线与轴的夹角是45,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解析 圆台的轴截面如

9、图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x A Acm.延长交 的延长线于S,在RtSOA中,ASO45,则1 O OSAO45SOAO3x, x, O O 2x,SOA OS 6 x2 x2 x392又 ,x7.轴截面O O故圆台的高 1 14 cm,母线长 14cm,l2 O O两底面半径分别为7 cm,21 cm.第二节 空间几何体的表面积与体积1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和;表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积S 2r

10、l , S 2r rl ;?圆 柱侧 柱S r l , S r rl ;圆锥侧 锥 r r l , S?rr lr l?圆台侧 台4. 柱、锥、台体的体积V abc , V a , V Sh , V S h长方 体 正 方 体 柱 锥V S SSS h?台这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地,圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成:2 2 2 2V r h , V r h , V? h r r rr?圆 柱 圆锥 圆台3 35. 球的体积及球的表面积43 2设球的半径为R, V R , S 4R球 球3典例分析题型一几何体的表面积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm

11、,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析 要求正棱台的高,首先要画出正棱台的高,使其包含在某一个特征直角梯形中,转化为平面问题,由已知条件列出方程,求解所需的几何元素.解 如图所示,正三棱台ABC-中,O、 分别为两底面中心,D、 分别为BC和 中点,则为棱台的斜高.D D10 3A B 3 O D设 20,AB30,则OD5, ,1 3S S + S由 ,得20 + 303D D 20 + 30下侧 上12 413D D 3O O D D - O DO D4 3?在直角梯形O O D D中,棱台的高为4cm.3学后反思 1求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转

12、体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.1. 圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.解析 如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,ASO30r在RtSOA中, sin 30,SA2r.SA 2 r在RtSOA中, sin 30,SA4r.SASA-SAAA,即4r-2r2a,ra.2 2 2 SSS? r? 2 r5r5a?1 2圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5a题型二几何体的体积问题【例2】已知四棱台两底面均为正方形

13、,边长分别为4 cm,8 cm,侧棱长为8 cm,求它的侧面积和体积.分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 E ,则PEBC, E E 为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 O ,连接 O E 、OE.在P B C 和PBC中,P B B C 4 1P B B C 8 2 , B为PB的中点, E为PE的中点.P BB B8P EP BB E1644 15在RtPEB中,E EP E2 152在RtPOE中,P OP EO E4

14、 1544 14 c m1O OP O2 14 c m2S 4 S4482 15? 48 15 c m四 棱台 侧 梯形 B C C BV VV四 棱台 四 棱 锥P - A B C D 四棱锥PA B C D1 1SP OSP O四边 形A B C D 四边形 A B C D 11 1 224 142 2 2? 84 14? 42 14c m?学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”,它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题,通常是“还台为

15、锥”,而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面,将空间问题转化为平面问题,求出相关数据,进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三2. 如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF2,则该多面体的体积为解析 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EGHF ,AGGDBHHC,1 2 2SS 1,A G DB H C2 2 4VVVVEA D G FB H C A G DB H C1 2 1 1 2 1 2? 13 4 2 3 4 2 423答案3题型三

16、组合体的体积和表面积问题【例3】12分如图,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,DAB60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积,求其外接球半径即可.解 由已知条件知,在平面图形中,AEEBBCCDDADEEC1.1所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图,作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5外接球半径可利用OHAGFA求得.2 3AG,AH AG,2?3 61?AF,? 7

17、?3 3?在AFG和AHO中,根据三角形相似可知,3 3A GA H 6 10O AA F 464 4 6 6 63? O A外接球体积为.123 3 4 8方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.4正四面体棱长为1,正方体棱长为,.6外接球直径2R , 3104 6 66? ?R,体积为123 4 84学后反思 1折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系,所成角及距离加以比较.一般来说,位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化,分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量

18、关系则发生变化;不变量可结合原图形求证,变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素,可结合原图形去分析、计算,即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知,有关柱、锥、台、球的组合体,经常是把正方体、长方体、球作为载体,去求某些量.解决这类问题,首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练,把问题进行转化,使运算和推理变得更简单,体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.3. 已知正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为a.求它的外接球的体积.2解析 设外接球的半径为R,球心为O,则OAOCOS,所以O为SAC的外心,即SAC的外接圆半径就是外接球的半径,ABBCa,ACa,S

19、ASCACa,SAC为正三角形.由正弦定理,得A C 2 a 2 62 R as i nA SC s i n 60 36 a 4 8 63 3R,V? R? a球3 3 27易错警示涉及组合体问题,关键是正确地作出截面图形,把立体几何问题转化为平面问题进行解决,解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形而导致错误.【例】已知球的内接正方体的体积为V,求球的表面积.错解 如图所示,作圆的内接正方形表示正方体的截面,设正方体的棱长为x,球半径为R,则有3 V,x x2R,2 3 2RV ,S4R2V解得错解分析 过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面,得到一个矩形,矩形的对角线长为 x,不是 x.

20、2正解 如图所示,过正方体的对角面作球的大圆截面,设正方体的棱长为x,球半径为R,则有xx2R 3 ,RV ,S4R3V考点演练10. （2009?辽宁）设某几何体的三视图如下（长度单位为m）:求该几何体的体积.解析 三视图所对应的立体图形如图所示.由题意可得平面PAC平面ABC,3V4324 . m11. 如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱8.若侧面水A A B B平放置时,液面恰好过AC、BC、 、 的中点.当底面ABC水平放置A C时,液面高为多少?解析 当侧面水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形,设SSABC的面积为S,则A B F E4 3VSA A6 S水当底面A

21、BC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面高为h,则V有 Sh,6SSh,h6.故当底面ABC水平放置时,液面高为6.12. （2009?广东改编）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图;（2）求该安全标识墩的体积图1图2图3 解析 （1）侧视图同正视图,如图2所示.（2）该安全标识墩的体积为VVV? 40604020PE F G H A B C DE F G H3320003200064000 c m 第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

22、1. 平面的基本性质 符号语言名称 文字语言 图形 如果一条直线上有两个 Al , Bl , A? ,点在一个平面内,那么这公理1B l?条直线在这个平面内经过不在同一条直线上 A、B、C不共线 A、B、C平面且是唯一公理2的三个点确定一个平面 的 如果不重合的两个平面 若P,P,则有一个公共点,那么它们 a,且Pa 公理3有且只有一条过这个点的公共直线 平行于同一条直 若ab,bc,线的两条直线互 则ac 公理4 相平行公 推 经过一条直线和 若点A 直线a,理 论1 直线外一点,有且 则A和a确定一只有一个平面 个平面推 两条相交直线确 abP 有的论2 定一个平面 且只有一个平推面,使a

23、论 ,b ? 推 两条平行直线确 ab有且论3 定一个平面 只有一个平面,使a ,b2. 空间直线与直线的位置关系1位置关系 相交 共面 共面与否 平行异面 一个公共点:相交公共点个数 平行 无公共点 异面2公理4平行公理:平行于同一直线的两条直线互相平行.3定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.（4）异面直线的夹角定义:已知两条异面直线a、b,经过空间任意一点O作直线aa,bb,我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.范围:（0, .特别地,如果两异面直线所成的角是 ,我们就?称这两条直线垂直,记作ab.3. 空间中的直线与平面的位置关系直线在平面内?有无数个公共点 直线与平面相交?有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行?无公共点4. 平面与平面的位置关系平行?无公共点相交?有且只有一条公共直线题型一点、线、面的位置关系【例1】下列命题:空间不同三点确定一个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两