matlab中方程根的近似计算Word下载.docx

1、ezplot x-x,grid onhold onezplot（x5+2*x2+4,-2*pi,2*pi） 1-1 函数f（x）=x5+2x2+4的图形x=-2*pi:0.1:2*pi;y1=zeros（size（x）;y2= x.5+2*x.2+4;plot（x,y1,x,y2）grid on axis tighttitle（x5+2x2+4）xlabel（x） 从图1-1可见，它有一个实数根，大致分布在-2与2之间。（2）将作图范围不断缩小，用放大法可得到精度越来越高的根的近似值。在matlab命令窗中先后键入subplot（2,2,1）ezplot x-x, grid on, hold

2、on, ezplot（,-2,2）subplot（2,2,2）,-2,-1）subplot（2,2,3）,-1.6,-1.5）subplot（2,2,4）,-1.55,-1.54） 图1-2 放大法求函数f（x）=x5+2x2+4的根由图1-2可知，方程的根在-1.545与-1.54之间。1.2 数值方法非线性方程f（x）=0求根的方法有区间法和迭代法两大类，二分法、弦位法是区间法，简单迭代法和牛顿迭代法及其变形是迭代法，这里只给出二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的构造过程。（1）根的隔离与二分法根的隔离思想来源于连续函数的零点定理：若函数f（x）在闭区间a,b上连续，且f（a）f（b）0，则方

3、程f（x）=0在（a,b）内至少有一根x*。二分法是最简单的求根方法，它是利用连续函数的零点定理，将含根区间逐次减半缩小，取区间的中点构造收敛点列xn来逼近根x*。用该方法求f（x）=0的近似解可分两步做：第一步，确定根的近似位置或大致范围，即确定一个区间a,b,使所求根是位于这个区间内的唯一实根。这个区间称为根的隔离区间，这可以通过函数作图达到：先画出y=f（x）的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。第二步，以根的隔离区间a,b的端点作为根的初始近似值，用二分法逐步改进根的近似值的精确度，直至求得满足精确度的近似解。具体步骤如下：取a,b的中点x0=（a+b）/2，若f（x0）=0，

4、则x0就是f（x）=0的根x*。若f（a）f（x0）0，则根x*必在区间（a,x0）内，取a1=a, b1=x0；否则根x*必在区间（x0,b）内，取a1=x0, b1=b。这样，得到新区间a1,b1，其长度为a,b的一半。如此继续下去，进行n等分后，得到一组不断缩小的区间序列a,b, a1,b1, a2,b2, an,bn,和对应区间的中点数列xn=（an+bn）/2, n=0,1,2, 其中每个区间都含有根x*，满足a,ba1,b1 a2,b2 an,bn 且每个区间的长度都是前一区间长度的一半。由于an,bn的长度为（b-a）/2n,当n不断变大时，这些区间将收敛于一点x*，该点即为所求

5、的根。当做到第n步时，有选择适当的步数n，就可达到满意的精度。用二分法，理论上区间中点序列xn将收敛到根的真值，但收敛速度较慢，所以通常用二分法为其他方法提供初步的近似值。（2）简单迭代法迭代法的基本原理是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每一项都是方程根的近似值，只是精度不同。简单迭代法也成逐次迭代法，是非线性方程求根中各类迭代法的基础。由于对方程作等价变换根不发生变换，将方程f（x）=0等价变换为，构造迭代计算公式。取定初值x0，算出数列xn。如果xn收敛于x*，则有这说明，x*就是方程f（x）=0的根。上面称为不动点方程，称为迭代函数，数列xn称为迭代数列。（

6、3）牛顿迭代法如果f（x）在a,b上具有二阶导数，f（a）f（b）err）&（yc=0）c=（a+b）/2;x=a; ya=eval（f）;x=b; yb=eval（f）;x=c; yc=eval（f）;if ya*yc erfenfa输入区间=0,1输入误差=0.001x0=0.5000x0=0.7500x0=0.6250x0=0.6875x0=0.6563x0=0.6719x0=0.6641x0=0.6680x0=0.6699x0=0.6709由此得到，方程的根的近似值为0.6709.2、编写牛顿迭代法求根程序，求1中方程x3+1.1x2+0.9x-1.4=0的实根的近似值，并计算迭代次数

7、为6的近似根。由1可知，0.5,1是根所在的区间，在0.5,1上f（x）= x3+1.1x2+0.9x-1.4f（x）=3*x2+2.2x+0.9, f（x）=6x+2.2（x）在0.5, 1上保持同号，f（1）0与f（1）同号，所以取x0=1为迭代初始值。用matlab语言编写一般的程序如下：n=input（请输入迭代次数：n=x0=input（请输入迭代初始值：x0=f1=diff（f）;format longfor i=1:nx=x0;fx0=eval（f）;f1x0=eval（f1）;x0=x0-fx0/f1x0;fprintf（x0=%12.10fn,x0）存为文件niudunfa.

8、m，调用及运行结果如下： niudunfan=6x0=1x0=0.7377049180x0=0.6741688117x0=0.6706675756x0=0.6706573108x0=0.6706573107由此得到，方程的根的近似值为0.6706573107。3. 用matlab中的内部函数求方程的根。（1）用roots求方程x9+x8+1=0的根；（2）用solve求上述方程的根；（3）用fzero求方程x2+4sinx=25的实根；（4）用fsolve求方程x=e-x在0附近的根；（1）在matlab命令窗口输入命令：p=zeros（10,1）; p（1:2,end,1）=1; roots

9、（p） ans = -1.213149723059643 -0.901727735578254 + 0.575312094072893i -0.901727735578254 - 0.575312094072893i -0.269351937596575 + 0.940578401023146i -0.269351937596575 - 0.940578401023146i 0.416834006536573 + 0.841919773084660i 0.416834006536573 - 0.841919773084660i 0.860820528168075 + 0.33435225889

10、7906i 0.860820528168075 - 0.334352258897906i （2）在matlab命令窗口输入命令：solve（x9+x8+1=0RootOf（X19 + X18 + 1, X1） （3）首先作图确定根的大致范围：clf, ezplot x-x, grid on, hold on, ezplot（x2+4*sin（x）-25图1-6由图1-6可确定两根在x1-4，x25附近。再具体求根。x1=fzero（,-4）x2=fzero（ x2+4*sin（x）-25,5） x1 = -4.586052690568049x2 = 5.318580248846235 （4）在matlab命令窗口输入命令：x=fsolve（x-exp（-x）,0） Optimization terminated: first-order optimality is less than options.TolFun.x = 0.567143165036970 五、实验练习1、用二分法求方程x3-1.2x+6=0的实根的近似值，使误差不超过10-3，并用roots命令进行检验。2、用牛顿迭代法求方程x3-1.1x2+2x-8=0的实根的近似值，使误差不超过0.001，并用solve命令进行检验。3、用简单迭代法求方程x=e-x在0附近的根，并用fsolve命令进行检验。